Архімед

Навчання 26 серпня 2022 Перегляди: 72

Профіль Архімеда на медалі Філдса — найпрестижнішій нагороді в галузі математики

Ви можете запитати: хто з давніх вчених був найбільш геніальним? Важко сказати — всі вони були генії. Але найбільш різнобічним з них був точно Архімед. Архімеда однаково цікавили і математика, і фізика, і астрономія. А ще він був видатним інженером. Народився Архімед у місті Сіракузи на острові Сицилія — на карті цей острів нагадує «м’яч», по якому шкарпеткою вдарив «чобіт» Італії. Його батько Фідій був астрономом і, звичайно, прищепив Архімеду любов до математики та астрономії. Втім, справжньою наукою Архімед став займатися лише у віці 40 років. Краще пізно, ніж ніколи — говорить відоме всім прислів’я. За решту 35 років життя Архімед зробив більше, ніж усі його сучасники, разом узяті!

З юності Архімеда цікавили всілякі механізми, і деякі свої винаходи він зробив в молодості. Але відомо, що приблизно в 40 років Архімед вирушив до Александрії і познайомився там з Ератосфеном, астрономом Кононом та іншими вченими чоловіками. Олександрія тоді була головним науковим центром античного світу. Незадовго до народження Архімеда там працював Євклід, який написав «Начала» — знамениту книгу, за якою весь світ потім вивчав геометрію дві тисячі років. Ератосфен в Александрії вирахував розмір земної кулі, а Аристарх Самоський — відстань до Місяця і Сонця.

А ще там була найбільша в світі бібліотека (в якийсь момент в ній зберігалося приблизно півмільйона книг!). Цю бібліотеку, як і саму Александрію, заснував цар Птолемей — один з воєначальників Александра Македонського. З усіх царів того часу він був найрозумнішим, цінував літературу і науку, збирав книги з усього світу і запрошував до Олександрії відомих вчених. Кожна книга являла собою сувій — згорнутий в трубку рукопис на довгій смузі папірусу.

Параболоїд

Розповідають, що одного разу Птолемей вирішив вивчити геометрію. Він покликав Евкліда і попросив вказати йому найлегший для цього спосіб. Євклід відповів так: «У геометрії немає царської дороги!». Відтоді це висловлювання стало афоризмом.

Після кількох років в Александрії Архімед повернувся до Сіракузи і почав писати наукові листи в Олександрію. Приходили вони на ім’я одного з учнів Конона — Досифея, і кожне починалося так: «Архімед вітає Досифея». У цих листах Архімед повідомляв дивовижні речі: як можна обчислити площу кола або знайти центр тяжкості параболоїду, яку частину від обсягу всього циліндра займає вписана в цей циліндр куля, і багато іншого. Для всіх цих фігур він отримував абсолютно точні формули, адже куля або параболоїд — «криві» тіла, греки з ними працювати тоді ще не вміли. Кожен лист Архімеда був відкриттям, а його методи були зовсім не «елементарні» — можна навіть сказати, що за два століття до нашої ери він першим відкрив «вищу» математику!

Коло по площі дорівнює трикутнику, висота якого — радіус, а основа — довжина кола

Обсяг кулі становить 2/3 від обсягу циліндра

Архімед дуже пишався тим, як він вирахував об’єм кулі, і просив зобразити на його могильній плиті кулю всередині циліндра, а поруч написати співвідношення їх обсягів. Про це через 150 років після його смерті згадав римський оратор Ціцерон, поїхав у Сіракузи і за цим кресленням знайшов могилу Архімеда. За його словами, вся вона заросла тернівником. Архімед багато займався елементарною геометрією геометрією — в школі проходять його знамениту лемму об окружностях¹, іноді вирішують завдання про арбелос — ноже, яким у Сіракузах розділяли шкіри тварин. Подивіться на його креслення: Архімед довів, що дві кола, вписані в частини будь-якого арбелоса, рівні один одному. Жодному шкірцеві це не спало б на думку!

