«Обпікшись на молоці, на воду дують…»

Навчання 26 серпня 2022 Перегляди: 63

… І, видно, неспроста. Але чим це пояснити? Напевно, багатьом знайомий мимовільний експеримент: швидко вийнявши палець з окропу, хочеться на нього підути або помахати рукою (краще не пробуйте повторити цей експеримент). Ясно, що тут мова йде про посилення тепловідведення від пальця в повітря. Фізики давно навчилися описувати цей процес. Вважається, що щільність потоку теплової енергії _jт, вимірювана в Дж/( ^м2· с), в напрямку деякої координати r пропорційна швидкості зміни (точніше, темпу зміни) температури в протилежному напрямку:    (1)

Тут   r — відстань між двома точками середовища, температури яких відрізняються на ^ T. А знак «мінус» говорить про те, що тепло тече від гарячих ділянок до холодних.

Ставлення називають градієнтом температури вздовж r, а сама залежність (1) є закон Фур’є — на ім’я французького фізика і математика Жана Батіста Фур’є (1768-1830).

Але, виявляється, така пропорційність зустрічається не тільки в теорії теплопровідності. Наприклад, щільність електричного струму _jе, вимірювана в А/м² = Кл/( ^м2· с), пропорційна градієнту електричного потенціалу  , який безпосередньо визначає напруженість електричного поля:    (2)

Цей закон називається (узагальненим) законом Ома, на ім’я німецького фізика Георга Сімона Ома (1787-1854). Порівнюючи вирази (1) і (2), можна і температуру T назвати потенціалом — різність значень цього потенціалу викликає потік тепла.

Далі, якщо в будь-якому розчині, наприклад цукру у воді або парфумів у повітрі, концентрація речовини неоднакова в різних точках, то виникає дифузія, і щільність потоку молекул цієї речовини j_n виявляється пропорційною градієнту концентрації n, тобто темпу її зміни в просторі:    (3)

Це співвідношення — закон Фіка, на честь німецького фізіолога Адольфа Фіка (1829-1901). Тепер можна і концентрацію речовини назвати потенціалом, різність значень якого викликає дифузійний потік маси.

Але і це ще не все. Коли ми дуємо на палець, швидкість потоку повітря біля його поверхні близька до нуля, а з віддаленням від поверхні вона зростає. Іншими словами, має місце зміна дотичної складової швидкості за напрямом нормалі. У результаті виникає дотичне напруження ju_, що вимірюється в Н/м2^, тобто тертя шарів повітря один про одного і, в кінцевому рахунку, об саму поверхню обтічного тіла. І, виявляється, (4)

Адже цю напругу можна назвати щільністю потоку імпульсу: Н/м² = (кг· м/с )/⁽ м2· с)! Порівнюючи вираз (4) з попередніми, як не назвати швидкість потенціалом? Рідини, що підкоряються цьому закону, називаються ньютонівськими. Ви здогадалися, чому? Правильно: його встановив великий Ньютон ще в 1687 році.

Тепер можна здивуватися і захопитися: різні за своєю природою фізичні процеси, опис яких більш ніж 100-300 років тому запропоновано чудовими вченими різних країн, відображають якийсь загальний факт: щільність потоку будь-якої фізичної сутності — теплової енергії, електричного заряду, розчинної речовини, імпульсу… пропорційна темпу просторової зміни відповідного потенціалу — температури, електричної напруги, концентрації, швидкості…

Всі згадані процеси називаються явищами перенесення. Знак пропорційності у наведених співвідношеннях можна замінити знаком рівності, якщо при кожному градієнті написати відповідний коефіцієнт: теплопровідності, електропровідності, дифузії, в’язкості… — це добре знають студенти вже першого курсу університету.

Однак повернемося до обвареного окропом пальця. Хто ж переносить тепло від пальця і чому хочеться на нього подути? Звичайно, цим займаються молекули, і, звичайно, дунування прискорює тепловідведення.

Ріс. 1. Зображення: «Квант»

Розгляньмо сферу (або напівсферу) радіусом R з температурою поверхні Т_п, моделюючу кінчик пальця. Якщо навколишнє повітря спокійне, «гарячі» молекули, теплова швидкість яких відповідає Т_п, проштовхуються в напрямку від поверхні (ризи.1, а), а назустріч їм так само проштовхуються холодні молекули з «нескінченності», де температура дорівнює _T ­. Встановлюється певний розподіл температури, який якісно представлено кривою на малюнку 2. Можна показати, що температура падає в радіальному напрямку досить плавно, за гіперболічним законом, істотно змінюючись на відстані порядку R. (У цих міркуваннях не взято до уваги силу Архімеда, що змушує спливати теплий газ в атмосфері холодного і, звичайно, допомагає відведення тепла.) У результаті щільність потоку теплової енергії від поверхні можна записати у вигляді залежності від кінцевої різниці температур і відстані, на якій відбувається її істотна зміна:

