Через терни до зірок (Per aspera ad astra)

Навчання 26 серпня 2022 Перегляди: 63

Людство покине Землю менш ніж через 600 років… У нас закінчується простір для життя, і єдиний вихід з цієї ситуації — колонізація інших світів. Прийшов час досліджувати інші зоряні системи…

С. Гокінг

А куди діватися? Звичайно, до нових зірок! Адже до найближчої зірки, можна сказати, рукою подати (за галактичними масштабами): всього лише якихось чотири з невеликим світлових роки. Тому вона так і називається — Проксіма (від лат. proxima — «найближча») і відноситься до зірки системи Альфа Центавра. До речі, як кажуть астрономи, біля цієї зірки обертається дуже підходяща планета масою в 1,3 маси Землі.

Але перш за все потрібно подолати тяжіння нашого Сонця, інакше кажучи, вибратися з його потенційної ями (див. малюнок). І тут на допомогу може прийти саме Сонце — точніше, потоки квантів світла і частинок (сонячний вітер).

Схема перельоту з навколосолнечної орбіти, з точки А, на орбіту навколо іншої зірки, в точку В (чорний квадрат — планета-супутник зірки, сюди ще треба «приземлитися», але це не мета даної статті). У нижній частині малюнка — вид на траєкторію польоту «зверху»; у верхній частині малюнка зліва — вид «збоку» на траєкторію апарату, що вибирається з потенційної ями; зелена крива — траєкторія польоту до зірки; червона крива — залежність радіальної компоненти швидкості v, що відповідає граничному випадку втікання (коли v ^ 0). Позначення: R — радіус Сонця, R^ — радіус бажаної зірки, r — відстані від їх центрів, _r0 — радіус початкової кругової орбіти апарату, 1/r — переріз потенційної ями

Про те, що світло чинить на тіла тиск, заявляв ще І.Кеплер (1604 р.), пояснюючи відхилення хвостів комет в бік від Сонця. Дж.Максвелл теоретично довів (1873 р.) наявність цього тиску на основі своїх рівнянь електромагнітного поля. П. Н. Лебедєв експериментально підтвердив (1899 р.) реальність світлового тиску на тіла, після чого лорд Кельвін (він же У. Томсон) зізнався, що він все життя воював з Дж. Максвеллом через його світловий тиск, але Лебедєв змусив його визнати свою неправоту. Нарешті, Ф. А. Цандер вже з інженерно-практичної точки зору розглядав (1924 р.) можливість використання сонячного вітрила для польоту на Марс. А зовсім недавно і фізики-теоретики, і підприємці-мільярдери розробили конкретні проекти міжзоряних кораблів із сонячним вітрилом. Найскромніший з них повинен доставити до системи Альфа Центавра нановантаж за допомогою вітрила площею всього 16 м². А найбільш грандіозний повинен мати площу 10⁵ м² (півтора десятка футбольних полів!), причому протягом 100 (ста!) років досягти максимальної швидкості (0,05-0,1 швидкості світла), потім 50 років забезпечувати гальмування в міру наближення до омріяної зірки. І стільки ж часу буде потрібно на повернення… Але коли це буде? Прагматики з NASA передбачають здійснення такого проекту через півстоліття, в 2069 році. Але нам вже зараз ніщо не заважає виконати деякі оцінки параметрів майбутнього польоту з сонячним вітрилом.

Чому саме з вітрилом? Та тому, що це «безкоштовний» вид тяги, який не вимагає складного обладнання. Звичайно, за допомогою сонячного випромінювання неможливо злетіти з Землі, так що необхідне попереднє виведення літального апарату на орбіту за допомогою більш потужних засобів.

