Численні значення: навіщо і чому вони потрібні

Навчання 02 серпня 2022 Перегляди: 74

— Негативне значення для частоти

? Ну тобто на мінус першому поверсі?

Діалог з нефізиком С.К.

Числа потрібні нам з тих же двох причин, з яких нам потрібно взагалі все. Одна причина — числа самі по собі приносять нам задоволення. Це складна матерія, і ми поговоримо про це наприкінці статті. А інша причина проста, зрозуміла і різноманітна: знання численних значень — це ключ. До успішної здачі ЄДІ, до вирішення завдань, а іноді і до того, щоб не стати жертвою шахраїв.

Почнемо з ЄДІ. Та й не тільки з нього — на різних іспитах бувають завдання, в яких потрібно не тільки вивести формулу або вибрати відповідь зі списку, а й отримати чисельне значення якоїсь величини. Іншими словами, отримати не тільки формулу для швидкості, а й саме значення, не тільки формулу для обсягу судини або для кількості речовини, а й відповідні числа. Що ви скажете про такі відповіді на ЄДІ: 3, 1· 10¹⁰ м/с, обсяг посудини 10 ‑ 30 м3, кількість речовини 0, ^{99· 10} ‑ 45 моль (всі приклади в цій статті — реальні)? У цих трьох випадках причина і «ступінь» неможливості різні. У першому випадку треба б уточнювати, про яку швидкість йдеться, тому що швидкість світла, а точніше — швидкість поширення електромагнітної хвилі у вакуумі, є обмеженням не для всіх швидкостей, а тільки для руху матеріальних тіл, передачі енергії та інформації. Нематеріальний об’єкт, наприклад точка перетину двох прямих, може рухатися з будь-якою швидкістю. Але в конкретному завданні йшлося, звичайно, про швидкість цілком матеріального тіла. Що стосується обсягу, то проблема в іншому — щоб куб, наприклад, мав такий об’єм, які лінійні розміри повинні бути у нього? Вам це число ні про що не говорить? Це ж менше міжатомної відстані в речовинах. А щодо моля, це зовсім просто — згадайте його визначення. Моль — це скільки молекул чи атомів?

Кожна з цих трьох відповідей дала на іспиті не одну і не десять — тисячі осіб! Механізм явища тривіальний: десь у перетвореннях робили просту помилку (зазвичай якусь величину писали не в числівці, а в знаменнику або навпаки), розмірність і розумність ні проміжних, ні кінцевих формул не перевіряли і залишалася остання надія — усвідомити, що написано неможливе число. Але цього не відбувалося. Зауважимо, що за арифметичну помилку знімається один тестовий бал, хоча очевидно нерозуміння принципово важливих речей і оцінюватися це мало б зовсім інакше.

Наведемо ще кілька прикладів серйозних наслідків простих арифметичних помилок. Для конкретики нехай це будуть в математичному сенсі родинні приклади.

Як, наприклад, ви поставитеся до такої відповіді для опору: R = 4 Ом і R = ‑ 2 Ом? Персонаж вирішив квадратне рівняння, отримав два корені і радісно дав таку відповідь. Те, що він порушив своєю відповіддю закон збереження енергії, йому не важливо. Опір генерує йому потужність з нічого! Тут, до речі, є тонкість — правильне рішення не повинно давати неправильних відповідей. Поширена фраза «один з коренів не має фізичного сенсу» некоректна, рішення повинно будуватися так, щоб не давати «не мають сенсу» відповідей, але в школі йдуть на спрощення. А як можна зрозуміти негативну відповідь для тиску: p = _ 2,3 Па? Ні, не в твердому тілі і не в рідині, де це цілком можливо, а в газі! І нарешті, як слід розуміти таку відповідь для частоти коливань: f = ‑ 82· ¹⁰13 Гц? З частотою взагалі все цікаво, ми про неї ще поговоримо.

