«Арнольд, гембец і черепаха»

Навчання 02 серпня 2022 Перегляди: 60

В останній тиждень листопада 2014 року в Університеті Торонто (Канада) проходила конференція «Спадщина Володимира Арнольда», присвячена різним областям математики. Випускниця фізфаку МДУ Дарина Моргачова побувала на науково-популярній доповіді угорського математика Габора Домокоша — винахідника витонченого математичного об’єкта, названого «гьомбец», — і поставила кілька запитань.

Всім відома дитяча іграшка-неваляшка: як би її не нахиляли, вона завжди повертається у вихідне положення. Ця незвичайна властивість називається моно-моностатичністю: неваляшка має одне стійке положення рівноваги, звичайне, і одне нестійке: якщо поставити її на голову (найменше відхилення від вертикалі переведе іграшку в стан стійкої рівноваги). Але неваляшка неоднорідна: на дні її знаходиться вантаж, а зверху вона порожня. Чи можна зробити однорідний моно-моностатичний об’єкт?

Як не дивно, питання, формульоване настільки просто, виявилося досить нетривіальним. Рішення знайшли 2006 року два угорські інженери — Габор Домокош (Gábor Domokos) і Петер Варконьї (Péter Várkonyi).

Некоректне формулювання завдання

Габор Домокош

Габор Домокош отримав інженерну освіту в Угорщині, але цікавився скоріше не практичною, а математичною стороною інженерних завдань. Наприкінці 1980-х завдяки політичним перетворенням на батьківщині у Домокоша з’явилася можливість відвідати США, де він рік пропрацював у Корнелському університеті разом з іншими інженерами, які мають схожі математичні інтереси. Там Габор Домокош познайомився з Енді Руїною (Andy Ruina) і Джимом Пападопулосом (Jim Papadopoulos) — «інженером, який не має академічної посади, але має академічні інтереси», як відгукувався про нього сам Домокош. Про експерименти Пападопулоса, які поклали початок історії створення гембеця, і розповідав Габор Домокош у своїй лекції:

— Джим зацікавився положеннями рівноваги різних тіл, виготовлених з фанери (плоских, з однорідною масою) і дроту (маса яких розподілена по контуру). Наприклад, квадрат має чотири стійкі положення рівноваги (він може стояти на кожній зі своїх сторін) і положення нестійкої рівноваги (стоячи на кожній з вершин так, щоб діагональ квадрата була перпендикулярна горизонтальній поверхні). Еліпс знаходиться в положенні стійкої рівноваги, коли його довга вісь витягнута по горизонталі, і в нестійкому, коли його коротка вісь горизонтальна; він симетричний, тому має два стійких і два нестійких положення рівноваги. Джим дійшов висновку: не важливо, яку випуклу фігуру ви намалюєте, вона має мінімум стільки положень стійкої рівноваги, скільки має еліпс, — два.

У 1994 році Габор Домокош, Енді Руїна і Джим Пападопулос опублікували статтю в Journal of Elasticity [1], де довели, що почесний об’єкт, який має тільки один стан стійкої і один стан нестійкої рівноваги, не може існувати.

Обід з Арнольдом

— Вперше я зустрівся з Володимиром Арнольдом 1995 року на Інтернаціональному конгресі індустріальної та прикладної математики в Гамбурзі, — розповідав Габор Домокош у своїй лекції. — На конгресі, який став найбільшою математичною подією тих років, були присутні понад дві тисячі математиків з різних країн.

Конгрес був розбитий на 40 паралельних сесій, таким чином в кожен момент часу протягом дня я міг вибрати один з 40 доповідей, кожен з яких тривав 15 хвилин. Кількість коротких доповідей і їх тематичне розмаїття призвели до того, що в голові все перемішалося. На щастя, на цьому конгресі були також три 45-хвилинні лекції від запрошених математиків, одним з яких виявився Володимир Ігорович Арнольд. На його лекції були присутні всі дві тисячі учасників конгресу. Спочатку, коли Арнольд тільки почав говорити, ніхто його не слухав, в аудиторії було шумно. Але поступово люди почали затихати. Арнольд згадував про якусь теорему Якобі (початок лекції я не вловив). Він розповідав про різні завдання — диференційна геометрія, оптика, механіка. Кожна задача мала відношення до числа чотири. Чотири — в цьому завданні, чотири — в наступному, чотири, чотири, чотири. Тоді я згадав, що в нашій статті також було доведено, що пласке тіло має чотири положення рівноваги — два стійких, два нестійких. Це змусило мене задуматися: може бути, і наше завдання має відношення до цієї теореми?