Отже, нехай літальний апарат, що рухається навколо Сонця по круговій орбіті радіусом r₀, розгорнув парус площею S, орієнтований перпендикулярно променям світла. Згідно з одним із законів небесної механіки, а саме другим законом Кеплера, моменти імпульсу тіла в полі тяжіння, або площі, замітані радіусом-вектором тіла в рівні проміжки часу, залишаються постійними (див. два заштрихованих сектори на малюнку). Це означає, що в будь-якій точці траєкторії нашого вітрила

(ur=u_0r_0 ),

де u — окружна (лінійна) компонента швидкості. Нагадаємо, що вектор швидкості має окружну u і радіальну v компоненти. З моменту розкриття вітрила кінетична енергія буде збільшуватися за рахунок роботи сили тиску випромінювання Сонця. Знайдемо цю роботу.

Кожен квант частоти, як відомо, має імпульс(frac {hv} {c}) (де — h постійна Планка, с — швидкість світла). Отже, якщо потік енергії на один квадратний метр дорівнює( q (r) ([q (r)] = Дж/( м ^ 2· с))), потік імпульсу (тиск) дорівнює(frac {q (r)} {c}). А якщо всі кванти відбиваються дзеркально від площі S, то діюча на неї сила дорівнює

(frac{2q(r)S}{c}.)

Далі, якщо на початковій круговій орбіті навколо Сонця (орбіта Землі) радіусом r₀ щільність потоку його випромінювання дорівнює q₀, то на відстані r маємо

(q(r)=q_0(frac{r_0}{r})^2.)

Зауважимо, що ця залежність від радіусу точно така ж, як і для сили тяжіння, що діє на одиничну масу:

( frac{F}{m}= −frac{GM}{r^2} =−frac{GM}{r^2_0}(frac{r_0}{r})^2, )

де M — маса зірки, G — постійна тяжіння. А робота сили тяжіння при переході з точки r₀ в точку r дорівнює різності потенціалів, тобто значень потенційної енергії в розрахунку на одиницю маси переміщуваного тіла:

( GM = (frac{1}{r_0} − frac{1}{r})= frac{GM}{r_0} (1 − frac{r_0}{r}).)

Значить, робота сили тиску випромінювання буде рівна

( frac{2q_0r_0S}{cm}(1 − frac{r_0}{r}). )

Тепер ми можемо записати важливу думку: зміна суми потенційної та кінетичної енергій одиниці маси апарату дорівнює роботі сил тиску світла на парус при переміщенні від r₀ до r:

(frac{u^2}{2} + frac{v^2}{2} − frac{u^2_0}{2} − frac{v^2_0}{2} + frac{GM}{r_0}(1 − frac{r_0}{r})≈frac{2q_0r_0S}{cm}(1 − frac{r_0}{r}). )

Використовуючи співвідношення між окружними швидкостями, запишемо азимутальну частину кінетичної енергії у вигляді

( frac{u^2}{2} = frac{u^2_0}{2}(frac{r_0}{r})^2, )

а початкову орбітальну швидкість на круговій орбіті навколо Сонця знайдемо з другого закону Ньютона

( frac{u^2_0}{r_0} = frac{GM}{r^2_0}. )

У результаті для радіальної компоненти швидкості отримаємо

( v^2 − v^2_0 = −frac{GM}{r_0}(1 − frac{r_0}{r})^2 + frac{Q}{πcr_0}frac{S}{m}(1 − frac{r_0}{r}).)

Тут введено потужність випромінювання зірки( Q = 4^ r ^ 2 _ 0q _ 0). Видно, що досить далеко від зірки (при(frac {r} {r _ 0}  )) отримаємо значення швидкості, яке вдалося б досягти за допомогою вітрила:

( v^2_∞ = v^2_0 − frac{GM}{r_0} + frac{Q}{πcr_0}frac{S}{m}. )

При цьому передбачається, що площина початкової кругової орбіти містить пряму, що проходить через центри Сонця і бажаної зірки.