Ріс. 2. Зображення: «Квант»

Тепер почнемо потихеньку дути на палець. Зрозуміло, що молекули, що забирають тепло, «здуваються» потоком повітря (ризи.1, б). Нарешті, подуємо що є сили, тоді всі молекули, що «стартують» від поверхні, вмістяться в тонкому шарі характерної товщини ^ (ризи.1, в), істотно меншої радіусу сфери R (^

Цей тонкий шар називають прикордонним. Він був вперше введений відомим німецьким аеродинаміком Людвігом Прандтлем (1875-1953) — звичайно, не в застосуванні до пальця, а при вирішенні проблем опору тіл у потоці рідини або газу. Є думка, що тільки за введення цього плідного поняття Прандтлю слід було б присудити Нобелівську премію.

Але продовжимо наші міркування. Ми знаємо, що саме молекули забирають тепло від пальця (і приносять «холод» з навколишнього середовища). Отже, для оцінки товщини теплового прикордонного шару слід використовувати характеристики молекулярного хаосу. Які саме? Зрозуміло, насамперед це середня швидкість теплового руху — чим швидше рухаються молекули, тим інтенсивніше теплообмін. Далі, це середня довжина вільного пробігу молекули l — чим вона більша, тим далі забере молекула енергію, передавши її наступній молекулі при зіткненні. Твір цих двох величин має розмірність м2^/с, а якщо його помножити на час проходження повітрям характерної відстані порядку радіусу R, то отримаємо оцінку квадрата товщини прикордонного шару:    (5)

(До речі сказати, саме Фур’є першим почав застосовувати метод розмірностей.)

Співвідношення (5) характерне для всіх процесів блукання. Воно сходить до перших спроб опису броунівського руху частинок. А його образним аналогом є проблема п’яного матроса в незнайомому місті. Опинившись на будь-якому перехресті, матрос навмання вибирає один з чотирьох напрямків. Питається: як далеко матрос піде від початкової точки, пройшовши N кварталів? Відповідь: середній очікуваний квадрат цього видалення пропорційний N. Зрозуміло, що видалення буде залежати і від швидкості руху, і від довжини кварталів l, тобто буде описано виразом (5). Залишилося підставити його у формулу для щільності потоку тепла від поверхні пальця:

Звідси видно, що від нас залежить тільки швидкість потоку повітря u. Саме вона перетворює повільну дифузію молекул на дні прикордонного шару на швидке конвективне перенесення на його зовнішньому кордоні. Так що дуйте сильніше. Але не перестарайтеся. Бо якщо досягти надзвукової швидкості, то, навпаки, велика кінетична енергія потоку повітря перейде в точці гальмування в тепло і дасть високу температуру поверхні. Дійсно, із закону збереження енергії

записаного для одного моля повітря, при швидкості обдуття, наприклад, u ­ = 1000 м/с отримаємо

Втім, навряд чи наші губи і легені дозволять забезпечити надзвукове обтікання пальця повітрям.

Цікаво зауважити, що при ковці знаменитих шабель з дамаської сталі коваль вручав джигіту розпечений клинок і джигіт негайно скакав у весь опор, посилено розмахуючи ім. Мабуть, такий режим охолодження був оптимальним для тодішньої інноваційної технології.

Але чи всі ми вчили? Ні, не все: палець-то після окропу мокрий! І тут набуває чинності ще процес випаровування молекул води, за яким слідує їхня дифузія в прикордонному шарі і винесення повітрям. Для опису цього процесу потрібно використовувати співвідношення (3). Нам це не в новинку — адже і розглянута раніше теплопровідність є не що інше, як дифузія теплової енергії. І тепер до відведення тепла молекулами повітря додасться унос теплоти фазового переходу L разом з випаровується масою води:

Тут jm = j_nm (m — маса молекули) — це щільність потоку маси, уносимої з обдуттєвого тіла, n_п і n ­ — відповідні значення концентрації молекул води. Цей унос тепла максимальний, якщо навколишнє повітря сухе (_n ­ ­ 0). І це значна добавка — адже питома теплота пароутворення для води досить велика: L’2МДж/кг.

Ось чому для охолодження літальних апаратів, що входять в атмосферу з великою швидкістю, використовують рідину, продавлювану зсередини через пористу поверхню тіла: випаровуючись, вона забирає тепло і рятує апарат від згоряння. Не марно також у спекотних пустелях для охолодження пепсі ставлять пляшку, обернуту мокрою ганчіркою, на дах автомобіля і женуть його якомога швидше. Тут вже працюють і u, і L, і…

Ось як корисно знати газотермодинаміку!