Нескінченність — не межа

Навчання 02 серпня 2022 Перегляди: 72

Ця стаття є спробою дати первинний опис порядкових чисел (ординалів). Схожий предмет в «Кванті» вже обговорювався в статті А. Кирилова, І. Клумової та А. Сосинського «Сюрреальні числа» (№ 11 за 1979 р.), проте тоді ординали були згадані побіжно, відзначався лише їх зв’язок з нескінченними послідовностями. Приблизно цим зв’язком керувалися і ми, і Кантор, коли їх, власне, відкрив.

Серед коміксів відомого в інтернеті автора під псевдонімом Дюран варто відзначити «Нескінченний жарт». Цей комікс чудовий; зокрема, в ньому головний герой розповідає нескінченному числу математиків анекдот про, власне, оповідача анекдоту. Це породжує якусь циклічність, але суть не в цьому. Суть в анекдоті про нескінченне число математиків, що заходять в бар. Ось він:

Заходить нескінченне число математиків в бар. Перший говорить бармену: «Мені кухоль пива». Другий каже: «Мені півкружки». Третій: «Мені чверть». І так далі. «Ну вас до біса», — вигукує бармен і наливає дві гуртки.

Нехай бармен обслужив нескінченне число математиків за 2 секунди. А саме, нульовий математик (а в дискретній математиці прийнято відраховувати від нуля) обслуговується за 1 секунду, перший — за півсекунди, другий — за чверть і так далі, n-й обслуговується за(frac {1} {2 ^ n}) секунди. Отже, всі математики будуть обслужені за 2 секунди. Після цього в бар заходить ще один математик.

Кожному з попередніх математиків ми могли присвоїти номер. Немає питань у тому, якого математика вважати другим, якого — нульовим, а якого — стотисячним. Але ось яким числом занумерувати цього нового математика, який зайшов у бар? Присвоїмо йому номер, і кількість математиків перед ним також будемо позначати. Так, це нескінченне число, але нічого страшного в цьому немає. Наступного за ним математика назвемо (^ + 1) -м, наступного за цим — (^ + 2) -м і так далі. Нехай і ці математики пройдуть бар за 2 секунди так само, як це зробили перші почесні математики. Скільки ж всього математиків пройшло бар? Відповідь проста: ω + ω = ω · 2. А нехай зайдуть ще математиків! Тепер скільки їх? ω · 3.

Добре, зробимо анекдот ще смішнішим: Тепер математиків заходять в бар за 1 секунду, потім ще чотирьох математиків заходять в бар за півсекунди, потім ще чотирьох математиків заходять в бар за чверть секунди і так далі. Скільки математиків опиниться всередині бару за 2 секунди? Вочевидь, лід = ^ 2^.

Здається, ми навчилися і складати математиків, і множити. Як же ми це робимо? Ось хочемо скласти чотирьох математиків і математиків. Що це означає? Все просто: в бар зайшли спочатку почесників математиків, потім — математиків, і їх стало — +. Однак не все так просто. Розглянемо наступну ситуацію: у бар спочатку зайшли два математики, а потім — математики. Але чи можливо відрізнити цей випадок від того, коли в бар заходять почесні математики? Уважно дивимося на малюнок 1 і розуміємо, що ні (більш точне обґрунтування вимагає введення поняття ізоморфізму). Значить, 2 + ­ =. А от якщо в бар зайде лід математиків, а за ними 2 математика, то ситуація буде зовсім іншою. Отже, 2 + — не дорівнює ^ + 2. Тим самим, в загальному випадку, +’не дорівнює’+’, як ми звикли.

Ріс. 1

Більш цікавим є введення множення. Щоб помножити 2 на 3, треба замість кожного з трьох математиків підставити двох і отримати шість математиків. Узагальнимо цей принцип на наш випадок.

Скажімо, ми хочемо помножити відхід на 2. Розглянемо ситуацію: стояли два математики. А ми замість кожного поставили чотирьох математиків, і вийшло ^· 2 математиків (рис. 2). В іншому випадку ми хочемо помножити: стояли математиків, ми замість кожного математика поставили чотирьох математиків. Таким чином, якщо ми хочемо помножити порожній, ми просто замість кожного математика з чотирьох математиків підставляємо оріг математиків.