Організатори конференції запропонували учасникам незвичайну послугу: заплативши 30 німецьких марок, ви могли сісти під час обіду за один стіл з будь-якою обраною людиною. Я захотів запитати Арнольда про своє завдання і, хоча 30 марок були для мене великими грошима, вирішив, що такий шанс упускати не можна, нехай заради такого обіду і доведеться пожертвувати вечерею. (Сміється). Обід мене розчарував — організатори явно більше дбали про свою вигоду, ніж про комфорт учасників, і за одним великим круглим столом сиділо більше десяти чоловік. У кожного була стаття, яка неодмінно вимагала обговорення. У мене не було статті, і я не наважився поговорити з Арнольдом. Він навіть сам звернувся до мене: «Ви заплатили 30 марок за можливість сісти зі мною за одним столом, про що ж Ви хотіли зі мною поговорити?» — але я відповів, що хотів просто послухати. І все-таки через день мені вдалося з ним поговорити. Розмова тривала не більше 15 хвилин.

Зрізаний циліндр

Я розповів про фігури з фанери і дроти і про те, що вони мають не менше двох положень стійкої і не менше двох нестійкої рівноваги, в сумі чотири. Арнольд вислухав мене і задумався. Через п’ять хвилин я запитав його, чи хоче він знати, як ми це довели, на що він відповів: «Звичайно, я знаю, як ви це довели. Але це не те, про що я думаю. Питання в тому, чи це стосується теореми Якобі, чи ні «. Через якийсь час він продовжив: «Я думаю, що теорема Якобі і ваше завдання пов’язані, але зв’язок непрямий. Я думаю, що є ще одна теорема, яка включає теорему Якобі і ваше завдання. Я міг би сказати більше, якби ви розповіли мені про тривимірну версію вашого завдання «. Я з гордістю описав йому контрп^ — тіло, що має одне положення стійкої рівноваги: зрізаний циліндр.

На що Арнольд зауважив: «Ви, звичайно, розумієте, що це не контрп^! Головний результат вашої роботи полягає не в тому, що тіло має два і більше стійких положень рівноваги, а в тому, що воно має чотири положення рівноваги. І ваш циліндр має чотири положення рівноваги — одне стійке і три нестійких. Водночас тіло з меншим числом положень рівноваги може існувати. Напишіть мені листа, коли знайдете його «.

Колумб, яйце і м’ясний пиріжок

Доказ існування такого тіла і пошук його форми зайняли десять років. У 2006 році Габор Домокош і Петер Варконьї опублікували дві статті: в одній довели існування моно-моностатичних тіл, в іншій описали форму реального гембеця.

Ідея форми гембеку ґрунтується на декількох інтуїтивних припущеннях. Перше: його максимальна довжина дорівнює мінімальній, як у сфери. Звідси назва, взята з угорської мови: gömböc — круглі м’ясні пиріжки. малі зміни форми об’єкта можуть призвести до виникнення нових положень рівноваги. Це можна проілюструвати легендою про «колумбове яйце». За переказами, Христофор Колумб, повернувшись до Іспанії після відкриття Америки, сидів на званій вечері, влаштованій на його честь. Хтось із присутніх заявив: «Відкрити Америку дуже просто, це міг би зробити кожен», — на що Колумб запропонував гостям поставити яйце вертикально на стіл. Коли він переконався, що ніхто не може цього зробити, то приймав яйце з одного кінця і поставив його.

Для побудови гембека Домокош і Варконьї, по суті справи, змінювали поверхню кулі, відстежуючи два параметри: випуклість і положення центру тяжкості. Звичайно, існує нескінченна безліч тіл, що володіють властивостями моно-моностатичності, гембец лише одне з них.

Нарешті після довгого оповідання Габор Домокош демонструє аудиторії гембец. Але перед цим він дістає з кишені штуку, витирає стіл. Бачачи подив аудиторії, пояснює:

— Ви не повірите, але навіть пил на столі може змінити поведінку гембека. Точність його форми дуже важлива. Якщо помилитися на частку міліметра, кількість положень рівноваги зміниться. Якщо хоча б трохи змінити параметри фігури, кількість положень рівноваги збільшиться. Кумедний діалог одного разу у мене був з компанією, якій я замовив перший гембец. На питання, чи зробили вони потрібну форму з одним положенням стійкого і одним положенням нестійкої рівноваги, вони відповіли: «Ми зробили навіть краще — наша форма має 16 положень стійкої рівноваги!»

— Чому б Вам не користуватися технологіями 3D-друку? — запитують із залу.

— Насправді ці технології в даний час не такі вже розвинені. 3D-друк дискретний, матеріал наноситься шарами. Тобто отримана форма матиме невеликі «сходинки», які, можливо, візуально не спотворюють форму, але також змінюватимуть кількість стійких положень гембеку.

Час збирати каміння

Після доповіді вдалося поставити Габору Домокошу кілька запитань у приватному порядку.