Мораль така: намагаючись зрозуміти, чи розумну ви відповідь отримали, треба згадувати хоча б три речі — фундаментальні закони і обмеження, властивості матеріалів і визначення величин і констант. Ось три приклади дурниць з числами, для різноманітності з різних джерел. Перший приклад візьмемо з книги з підготовки до ЄДІ (!) — в умові завдання з оптики говориться, що коефіцієнт заломлення води дорівнює(frac {3} {4}). Може таке бути? Згадайте визначення. Другий приклад — з матеріалів тесту з фізики в одному з престижних московських вишів. Завдання було сформульовано так: «По дроту з опором R = 10 ТОм тече струм I = 0,02 мА. Знайти напругу на дроті. Відповідь вказати в гігавольтах «. Зрозуміло, чому фізик або інженер, побачивши таке, почне непристойно сміятися? Третій приклад — вже з робіт ЄДІ. У завданні, де потрібно було визначити частоту випромінювання в оптичному діапазоні, були отримані в різних роботах ось такі відповіді: 3, 5· 10 ^{‑ 1}2 Гц, 12, 76· 1⁰ ‑ 19 Гц, ^{15· 10} ‑ 10 Гц. Чи варто міркувати про те, чи оптичний це діапазон, якщо у нас одне коливання відбувається в кілька тисяч років?

Перейдемо до розгляду більш тонких випадків. Якщо мова йде про конкретні речі, варто уявляти собі — дуже-дуже орієнтовно — їх можливості. Чи може звичайна батарейка віддавати в навантаження потужність 154 кВт або 58 кВт? Школяр, який знає про таке поняття, як внутрішній опір (у школі варто було б розповісти, що це таке і навіщо існують «еквівалентні схеми»), легко зметикує, що потужність не може бути більшою за(mathscr {E} ^ 2/( 4r)), а для звичайних батарейок це менше 1 Вт!

Далі, якщо мова йде начебто не про конкретні речі, то корисно розуміти, що взагалі буває. Чи розсудлива, наприклад, відповідь для енергії 1,93· 101⁵ Дж? Цього вистачить, щоб довести до кипіння кілька мільйонів тонн води. Ну звичайно, якщо ви шанувальник Станіслава Лема, то в його романі «Непереможний» є таке: «Тисяча чотириста двадцять два рентгена в полі, значить, випромінювання пробило силовий бар’єр, — зрозумів Рохан. Він не знав, що таке можливо. Але, коли глянув на шкалу потужності, зрозумів, який заряд використовував астрогатор. Цієї енергії вистачило б, щоб гарненько вскип’ятити внутрішньоконтинентальне море середньої величини. Що ж, Хорпах вважав за краще не ризикувати повторними пострілами. Може, він трохи перехопив, але тепер вони знову мали тільки одного противника «.

Переведемо дух і повернемося на Землю. Чи розсудлива відповідь для частоти електромагнітного випромінювання 3,6· 103⁴ Гц? У школі спектр закінчується приблизно на 3· 1021 ^Гц, тобто на 13 порядків раніше. Зрозуміло, в школі було б корисно обговорити, яке взагалі можливе електромагнітне випромінювання (за всіма його параметрами — частотою, довжиною хвилі, енергії, потужності, поляризації…), але 13 порядків повинні були б насторожити самого відчайдушного школяра.

У шкільних завданнях завжди використовуються якісь ідеалізовані уявлення, сильно спрощені моделі. Це в принципі нормально — фізика вся так влаштована, хоча ступінь ідеалізації і спрощення в серйозній фізиці зазвичай відрізняється від шкільної. Школярам варто було б пояснювати це докладно, показуючи на прикладах, як відбувається розвиток моделі, але це зазвичай не робиться. Тим не менш, укладачі завдань у більшості випадків дають для розрахунків мало-мальськи реальні величини і чекають в якості відповіді такі ж. Завдання типу таке: «До батарейки від кишенькового ліхтарика, на якій написано 4,5 вольта, під’єднали лампочку, опір якої при вимірі виявилося 2 ома. Який струм буде текти? «дають все-таки рідко. Тому в завданні, в якому треба було визначити енергію електрона при фотоемісії, а потім розрахувати довжину його пробігу в заданому гальмуючому полі, школярі, які отримали відповіді типу 2, 2· 10 ^‑ 40 м; 5, 9· ¹⁰ ‑ 36 м; 1, 4^{· 1}0 ‑ 22 м; 8, ^7· 10 ‑ 16 м; ^1, 2· 10 ‑ 11 м^; 2,7· 107 м; ²,3· 1027 м, повинні були насторожитися. Тому що передостання відповідь — це два діаметри Землі, а про малі відстані ви в цій статті вже прочитали. До речі, одна з тих, хто отримав фантастичну відповідь, насторожилася — у останньої відповіді стояв знак «?». Відповідь, що перевищує розмір Всесвіту (в одному із сучасних розумінь), все-таки викликала сумнів. Або такий приклад — персонаж отримав потужність від батарейк^и 4· 10 ‑ 19 Вт. Для звичайної батарейки це відповідає струму ^2, 5· 10 ‑ 19 A, тобто півтора електрона в секунду! В середньому, в середньому… Та просто по повітрю потече більший на порядки струм — і приєднувати до неї нічого не треба.

