Монети постійної ширини

Навчання 26 серпня 2022 Перегляди: 73

У 2014 році британський Королівський монетний двір вирішив змінити дизайн монети в 1 фунт і зробити її у формі правильного 12-вугільника — для захисту від підробок. Але торгові автомати «впізнають» монету за її шириною, а у такої монети ширина сильно залежить від того, як її вставили в щілину. Тому в 2016 році кути згладили, а сторони заокруглили. І хоча оновлену монету автомати стали добре «впізнавати», її ширина залишилася змінною: від 23,03 мм (між протилежними сторонами) до 23,43 мм (між кутами). Монету випустили 28 березня 2017 року:

А чи можна робити багатокутні монети постійної ширини?

Можна. Опишемо, як це робити для правильного багатокутника з непарним числом сторін. Поставимо циркуль по черзі в кожну вершину і проведемо дуги між протилежними вершинами. Отримаємо фігуру, вершини якої залишаться як були, а сторонами стануть ці дуги. Ширина такої фігури постійна в будь-якому напрямку. Так зроблені 5 євро Австрії (дев’ятикутник), 50 центів Великобританії (семикутник) і 1 долар Бермудських островів (трикутник, мабуть, на честь Бермудського трикутника).

Чи обов’язково, щоб при цьому багатокутник був правильний? Зовсім ні — достатньо, щоб у нього були рівні довжини всіх діагоналей між протилежними вершинами (тобто щоб діагоналі утворювали зірку з рівними сторонами, рис. 1).

Ріс. 1 і 2

В описаному способі сусідні дуги стикуються «під кутом», і у монети залишаються вершини, які можна намацати. Зараз ми запропонуємо конструкцію, коли кути зникають, і монета стає зовсім гладкою, хоч і не буде кругом. Візьмемо трикутник ABC зі сторонами a = BC, b = AC, c = АВ і відкладемо від вершини А на продовженнях сторін AC і AB відрізки довжини a. Отримаємо точки D₁ і D₂, як на малюнку 2. Виконавши аналогічну операцію з вершинами C і B, отримаємо точки D₃, D₄, D₅ і D₆. Тоді AD₁ = AD₂ = a і AD₄ = AD₅ = b + c, а отже, ми можемо провести дуги D₁D₂ і D₄D₅ кола з центром в А. Аналогічно проводимо дуги D₅D₆ і D₂D₃ з центром в B, а також D₃D₄ і D₆D₁ з центром в C.

Діаметр монети буде   =   = a + b + c, а кутів у монети не буде, адже дуги перпендикулярні продовженням сторін трикутника. Ми можемо змінити розмір монети, зменшивши або збільшивши радіуси всіх дуг на одну і ту ж довжину. Приблизно так зроблена канадська п’ятдесятицентова монета:

Насправді і у бермудської трикутної монети кути теж трохи заокруглені.

Художник Артем Костюкевич