Парадокс ліфта

Навчання 02 серпня 2022 Перегляди: 67

Ура! У Маші нарешті почалися канікули. Вони всією сім’єю їдуть до Японії! Маша давно хотіла побувати в цій незвичайній країні. Одноголосно вирішили, що потрібно пожити тиждень — адже там стільки цікавого.

Токіо Маше відразу ж сподобався. Найбільше Маше подобається просто йти вулицею, ввічливо киваючи і шанобливо вклоняючись усім зустрічним японцям:

— Коннічива, — каже Маша.

— Коннічива, — відповідає їй перехожий, і в цьому немає награності. Просто зустрілися два ввічливих японця.

У Токіо є все: імператорські палаци, сади і, зрозуміло, торгові центри. Недалеко від знаменитої телевежі Tokyo Skytree знаходиться багатоповерховий торговий центр «Тобу». Здається, що в цьому місці зібрані всі магазини світу, поставлені один на одного. У Токіо тісно, тому гіпермаркети і торгові центри ростуть ввись. Поверх — відділ. Мама почала шопінг з першого поверху, а Маше сподобався один з невеликих бутиків японських сувенірів на восьмому поверсі.

Метою Маші були традиційні японські ляльки нінге. З того моменту, як Маша опинилася в палаці Мейдзі і побачила цих казково красивих ляльок, вона не могла думати більше ні про що інше. Маша так часто і багато говорила про нінге, що батьки зрозуміли: виїхати з Японії без нінге шансів немає. Однак коштують ці ляльки ох як недешево! Найменша лялькова кімната з двома колекційними ляльками коштує 120 тисяч ^єн1! Звичайно, для туристів є варіанти подешевше, але, подивившись на ціни, тато став чомусь задумливим і раптом заявив, що Маша вже самостійна, вміє користуватися мобільним телефоном, а тому прекрасно впорається з покупкою без сторонньої допомоги. Він видав Маше 20 тисяч ієн, нагадав, що через півгодини вони зустрічаються на даху гіпермаркету, і зник з виду.

Маша пустилася на пошуки своєї ляльки. Спочатку вони були безуспішні і… Ось вона! Притиснувши до грудей коробку, наповнену чарівництвом, Маша поспішила до ліфтової зони.

Важко повірити, що на даху торгового центру є справжнісінький сад з доріжками і ставками. Там же кіоски з фастфудом і навіть ресторанчики — відповідне місце для зустрічі. З задумливості Машу вивело чергове автоматичне оголошення про те, як обережно потрібно користуватися ліфтами. Маша зрозуміла, що ліфта вона чекає вже хвилин п’ять. Причому цифри над закритими дверима показують, що обидва ліфти знову ховаються десь внизу і там кудись рухаються, але якось дуже неквапливо.

Що ж робити? Мама, напевно, вже турбується. Невже підніматися по ескалаторам? Вона майже було зважилася на такий подвиг, як раптом ліфт все-таки прийшов, двері відкрилися, і Маша почала вітати японця, який стоїть в ліфті, а той почав вітати Машу. Але обидва вітання несподівано трансформувалися в щось зовсім інше.

— Кон… нічиво собі! — зуміла вимовити Маша.

— Конні… чіво ти тут робиш? — запитав японець, який стоїть у ліфті, яким виявився Машин сусід по сходовій клітці професор Іван Петрович. Очі Івана Петровича і Маші синхронно округлилися, надавши обом досконалу схожість з персонажами японського аніме.

Вы не сказали… — начала было Маша, но тут двери лифта стали закрываться, и Маша поспешила зайти внутрь.

У Машиному голосі була образа.

— А я повинен був? — відповів професор. — З іншого боку, ти мені теж не доповідала, що днями збираєшся заглянути в район Суміда.

— А що ви тут робите?

Я приїхав на конференцію в університет Цукуби. Вирішив ось зайти в магазин і купити собі господарські ножі, — професор показав на великий пакет, який він тримав у руках. — Хоча я встиг про це пошкодувати. Ніколи ще не доводилося відчувати на собі парадокс ліфта так довго. Я втомився чекати і вирішив поїхати вгору, щоб потім спуститися на тому ж ліфті.

— Ліфта? Який парадокс ліфта?

Тут двері відчинилися, і друзі вийшли на дах. Оглянувши околиці, Іван Петрович передумав їхати вниз, і вони зашагали до ресторанчика, де Маша планувала знайти батьків.

Помовчавши, професор все ж відповів:

— Та ось такий парадокс ліфта. Він полягає в тому, що якщо ти чекаєш ліфт на якомусь з верхніх поверхів високої будівлі, то тобі здається, що ліфти частіше йдуть вгору, ніж вниз, хоча насправді ліфт ходить однаково часто в обох напрямках.

— Я ж була у верхній частині гіпермаркету, а ліфти були внизу. Потім я відійшла, повернулася, а вони знову внизу. Дурні ліфти. Дійсно, парадокс!

— Ключову роль відіграє слово «частіше». Звичайно, так не завжди, але досить часто. Тобто треба поспостерігати за ліфтами якийсь час. Я знаю про цей парадокс давно, але відчув всю його принадність і силу тільки тут — в Японії. Він дійсно працює, і навіть складніше, ніж думали Стерн і Гамов.

— Це хто?