Лемма Архімеда про кола

Але найбільше народ поважав Архімеда не за це: загальне захоплення викликали його інженерні винаходи. Він придумав, як спеціальним гвинтом піднімати воду з річки в місто, як за допомогою блоків і мотузок переносити величезні тяжкості. (До речі, архімедів гвинт досі використовують у звичайній м’ясорубці!) Одного разу правитель Сіракуз Гієрон наказав побудувати корабель у подарунок єгипетському царю — онуку того Птолемея, який розмовляв з Євклідом. Корабель вийшов настільки великим і важким, що його не могли зрушити з місця всі жителі Сіракуз. Тоді Гієрон попросив допомоги у Архімеда. Той змайстрував таку систему блоків і важелів, що зміг поодинці спустити цей корабель на воду. Гієрон був у повному захваті. Архімед же сказав так: «Дай мені точку опори, і я тобі здвину Землю!».

Теорема про арбелос

Архімед був так поглинений наукою, що часом забував їсти і пити. Сидячи перед вогнищем, він креслив кола і трикутники прутом на золі, а коли ходив у громадську лазню — на своїй намазаній олією тілі. Саме в лазні він і зробив ще одне видатне відкриття. Справа була ось у чому. Якось Гієрон наказав своєму майстру зробити золотий вінець, відваживши для цього потрібну міру золота. Вінець він отримав, але в той же час отримав і донос, що майстер приховав частину золота і замінив його сріблом. Перевірити це не було ніякої можливості — адже вінець був потрібної ваги, а його форма була занадто складною для вимірювань. Гієрон знову звернувся за допомогою до Архімеда. Той став думати над цим питанням і якраз відправився в лазню. Приймаючи там ванну, він побачив, що чим більше занурюється у ванну його тіло, тим більше виливається з неї води… Напевно кожен у своєму житті спостерігав щось подібне. Але Архімед вискочив з ванни і, не одягаючись, прямо по вулиці побіг додому, голосно кричачи: «Еврика! Еврика! «- що означало: «Знайшов! Знайшов! «. Далі все було просто: вдома він зробив два злитки тієї ж ваги, що й у вінця — один із золота, інший зі срібла. Він занурював ці злитки у воду і дивився, скільки вони витісняють води. Виявилося, що срібний злиток витісняє води більше, ніж золотий. Тоді він занурив у воду «золотий» вінець і побачив, що він теж витісняє більше води, ніж потрібно. Так Архімед встановив, що майстер підмішав у вінець срібло і навіть визначив, скільки саме він приховав золота. Але головне — Архімед відкрив закон: при зануренні у воду тіло завжди витісняє кількість води, що дорівнює обсягу самого тіла. Це спостереження стало першим у його дослідженнях властивостей рідин.

Архімедів гвинт

У його книзі «Про плаваючі тіла» їм були вперше сформульовані закони гідростатики. Архімед мислив рідину не як суцільну єдину речовину, але як би складається з найдрібніших частинок (сучасною мовою — молекул). Всі ці частинки «тиснуть» один на одного, причому кожна відчуває тиск частинок, що знаходяться зверху. «Більш здавлені» частинки витісняють «менш здавлені» тощо. З цього Архімед логічно вивів, що на одній глибині всі частинки повинні відчувати рівний тиск один на одного, а поверхня моря або будь-якої іншої вільної рідини (навіть у чашці або кориті!) повинна бути частиною сфери, центр якої знаходиться в центрі Землі. Чому важкі кораблі не тонуть у воді, а тримаються на її поверхні? А вся справа в тому, що знизу на їх днища діє виштовхуюча сила, рівна масі витісненої цими кораблями води! Цей знаменитий закон справедливо носить ім’я великого Архімеда.