Нехай початкова радіальна швидкість апарату дорівнює нулю (v₀ = 0) — він обертається по круговій орбіті і ніхто не підштовхує його в радіальному напрямку, крім розгорнутого вітрила. Тоді з останньої рівності можна отримати цікавий результат — граничне значення поверхневої щільності маси вітрила(frac {m} {S}), при якому випромінювання допоможе ледь вибратися з потенційної ями зірки, так що апарат зупиниться на нескінченності (v _­ = 0):

( (frac{m}{S})_text{max} = frac{Q}{M} frac{1}{πcG}. )

Видно, що сюди увійшли дві фундаментальні константи — швидкість світла c і гравітаційна постійна G, а також єдина характеристика зірки, що описує потік квантів, — її питома потужність випромінювання(frac {Q} {M} ([frac {Q} {M}] = Вт/кг)). І, звичайно, всюдисуще число порожніх: адже і зірки, і орбіта — «круглі». А якщо врахувати, що для зірок типу Сонця Q ауд ^M4, останній вираз можна ще спростити:

( (frac{m}{S})_text{max}sim M^3. )

Тут пора зробити численні оцінки. Згідно з табличними даними, маса Сонця M = 2· 103⁰ кг, відстань від Сонця до Землі r0 = 150 млн км, щільність потоку випромінювання на орбіті Землі q0 = 1400 Вт/м2^, гравітаційна постійна G = 6, 67· 10 ^{‑ 1}1 Н· м²/кг2, швидкість світла з = 3· 108 м^/с. В результаті отримаємо

( (frac{m}{S})_text{max} ≈ 10^{−3}:кг/м ^ 2.)

Більш важкий хлопець не «вибереться» зі сфери впливу Сонця. Адже цей парус повинен нести не тільки себе, але ще й якийсь корисний вантаж. Тому пропонується підштовхувати корабель потужним електромагнітним випромінюванням (наприклад, лазером) з Землі. А по мірі видалення від Сонця — використовувати спеціально розташовані заздалегідь дзеркала, що підсвічують міжзоряний апарат відображеним сонячним світлом. А ще…

І тут, як і у всіх великих проектах, виникають додаткові міркування. Крім переглянутого вище електромагнітного випромінювання, існує корпускулярне випромінювання Сонця — потік протонів зі швидкістю близько 450 км/с, що чинять тиск( p_0sim 2· 10 ^ {‑ 7}· (frac {r _ 0} {r}) ^ 2). Причому в період активного Сонця інтенсивність корпускулярного випромінювання може зрости на два-три порядку. Звичайно, ці частинки теж будуть давати внесок у тягу вітрила. Але як вони будуть взаємодіяти з його тонкою плівкою? Чи не перетворять вони її в сито, павутину і, в кінцевому рахунку, в космічний пил…

Далі, проблема ще в тому, що обговорювана тут мета польоту не знаходиться в площині екліптики, і це потребуватиме додаткових маневрів. А з приводу розглянутої теорії великий Галілей неодмінно постарався б внести принципове «уточнення»: якщо світло, що поширюється зі швидкістю с, падає на парус, що вже володіє радіальною швидкістю v, то їх відносна швидкість повинна бути менше с. Однак сучасна фізика стверджує, що швидкість світла в будь-якій системі координат дорівнює с. Що ж зміниться в порівнянні з випадком вітрила на круговій орбіті? Може зміниться частота фотона, а значить, і його енергія та імпульс — фотон «почервоніє» з віддаленням від гравітуючого його джерела?

А поети… що їм найближча Проксима:

Живе вона, яка дійшла від дідів,

Особлива спалює пристрасть:

Тягне до себе туманність Андромедикір

немоту космічних просторів.

Наталія Образцова

Але до Андромеди півтора мільйона світлових років! Тут і субсвітові швидкості апарату замалі: світло Андромеди, яке дійшло зараз до нас, покинуло її, коли на Землі ще не було людства. Але тут забрізжила надія: астрофізики відкрили в Просторі «кротові нори», через які…

А щоб у всьому цьому розібратися, потрібно вступити на Фізтех або в МДУ і закінчити їх фізичні факультети.