Площі та перекашування

Навчання 26 серпня 2022 Перегляди: 61

Напевно, більшість читачів чули, що площа трикутника дорівнює половині твору його основи на проведену до неї висоту. А чи замислювалися ви про те, чому це вірно?

У цьому неважко розібратися, якщо намалювати картинку. Твір основи на висоту — це площа «коробки», в яку можна прибрати наш трикутник. А після того як висота проведена, видно, що трикутник займає рівно половину коробки: половину лівої частини і половину правой¹.

У міркуванні вище ми зв’язали довільний трикутник з прямокутними, розрізавши його на частини. Але є і зовсім інший підхід, пов’язаний з перекашуванням фігур: будь-який трикутник можна перекосити в прямокутний трикутник з тими ж підставою і висотою.

При таких перекашуваннях площі зберігаються. Ось наочне пояснення. Уявіть собі, що трикутник складається з тонких горизонтальних смужок. При перекашуванні ці смужки просто зсуваються один відносно одного, тому площа не змінюється.

Якщо ви згодні вважати такі неформальні міркування в дусі Архімеда переконливими, то ми отримали ще один доказ формули для площі трикутника. Якщо ж це не здається переконливим, то можна помітити, що і навпаки, збереження площі трикутників при перекашуваннях випливає з формули для площі трикутника.

Завдання 1

Площа лівого нижнього квадрата дорівнює 5. Знайдіть площу фіолетового трикутника. (Може здатися, що даних недостатньо: адже правий квадрат може мати різні розміри. Спробуйте зрозуміти, чому від його розміру відповідь не залежить…) 2

Лемма Евкліда

Напевно, найвідоміша теорема класичної геометрії — теорема Піфагора про те, що в прямокутному трикутнику довжини сторін пов’язані співвідношенням a² + b² = c².

Її твердження означає, що побудований на гіпотенузі квадрат можна розбити на дві частини: площі a² і площі b². Виявляється — і в цьому полягає твердження леми Євкліда, — для цього є чудово проста конструкція: досить провести висоту з вершини прямого кута!

Цю лему зовсім не складно довести, використовуючи перекашування — див. малюнки нижче.

Перше перекашування полягає в тому, що ми робимо одну зі сторін вертикальною. Але потрібно ще перевірити, що після вона стає рівною гіпотенузі. Можна зробити це наступним чином.

Завдання 2

Сторони побудованих на катетах квадратів продовжені до перетину. Доведіть, що два виникаючі трикутники дорівнюють вихідному, а їх загальна гіпотенуза є продовженням його висоти.

Затвердження леми Євкліда можна узагальнити:

Завдання 3

Доведіть за допомогою перекашувань, що в гострокутному трикутнику продовження висот ділять побудовані на сторонах квадрати на 3 пари рівновеликих прямокутників.

З останнього завдання випливає, що для гострокутного трикутника виконано наступне узагальнення теореми Піфагора: c² = a² + b² ‑ 2S, де S — площа кожного з двох прямокутників, які не примикають до сторони c.

Завдання 4

Доведіть (користуючись цим узагальненням теореми Піфагора), що в трикутнику з кутом 60 ° довжини сторін пов’язані співвідношенням ^c2 = ^a2 + ^b2 ‑ ab.

Художник Олексій Вайнер

Підказка

План вирішення завдання 3. Після зображеного нижче перекашування прямокутники перетворюються на рівні паралелограми: один виходить з іншого поворотом на 90 ° навколо їх загальної вершини.

¹ Якщо трикутник тупокутний, може виникнути деяка проблема — подумайте, як її вирішити (або зазирніть до статті Є. Бакаєва «Площа трикутника» в «Квантиці» № 7 за 2019 рік).

² Рішення можна знайти в «Квантиці» № 1 за 2019 рік на с. 28.