Можливо, ми з вами і не дізналися б стільки про Архімеда, якби він не прославився при обороні свого рідного міста від римлян. Тоді Рим вже багато років воював з Карфагеном, Сицилія довго була незалежна від них, але в 214 році до нашої ери Сіракузи вирішили прийняти сторону Карфагена. Римське військо осадило місто. На чолі його стояв найкращий полководець Марцелл. Він розраховував взяти Сіракузи за тиждень, але не міг очікувати, що участь однієї людини може все змінити. Просто цією людиною був великий Архімед. Для оборони свого міста він створив небувалі військові машини: катапульти, що метали каміння на величезні відстані; підйомні крани з гачками, які чіпляли римські кораблі і топили їх у гавані. Дійшло до того, що солдати Марцелла в жаху розбігалися, як тільки бачили над кріпацькою стіною мотузку або колоду!

Параболоїд збирає промені сонця в одну точку — фокус

Існує навіть легенда про те, що Архімед встановив на кріпосних стінах безліч дзеркал і за допомогою сили сонця підпалював ними римські кораблі. Багато хто потім сумнівався, що це було можливо в принципі. Однак на той час греки вже знали про дивовижну властивість дзеркального параболоїду збирати сонячне світло в одній точці — фокусі. Чим більше і ширше параболоїд, тим далі знаходиться від нього його фокус і тим сильніше нагрівається ця точка. Схожий досвід кожен з вас може провести з збільшувальним склом — з його допомогою легко запалити папір або палицю. Де ж Архімед міг взяти такий величезний параболоїд, щоб підпалювати їм на відстані цілі кораблі? Першим на це запитання відповів у 1747 році французький вчений Жорж-Луї де Бюффон. Він взяв 128 невеликих плоских дзеркал, розташував їх по параболі і з їх допомогою зміг на відстані 50 метрів не тільки запалити дерево, але навіть розплавити свинець і срібло. Той же досвід повторили в 2005 році дослідники з Массачусетського технологічного інституту — їм вдалося схожим способом підпалити корабель, що стоїть в 50 метрах від берега.

Втім, твір Архімеда, присвячений дзеркалам, його знаменита «Катоптрика», вважається повністю втраченим. Хоча чи можемо ми бути впевнені в цьому до кінця? Адже іншу його важливу працю «Метод механічних теорем» теж вважали назавжди втраченим. А потім його випадково виявили в середині XIX століття в підвалі бібліотеки Константинополя на стертому пергаменті, поверх якого були написані богослужбові тексти. Цей палімпсест знову загубився, був знайдений тільки через 100 років і повністю прочитаний вже в XXI ^{столітті}.

Планетарій Архімеда

Облога Сіракуз тривала майже два роки. Нарешті римляни взяли місто за допомогою хитрощів і зради. Як завжди, на вулицях почалися різанина і грабеж. Римський легіонер увірвався до Архімеда з наказом негайно йти за ним до Марцелла. Але Архімед так був поглинений рішенням геометричного завдання, що не чув шуму в місті і сказав йому тільки: «Не наступи на мої креслення!» Це були його останні слова — роздратований солдат убив його. Історик Плутарх пише, що Марцелл, дізнавшись про смерть Архімеда, сильно засмутився, розшукав родичів Архімеда і «милостиво обійшовся з ними». Втім, навряд чи це було дійсно так. У ту епоху весь грецький світ був свідком того, як жорстоко римляни розправлялися з переможеними. Відомо, що на згадку про великого вченого Марцелл взяв собі його «небесну сферу» — чудовий маленький планетарій, зроблений руками Архімеда. На ньому можна було спостерігати рух п’яти планет, сходи сонця і фази Місяця. «Небесну сферу» Архімеда потім кілька століть всім показували в Римі — вона завжди викликала захоплення!

За матеріалами підручника геометрії для 7 класу шкіл проекту «Математична вертикаль» м. Москви.

Художник Олексій Вайнер

¹ Ця лема полягає в тому, що якщо якась коло стосується одного сегмента кола в двох точках, то пряма, що проходить через них, завжди ділить дугу іншого сегмента навпіл.

² Детальну розповідь про це читайте в статті «Як залізні чорнило врятували рукопис Архімеда» в «Квантиці» № 8 за 2014 рік.