Парадокс днів народження

Навчання 26 серпня 2022 Перегляди: 74

Маша попросила свого старшого друга, професора Івана Петровича, виступити перед її однокласниками з цікавою темою. І ось, в ранній ранок понеділка, Іван Петрович зайшов у клас. Діти, побачивши професора, розчаровано зітхнули, і лише одна Маша радісно помахала йому рукою.

— Так, бачу, ви сьогодні мало каші їли… — засмучено сказав професор.

— Ні, ми просто вас по телевізору бачили, — сказав один з хлопців. — Ви там про якісь жахливо нудні математичні формули говорили…

— Далеко не вся математика складається з нудних формул. Сьогодні ми розглянемо парадокс днів народження! Яка, наприклад, ймовірність того, що з 30 осіб двоє народилися в один день?

— Так, всього чоловік 30, значить, ймовірність — 30/365, — почала швидко підраховувати Маша.

— А 30/365 — це приблизно 0,08, або 8%, — підказав інший учень, який вже встиг дістати калькулятор.

— Ні, Маша, ти вважаєш, яку частину людей становить від числа днів у році. І якщо людей більше 366, то ймовірність у тебе більше 1 вийде.

— Так… Напевно, можна трохи підправити формулу?

— А ось і ні, — загадково посміхнувся професор. — Шанс того, що хоча б двоє з цих 30 народилися в один день, перевищує 50%.

— Але як? — закричали діти. Тепер вже прокинулися навіть ті, хто сидить за останньою партою.

— Ймовірність того, що у двох людей збігаються дні народження, дорівнює 1/365. Всього з 30 людей можна скласти 30 29/2 = 435 пар.

— Але чи правильно підраховувати пари? — заперечила Маша.

— Гарне питання! Звичайно, ймовірність не може дорівнювати 435/365, адже це більше одиниці. Ми не можемо скласти ймовірності збігу днів народження в кожній парі, тому що дні народження можуть збігатися відразу в декількох парах. Але тепер ймовірність понад 50% вже не здається такою великою.

— Але як все-таки підрахувати ймовірність правильно?

— Розрахуємо спочатку ймовірність того, що дні народження всіх людей будуть різними. Візьмемо навмання однієї людини з групи і запам’ятаємо її день народження. Потім візьмемо навмання другої людини: ймовірність того, що у нього день народження не збігається з днем народження першої людини, дорівнює 1 − 1 365. Потім візьмемо третю людину: ймовірність того, що його день народження не збігається з днями народження перших двох (за умови, що дні народження перших двох не збіглися), дорівнює 1 − 2 365. За аналогією, для останньої людини ймовірність неспівпадіння його дня народження з усіма попередніми дорівнюватиме 1 − 29 365. Перемножуючи всі ці ймовірності, отримуємо ймовірність того, що всі дні народження в групі різні. А ймовірність того, що якісь дні народження збігаються, дорівнює тоді

1 − 1 − 1 365 · 1 − 2 365 · … · 1 − 29 365 ≈ 0,71 .

— А як ви думаєте, де цей парадокс можна застосувати?

Діти голосно почали обговорювати різні варіанти. Нікого з них толком не було ні чути, ні зрозуміло.

— Ось прекрасний приклад, — зазначив професор.

— Але нічого не можна було розібрати через шум! — здивувалися деякі.

— У цьому і є приклад, — загадково сказав професор. — Ви знаєте, що таке RFID-мітки *?

Всі негативно похитали головами.

— Це невеликі пристрої, які по радіочастоті передають своє «ім’я», тобто закладену в них інформацію. Наприклад, вони можуть бути прикріплені до кожної коробки всередині вантажівки. Коли вантажівка заїжджає на склад, спеціальний пристрій читання прямо при в’їзді зчитує, які товари привезли. Рідер посилає сигнал, але деякі мітки можуть відповісти одночасно, як тільки що робили ви. Сигнали таких відповідей накладаються один на одного, і нічого не можна розібрати.

Як вирішити цю проблему? Для цього є різні алгоритми. Деякі базуються на тому, що часовий проміжок читання міток розбивається на невеликі інтервали (слоти), а мітки випадково вибирають інтервал для передачі свого імені. Чим більше слотів, тим довше будуть зчитуватися мітки. Чим менше слотів, тим вища ймовірність накладання відповідей і тим менше міток буде успішно прочитано. Тому потрібно поточніше прикинути кількість міток. Його можна оцінити, виходячи із загальної кількості слотів, під час яких було отримано хоча б одну відповідь. Для цього потрібно вирішити схожу задачу: скільки в середньому різних днів народження в групі з n осіб.

Тут продзвенів дзвінок.

Ну як, цікава була сьогоднішня тема? — поцікавився Іван Петрович.

Діти дружно закивали головами.

Всі потихеньку почали збиратися і йти на зміну. Маша підійшла до професора:

Не за що, якщо знадоблюся — зови, адже на світі ще багато цікавих ймовірнісних парадоксів, про які можна розповісти!

Вправи

1. Яке мінімальне число людей потрібно взяти, щоб у якихось двох з них збіглися знаки зодіаку з імовірністю понад 1/2?

Відповідь

Відповідь: 5. Підрахуємо ймовірність того, що у всіх різні знаки зодіаку. Для групи з однієї людини вона дорівнює 1, з двох — 1· 11 12 = 11 12, з трьох — 11 12· 10 12 = 55 72, з чотирьох — 55 72· 9 12 = 55 96, з п’яти — 55 96· 8 12 = 55 144, що менше 0,5.

2. Нехай Костя народився 29 лютого і навчається в класі з 30 осіб. З якою ймовірністю в цьому класі знайдеться ще один учень з таким же днем народження?

Відповідь

Відповідь: ≈ 2%. Якщо враховувати високосні роки, то ймовірність народитися 29 лютого — приблизно 1 4: 365 1 4 = 1 1461 . Тоді ймовірність, що з інших 29 людина ніхто не народився 29 лютого, буде 1460 1461 29 0,98.

3. У групі 75 осіб. Скільки в середньому серед них людей, чий день народження більше не зустрічається ні в кого в групі? Оцініть їх кількість як твір загального числа людей і ймовірності того, що у даної людини унікальний день народження.

Відповідь

Відповідь: 61 особа. Ймовірність, що у даної людини унікальний день народження, буде 364 365 74 порожній 0,82. Разом 75 0,82. 61 осіб.

Художник Олексій Вайнер

^* RFID — Radio Frequency IDentification (англ.), радіочастотна ідентифікація.