Ось ще одне чудове завдання, в якому зробили некоректність виробники і робили помилку багато споживачів. Дано об’єм, в нього поміщають скільки-то ²¹⁰Po, який з таким-то періодом напіврозпаду випускає лід-частинки і перетворюється на Pb. Яким буде тиск в обсязі через деякий час? Істотна частина правильно обчислювала, скільки атомів Po розпадеться і скільки атомів Pb вийде, а потім визначала тиск по універсальному газовому закону. Вже добре… Але взагалі-то завдання некоректне — лід-частинки вилітають зі зразка в об’єм тільки з 10-мікронного приповерхнісного шару (та й то не всі), тобто більшість взагалі не вилетить. До речі, частинки ці — не зовсім атоми гелію, але «не будемо про страшне на ніч», як каже один мій знайомий фізик.

Що робити на реальному іспиті — не взагалі, а в аспекті цієї статті? Подивитися на відповідь і подумати, чи не суперечить він чомусь, відомому зі школи, наприклад чи не отримали ви енергію випромінювання менше ніж третина заряду електрона e (за модулем, за модулем!). Крім того, корисно подивитися просто на умову завдання. Школяр, який вирішував завдання про плавання об’єкта на кордоні двох рідин, щільності яких 900 кг/м³ і 2700 кг/м³, і отримав відповідь для щільності об’єкта 100 кг/м³, дарма цього не зробив. Як сумний анекдот можна додати, що сотні школярів радісно писали, що це масло і алюміній, хоча в завданні це не питалося. Навіщо було демонструвати жахливу абстрактність свого мислення?

Далі, всередині завдання часто доводиться, як це не дивно, складати. Отримавши в якості проміжного результату щось на зразок (0,515· 101⁵ + 2,75), варто насторожитися. Так само як і отримавши в якості відповіді на питання «у скільки разів» відповіді «в 1,2· 1018 рази» або «в 0,4· 1026 разів». Якщо завдання складала мінімально розумна людина, такого не буде — складати і віднімати в школі має сенс порівняні величини (хоча б через те, що дозволено користуватися калькуляторами). Зауважимо, що в серйозній фізиці (і школярам варто було б це пояснювати) ситуація складніша — буває, що сильно відмінні величини доводиться складати. А частіше їх доводиться порівнювати — для вибору моделі, для обґрунтування того, що ми враховуємо, а ніж в даному випадку поки нехтуємо.

Отже, численні оцінки мають велике значення у фізиці — причому ще задовго до отримання відповіді! Вони дозволяють побудувати модель і визначити напрямок її розвитку. Це — одна з причин важливості численних оцінок для фізики. Для решти людей вони важливі ще й тому, що в деяких випадках охороняють від різного роду шахраїв і від недобросовісної реклами. Любимо ж ми численні оцінки, як і взагалі знання, саме тому, що знання допомагає виживанню і при правильному його застосуванні покращує життя. Це все добре, а що робити зараз? Відповідь проста — взяти підручник фізики (за всі класи) і, повільно гортаючи його, про кожну зустрічну величину подумати, які її значення зустрічаються в житті, які можуть зустрітися в завданнях. Інтернет допоможе вам знайти відповіді, а дивишся, і статтю для «Кванта» напишіть. А ще корисно подивитися статті О.О. Лук’янова про численні оцінки — в інтернеті запитайте «Лук’янів» і «в числах».

І останнє. Всі відповіді, наведені в цій статті, є реальними. Діалог в епіграфі — теж. Правда, тут же з’ясувалося, що співрозмовник жартував. А ось школярі, коли писали всі ці жахи, аж ніяк не жартували.