Морські кордони

Навчання 26 серпня 2022 Перегляди: 63

За статтею Анатолія Савіна з журналу «Квант», № 4 за 1994 рік.

Виникнення воєн, як правило, має своєю причиною бажання встановити нові кордони країн, такі, які нападаюча сторона вважає більш справедливими. У хід йдуть посилання на історичні факти, на інтереси нації, на захист частини населення іншої країни. Яких тільки аргументів на користь зміни меж не було за багатовікову історію людства, що супроводжувалася постійними війнами! Ми ж розглянемо більш спокійну ситуацію.

Ріс. 1

Дві держави вирішили на карті провести морський кордон, оскільки їхні береги омиваються одним морем. У цьому випадку немає річок, хребтів та інших природних розмежувальників, тому вирішили виходити з принципу: кожна точка кордону повинна бути однаково віддалена як від однієї країни, так і від іншої.

Проведемо фундаментальні дослідження на цю тему. Як відомо, їх потрібно починати з найпростіших випадків. Випадок перший: країни — це крихітні острови в океані. Тоді морським кордоном буде серединний перпендикуляр до відрізка, що з’єднує острови.

Зазначимо, що це — дійсно фундаментальний факт. Він дозволяє встановити прийнятні морські кордони для будь-яких конфігурацій берега. Для цього достатньо поставити вздовж берегів багато маяків, а потім провести серединні перпендикуляри до відрізків з кінцями в маяках, як це зроблено на малюнку 1. Ці перпендикуляри розіб’ють море на шматочки, кожен з яких цілком відійде одній з країн.

Ріс. 2

Досить вражаючий приклад користі фундаментальних досліджень! Але уявімо собі, що береги обох країн прямолінійні.

У цьому випадку наближення набором точок неефективне. У цьому випадку з властивостей біссектриси кута отримуємо, що морським кордоном буде саме біссектриса кута між берегами (рис. 2). Продовжимо наші фундаментальні дослідження і розглянемо випадок третій: одна країна — точка, а інша — напівплоскість (рис. 3).

Ріс. 3

Зрозуміло, математики вже давно (з часів стародавніх греків) з’ясували, яка крива є геометричним місцем точок, рівновіддалених від даної точки і даної прямої. Ця крива — парабола, та сама парабола, яка є графіком квадратного тричлена у = ах² + bx + с. Вказані точка і пряма теж мають свої назви: точка називається фокусом параболи, а пряма — її директрисою.

Тепер можна проводити морські кордони в тому випадку, якщо країни мають невеликі острови або прямолінійні ділянки кордону — наприклад, як на малюнку 4. У цьому випадку морський кордон складено з відрізків і шматків парабол. Якщо ж море має форму випуклого багатокутника (як у завданні «Як провести межі?» на 4-й сторінці обкладинки «Квантика» № 10 за 2019 рік), то морський кордон складено з біссектріс до кутів, утворених відрізками берегової лінії. Це випливає з того, що відстань від будь-якої точки моря до берега дорівнює відстані до якогось відрізка цього берега.

Ріс. 4 (ліворуч) і 5

Ну а якщо острів не дуже маленький, але круглий? Як у цьому випадку розмежувати море між ним і країною з прямолінійним берегом? Неважко зрозуміти, що і в цьому випадку межа буде параболою (рис. 5). Її фокус знаходиться в центрі кола, а директриса — пряма, паралельна берегової лінії другої країни і відстоїть від неї на відстань, що дорівнює радіусу заданого кола.

Щоб завершити розповідь про фундаментальні результати в цій області, залишилося зазначити, що в третьому випадку, коли проводиться морський кордон між двома круглими островами, ми отримуємо геометричне місце точок, рівновідстоячих від двох окружностей, тобто безліч точок, різність відстаней яких від центрів цих окружностей постійна і дорівнює різниці їх радіусів. Така крива називається гіперболою. Вона зображена на малюнку 6.

Ріс. 6 (ліворуч) і 7

Тепер, у всеозброєнні фундаментальних знань, проведіть морський кордон на карті, зображеній на малюнку 7.

А ще подумайте, як провести кордони, якщо одна країна розташована по берегах круглого моря, а інша являє собою круглий острів десь у цьому морі.

Відповідь

Проведені лінії — це біссектриси кутів між усіма парами прямих, що йдуть обабіч озера, і перпендикуляри до сторін озера в прикордонних точках на узбережжі.

Художник Марія Усеїнова