— Чи цікавлять вас біологічні системи? Адже гембец має одне стійке положення рівноваги, одне нестійке, — це дуже красива ілюстрація таких систем.

— Так, не тільки в біології, такі системи також звичайні для економіки і механіки. Для мене найважливіше саме питання про існування такого об’єкта, і його поставив Арнольд. Розумієте, гембец дуже знаменитий зараз. Знайти цю форму, довести існування такого об’єкта під силу багатьом. Але поставити питання, знайти зв’язок… У мене було лише дві розмови з Арнольдом, і обидва не більше десяти хвилин. Вони дали мені дуже багато. Мало хто може розуміти чисту математику, але також мало тих, хто міг би бачити зв’язок між фізичними, біологічними об’єктами і математикою. Математика — мова природи, і рідкісні люди, які розмовляють цією мовою. Арнольд був одним з них.

— Ви сказали, що шукали рішення десять років. Що Ви робили всі ці роки? Як працювали над цим завданням?

— Наука так влаштована: у більшості випадків ти програєш, але одного разу виграєш. Вчений повинен бути готовий до щоденних труднощів, невдач. Саме вони поступово призводять до рішення. За цей час я зробив все, що можна було зробити для вирішення завдання. Проводячи відпустку з дружиною на Родосі в Греції, я подумав: ймовірно, шукане тіло можна знайти серед каменів на пляжі. Ми почали збирати каміння. Протягом тижня щоранку приходили на пляж, збирали каміння, вдень розглядали їх, записували в таблицю число стійких і нестійких точок для кожного каменю, ввечері я повертав каміння на місце. За цей час ми зібрали дві тисячі каменів. Ця була божевільна ідея! Виявилося, що серед каменів немає потрібних форм.

— Над яким завданням ви працюєте зараз?

— Коли я вдруге зустрівся з Арнольдом і подарував перший зроблений гембец (Gömböc 001), розповівши при цьому про свої результати, він звернув увагу на мою табличку, в якій були класифіковані камені за кількістю положень рівноваги. Згідно з нею, більшість каменів мають два положення стійкої і дві нестійкої рівноваги і близькі за формою до еліпсоїдів. Арнольд припустив, що, швидше за все, природна абразія (тобто поступове істирання каменів) зменшує кількість положень рівноваги. Його ідея виявилася вірною, однак, досягнувши двох положень стійкої і двох нестійкої рівноваги, камінь зупиняється. Зменшити кількість положень рівноваги далі — дуже-дуже малоймовірна подія. Тому гембец, який має мінімальне число положень рівноваги, майже ніколи не зустрічається в природі. Британський фізик сер Майкл Беррі (Sir Michael Berry) якось сказав: Gömböc exists in Nature but only as a dream («Гембец існує в природі, але тільки як мрія»). Тим самим сер Беррі хотів підкреслити, що кожен камінь на морському березі прагне до форми гембеця, але не може її досягти. Якби ви запитали камінь, чи хоче він бути гембецем, він би відповів: «Звичайно, хочу!» Чому так виходить — завдання, над яким я зараз працюю [5].

Габор Домокош (в центрі) і Петер Варконьї (справа) дарують Володимиру Арнольду гембец з серійним номером 001

Що розумно, те й справді

У 2008 році Домокош і Варконьї опублікували ще одну статтю [4] — про форму черепах. Що станеться з черепахою, якщо вона випадково перевернеться на спину? Як їй повернутися в нормальне становище? Виявилося, що серед 200 існуючих на Землі видів черепах є довголапі (вони користуються лапами, щоб перевернутися зі спини на брюшко) і коротколапі (повернутися у вихідне положення їм допомагає форма панцира, близька до форми гембецу). Слова Гегеля «Все, що розумно, дійсно, і все, що дійсно, розумно» вкотре знаходять підтвердження завдяки красивому зв’язку між придуманим об’єктом і формою, що вийшла в процесі еволюції.

1. Domokos G., Papadopulos J., Ruina A. Static equilibria of planar, rigid bodies: Is there anything new? // Journal of Elasticity. 1994.

2. Várkonyi P.L., Domokos G. Static equilibria of rigid bodies: dice, pebbles and the Poincare-Hopf Theorem // J. Nonlinear Science. 2006.

3. Várkonyi P.L., Domokos G. Mono-monostatic bodies: the answer to Arnold’s question // Mathematical Intelligencer. 2006. 28(4). P 34–38.

4. Domokos G., Varkonyi P.L. Geometry and self-righting of turtles. 2008.

5. Domokos G. Monotonicity of spatial equilibrium points evolving under curvature-driven fows // J. Nonlinear Science. DOI 10.1007/s00332-014-9228-3