Ріс. 2

Чи є тут щось цікаве? Виявляється, так: Что будет, если мы 2 умножим? Підставимо замість кожного математика з почесних математиків двох математиків (рис. 3). Знову отримаємо чотирьох математиків. Виходить, ^· 2 не дорівнює 2· ^, тобто в загальному випадку.

Ріс. 3

В якості вправи хочеться запропонувати читачам довести на математиках для довільних стежок, а також таке співвідношення: Лутковська (ЛУПО) =  · + ^·, тобто можливість розкриття дужок зліва. Ще цікавіше обгрунтувати некоректність розкриття дужок праворуч, тобто знайти приклади, коли (‘+-а)·. (Підказка. Розгляньте вираз (  + 1)· 2.)

Отже, було почесних математиків, ми замість кожного з них математиків підставили на математиках, отримали ² математиків. Після замість кожного з ­ ² математиків підставили ­ математиків, отримали ­ ³ математиків. Добре, я зможу отримати хоч ¹⁰⁰. Як же визначити ^{почесних} математиків?

Представимо створення нового, ідеального світу. Жив на землі тільки один математик. Одного разу на хмарах у піднебессі збираються єзидів на раду. Каже бог номер 0: «Хай буде на землі замість кожного математика ­ математиків!» І стало чотирьох математиків. Бог номер 1 каже: «Хай буде на землі замість кожного математика ­ математиків!» І з’явилося на землі — ² математиків. Бог номер 2 сказав: «Хай буде на землі замість кожного математика ­ математиків!» І стало математиків на землі — ³. І кожен наступний бог говорив: «Хай буде на землі замість кожного математика ­ математиків!» І стало на землі ^{почесних} математиків. І зрозуміли боги, що це добре.

Що ж зробили боги? Вони вперше помножили його на саме себе (трохи більш детальне обґрунтування того, що відбувається дано нижче дрібним шрифтом). І отримали ^{чотирьох} математиків.

Тепер уявімо нову ситуацію. Жив на землі тільки один математик. У піднебессі зібрався пантеон з ^­ богів. І сказав нульовий бог: «Хай буде на землі замість кожного математика ­ математиків!» А перший бог сказав: «Хай буде на землі замість кожного математика ­ математиків!» І другий бог це сказав, і бог номер ­ + 1 це сказав, і бог номер ­ ² + ­· 2 + 4 це сказав, так всі боги, крім нульового, це сказали. І з’явилося на землі( ^ { }) математиків. І зрозуміли боги, що це добре.

Отже, як нам отримати участь у ступені математиків? Треба, щоб на небесах сиділи єзавів, на землі жив тільки один математик і кожен бог сказав: «Хай буде на землі замість кожного математика ­ математиків!» Що роблять боги? Вони вкотре множать сама себе. Роблять те ж, що зазвичай робимо в таких випадках ми, коли 2 зводимо в куб.

Ключовою властивістю ординалів (тобто всіх цих чисел, якими ми вважаємо нескінченне число математиків) є можливість індукції за ними. Така індукція називається трансфінітною. Розглянемо докладніше одне з формулювань принципу математичної індукції. Нехай   (n) — деяке твердження щодо натурального числа n (наприклад ,(sumlimits _ {i = 0} ^ {n} i =frac {n (n + 1)} {2})), тоді принцип можна сформулювати так:

Якщо з того, що для будь-яких m менших, ніж n, виконується   (m), випливає, що виконується   (n), то для будь-якого натурального n виконується   (n).

