Про дірку в шторі

Навчання 26 серпня 2022 Перегляди: 66

У минулому номері було завдання:

Вікно кімнати завішане шторкою. У шторку є квадратна дірка зі стороною в пару міліметрів. Сонце, що сідає через дірку, залишає на стіні кімнати, протилежну вікну, пляму. Визначте його форму.

Раптом сонце частково зайшло за кут будинку (див. малюнок 5 на с. 4). Якою тепер буде пляма?

А якщо в шторку кілька дірок, що ми побачимо на стіні?

Ось відповідь. Поки сонце не закрито, пляма буде круглим незалежно від форми дірки, лише б дірка була маленькою. Коли сонце частково зайде за будинок, пляма прийме форму сонця, так само частково закритого будинком. Якщо дірок кілька, то кожна дірка дасть одну й ту саму сонячну пляму.

Автор завдання спостерігав це в кімнаті, де від вікна до стіни було близько 7 метрів, сонце потрапляло в кімнату через численні прямокутні дірки розміром 2 мм 1916 10 мм в жалюзі (отвори для мотузок). Сонячна пляма мала розмір (діаметр) близько 7 см.

Розберемося, як ця відповідь узгоджується з тим, що світло поширюється по прямій. Будемо вважати, що сонце знаходиться невисоко над горизонтом, тобто промені світла близькі до горизонтальних. Кожен промінь визначається двома точками: початком променя на сонці і точкою, в якій промінь проходить через дірку.

Ріс. 1

Всі промені, що проходять через фіксовану точку дірки, утворюють конус (рис. 1), а тому на стіні освітлюють коло. Центр цього кола — точка на стіні, куди потрапляє промінь, що виходить з центру сонячного диска. Всі такі центри замітають на стіні квадрат — майже такий же, як сама дірка (рис. 2). Отже, сонячна пляма складається з нескінченної кількості рівних кіл, центри яких лежать в даному квадраті; у підсумку виходить квадрат зі згладженими кутами (рис. 3).

Ріс. 2

Форму плями можна отримати, розмірковуючи і в зворотному порядку. Спочатку зафіксуємо точку Сонця і подивимося на вихідні з неї промені. Такі промені освітлюють квадратик, як на малюнку 2. Центри таких квадратиків замітають коло, аналогічне колу на малюнку 1, і ми отримуємо ту ж сонячну пляму, складену з квадратиків (рис. 4).

Рис 3 і 4

Але згадаймо, що дірка маленька: всього пара міліметрів. Квадратик на стіні (рис. 2) майже такого ж розміру, як дірка, тому що відстань від вікна до стіни зникає мало порівняно з відстанню до Сонця. А відстань до Сонця приблизно в 100 разів більша його діаметра (це можна зрозуміти за видимим кутовим розміром Сонця). Тому сонячна пляма буде відносно великою. Його розмір можна обчислити наближено як відстань від стіни до вікна, поділене на 100, це кілька сантиметрів. А тепер уявіть, що вийде на малюнку 4, якщо квадратик набагато менше кола. Вийде те ж саме коло, за краї якого трохи вилазять шматочки квадратиків (межа майже скрізь буде окружністю, крім невеликих прямолінійних ділянок вгорі, внизу, ліворуч і праворуч). На око від кола буде не відрізнити!

Коли сонце зайде за кут будинку (рис. 5), то від конуса променів, що проходять через фіксовану точку дірки (рис. 1), залишиться лише частина. Ці промені, що залишилися, дадуть перекинуте зображення сонця на стіні (рис. 6).

Ріс. 5 і 6

Чому зображення перевертається, можна пояснити так. Уявіть, що ви стоїте біля стіни і через крихітну дірку в шторці розглядаєте маленьку ділянку сонця. Щоб побачити через дірку нижню частину сонця, вам потрібно самим піднятися вгору. Тому, якщо будинок загородив нижню частину сонця, біля плями пропаде верхня частина. (А ось «право» і «ліво» місцями не поміняються. Чому?)

Фото 1: Nils van der Burg, flickr.com

До речі, ситуація, коли у нас є дві фігури A і Б (як коло і квадратик вище) і ми прикладаємо фігуру A якою-небудь її точкою до всіх точок фігури Б, паралельно зрушуючи фігуру А, зустрічається в математиці. Точки, які ми зможемо покрити фігурою А, діючи так, утворюють фігуру, звану сумою Мінківського фігур А і Б. Якщо, навпаки, прикладати копії фігури Б до фігури А, результат буде тим же. Як ми бачили, сонячна пляма на стіні від променів, що пробиваються крізь дірку, — це сума Мінківського перекинутого зображення сонця і дірки. Якщо дірка маленька, пляма має вигляд трохи розмитого зображення сонця.

Якщо підставити під сонячну пляму долоньку і йти до шторки, то пляма буде зменшуватися і безпосередньо біля шторки прийме форму дірки.

На фото 1, знятому під час кільцеобразного сонячного затемнення, роль дірки відіграють проміжки між листям дерева, а Сонце так загороджене Місяцем, що залишилося тільки кільце. Кожен досить маленький проміжок між листям дає сонячну пляму у вигляді кільця.

Якщо в кімнаті досить темно, а на вулиці світло, то через дірку на стіну відобразиться весь вуличний пейзаж, як на фото 2.

Фото 2: Gampe, wikimedia.org

Художник Марія Усеїнова