— Фізики. Вони працювали в різних лабораторіях. Георгій Гамов — у нижній частині будівлі, а Марвін Стерн, навпаки, — на одному з верхніх поверхів. Вони помітили, що перший ліфт, який приїхав на виклик, з різними ймовірностями приходить знизу або зверху. На нижніх поверхах вище ймовірність того, що прийде ліфт зверху, а на верхніх — що прийде ліфт знизу. Створюється враження, ніби ліфтові кабіни «утворюються» десь на середньому поверсі, частина йде вниз, частина — вгору, і назад вони не повертаються.

— Це як? Куди ж вони діваються?

Будемо для простоти вважати, що ліфт може перебувати на кожному поверсі з однаковою ймовірністю. Якщо ти у верхній половині будівлі, поверхів під тобою більше, ніж над тобою, і більш ймовірно, що ліфт прийде знизу. І все навпаки, якщо ти — в нижній частині будівлі. Ясно, що на самий верхній поверх ліфт може приїхати тільки знизу, а на самий нижній — тільки зверху. Так що начебто парадокс пояснюється просто. Але в реальному житті все складніше.

Тут професору довелося перервати свою розповідь, оскільки обидва досягли точки призначення. Побачивши доньку в супроводі Івана Петровича, мама і тато на деякий час втратили дар мови. А потім Машин тато розреготався:

— Здрастуйте, дорогий професоре! Ось вже несподівано. Судячи з усього, без теорії ймовірностей не обійдеться.

— Та вже, не обійшлося. Дуже їсти хочеться, — заявила Маша і рішуче вибрала курку терияки.

За обідом після з’ясування обставин чудесної зустрічі мова знову зайшла про ліфти. Власне, заговорив про це тато, який висловив незадоволення з приводу непродуманого способу переміщення по «Тобу», яким є ліфт. Чекати його — суще покарання і випробування нервів, заявив тато.

— Та нічого дивного. Звичайний парадокс ліфта, — буденним голосом повідомила Маша.

Мама метнула швидкий погляд на професора, який зробив вигляд, що нічого не помітив, і поспішив внести ясність у питання про ліфти.

— Тут, друзі мої, не просто парадокс ліфта в розумінні Гамова — Стерна. У японських гіпермаркетах все влаштовано так: чим нижче поверх, тим він багатолюдніший. На нижніх поверхах електроніка, продукти, потім одяг, потім госптовари. Вище — іграшки, ще вище — декор та інтер’єри, у верхніх поверхах модні та дорогі бутіки. А на даху — ресторан і сад, де зовсім німноголюдно. Чим вищий поверх, тим менше народу. Це викликає більш активний рух ліфтів між, скажімо, першим і шостим поверхами, ніж між сьомим і дванадцятим. І якби ліфти прямували на найближчий виклик, то потрапити на верхні поверхи було б зовсім неможливо.

Тому ліфти працюють за спеціальним алгоритмом — вони їздять вгору-вниз, підбираючи попутних пасажирів. Звичайно, ліфтові кабіни нізвідки не виникають і нікуди не зникають. Скільки разів кабіна в деяку одиницю часу пройшла вгору, стільки ж вона пройшла вниз, і тому чекати ліфта на будь-якому поверсі, здавалося б, доведеться недовго. Але насправді це не так, оскільки попит на кабіну на різних поверхах різний. На посадку і висадку людей на нижніх поверхах йде багато часу, а на верхніх поверхах пасажирів небагато.

— Так, — зізналася Маша. — Уявляєте, в самому населеному місті світу я стою і одна чекаю ліфта. Це саме по собі парадокс.

— Ось-ось. Поки ліфт був внизу, він робив часті зупинки і довго чекав, поки пасажири увійдуть і вийдуть. А Маша чекала на восьмому поверсі і ніяк не могла дочекатися. А потім ліфт все ж вирвався на свободу, швидко підхопив самотню Машу, швидко обслужив верхні поверхи і швидко повернувся вниз, де на нього знову напало безліч покупців. Це як з пробкою на дорозі: у заторі машини їдуть повільно, і їх накопичується багато на одній ділянці. Потім пробка розсмокталася, машини поїхали швидко, і здається, що машин на дорозі мало. Але якщо виміряти кількість машин, що проходять за одиницю часу через певну точку, то вона може виявитися однаковою і в пробці, і після неї.

А ось що робить ситуацію ще більш цікавою: Дональд Кнут² підрахував, що зі збільшенням числа ліфтів ймовірність того, що на будь-якому поверсі (крім першого і останнього) першим прийде ліфт знизу, прагне до 1/2, і ймовірність того, що першим прийде ліфт зверху, також прагне до 1/2. Тобто парадокс ліфта працює тільки в тому випадку, якщо чекати конкретний ліфт. Якщо ж ліфтів багато і вам не важливо, на якому їхати, парадоксу помітно не буде: всі ймовірності будуть близькі до 1/2.

— Хто б міг подумати, що навіть у русі ліфта є математика і всякі парадокси, — підсумувала Машина мама.

Але Маша вже не чула розповідь про підрахунки Дональда Кнута. Вона думала. Раптом вона схопилася, підбігла до оглядового майданчика і глянула вниз на автомобілі. Як це — кількість машин у заторі і після неї однакова? Не може бути. Парадокс.

Художник Марія Усеїнова

¹ Одна ієна приблизно дорівнює 70 копійкам.

² Дональд Кнут — відомий вчений в області computer science, див. статтю Г. Фельдмана «Дональд Кнут» в «Квантиці» № 11 за 2014 р.