Як таким принципом користуються? Кажуть: «Давайте припустимо, що для всіх натуральних m n виконується(sumlimits _ {i = 0} ^ {m} i =frac {m (m + 1)} {2}). Доведемо тоді, що(sumlimits _ {i = 0} ^ {n} i =frac {n (n + 1)} {2}) «. Зауважимо, що в такому формулюванні база задається неявно: твердження «для всіх натуральних m просто тому, що таких m немає. Таким чином, щоб довести твердження для n, нам все одно треба розглянути два випадки: 1) n = 0; 2) існує натуральне число n ‑ 1, яке менше n, а отже, для нього правильне(sumlimits _ {i = 0} ^ {n-1} i =frac {(n-1) ((n-1) + 1)} {2}). Після того, як ми довели твердження для n у двох цих випадках, ми отримуємо посилку принципу індукції: «З того, що для будь-яких m менших, ніж n, виконується   (m), випливає, що виконується   (n)». Знаючи, що принцип індукції істинний, ми підсумовуємо, що для будь-якого натурального n вірно(sumlimits _ {i = 0 {n} i =frac {n (n + 1)} {2}).

Однак точно таким же чином ми можемо йти індукцією з математиків. Нехай стоять математиків і про математика номер — ми можемо сказати якесь твердження  . Нехай нам відомо, що з того, що для будь-якого математика з номером, меншим, ніж лід, справедливо   (порожній), випливає, що справедливо  . Тоді за принципом індукції твердження   справедливе для всіх почесних математиків.

Іноді ми говоримо про рекурсію або про індуктивне визначення. Прикладом може послужити визначення зведення в натуральний ступінь:

1. a⁰= 1,
2. aⁿ⁺¹= aⁿa.

Насправді не очевидно, чому ми зможемо порахувати aⁿ для будь-якого натурального n і довільного a в результаті такого визначення. Можливість рекурсії випливає зі справедливості самого принципу індукції. Таким чином, у нашому прикладі з богами ми «дали» індуктивне визначення зведення в ступінь, зауваживши під килим один важливий момент. Розгляньмо три випадки:

3. У пантеоні немає богів, а на землі 1 математик. Виходить, що a⁰ = 1.
4. У пантеоні — + 1 богів. Тоді після слів останнього бога з’явиться ^{— +} 1 = лід.
5. У пантеоні «богів», причому немає такого ординалу, що ^ = ^ + 1. Прикладом такого порожній — у цього «числа» немає попереднього. У такому випадку говорять про взяття супремума (sup) по всіх менших ординалах. Говорячи про супремум, ми маємо на увазі деяке злиття послідовностей математиків. Приклад отримання плечей математиків таким способом показано на малюнку 4.

Ріс. 4

В результаті такої операції повинна вийти найменша послідовність, що містить всі кінцеві послідовності математиків в якості своїх початкових підпослідовностей. Таким чином ми хочемо сказати, що — Це = sup} | — кінцевий ординал}.

Подібним чином визначається ступінь у разі ординалу, який не має попереднього, тобто в | = sup ^{{. Нагадаємо, що в результаті виходить злиття послідовностей, створених попередніми богами, описаним на малюнку 4 способом.}

Отже, ми визначили зведення більшою мірою через зведення в менші. Пославшись на можливість трансфінітної рекурсії, зрозуміємо, що таким чином ми навчилися зводити ординали в будь-який ступінь.

Зараз ми підходимо до фіналу історії. Ось її закінчення:

У піднебессі сиділи єзавів. І нульовий бог сказав: «Хай буде на Землі математиків!» І перший бог сказав: «Нехай на землі буде математиків такою мірою, якою їх вже на землі є!» І другий бог це сказав, і третій бог це сказав, і всі наступні боги це сказали. І стало на землі — ₀ математиків. І зрозуміли боги, що це добре.

Але позаздрив диявол тому, що робили боги. Прийшов у піднебесся і сказав: «Нехай на землі буде математиків такою мірою, якою їх вже є на землі!» Але математиків залишилося все одно — ₀. Так диявол був осоромлений.

Що ж сталося в цій історії? Після слів нульового бога на землі — математиків, після слів першого(  .) математиків, після слів другого(. «Число», яке вийшло в результаті, називається ^ 0. Воно має одну чудову властивість: ( ω^{ε_0} = ε_0 ).

Всі ці нескінченні числа називаються ординалами. Насправді вони позначають спеціальний вид порядку на різних безлічі, про що ми тут поширюватися не будемо. Детальніше про це можна прочитати в книзі Н.К. Верещагіна і А. Шеня «Початку теорії безліч» (М.:МЦНМО, 1999).