Про незбагненну (не) ефективність викладання математики

Навчання 26 серпня 2022 Перегляди: 62

Сіятель знання на ниву народну

! слаб ты силами Труд

награждается всходами хилыми,

Доброго мало зерна!

М. О. Некрасов

Олександр Шень

Математика — один з найбільш об’ємних шкільних предметів (за загальною кількістю годин). Іспит з математики потрібен для різних вишів, курси математики у ВНЗ обов’язкові для студентів багатьох спеціальностей тощо. Але і викладачі, і учні скаржаться, що велика частина їхньої праці йде даремно — і це в багатьох країнах. Чи не більшість згадує про уроки математики як про з’єднання неприємного з марним. Чому так виходить, незважаючи на численні спроби поліпшити ситуацію (або принаймні щось реформувати)?

Іноді це пояснюють «безплідним ґрунтом» — мовляв, коли математику вивчали обрані, справа йшла непогано, а коли почалася загальна (і вельми) середня освіта, тут-то все і звалилося, тому що здібності до вивчення математики зустрічаються рідко. Звичайно, частка істини в цьому є — здібності різних людей можуть відрізнятися дуже сильно. Але, скажімо, відбір у гімназіях був не тільки і не стільки за математичними здібностями, скільки за соціальними факторами — і далеко не всі випускники гімназій успішно і із задоволенням вивчали математику¹.

При цьому шкільний курс математики, загалом, досить простий. Багато років тому, їдучи в метро, я побачив школяра, причому швидше гопника, ніж ботаніка (як тепер кажуть), який вертів у руках модний тоді кубик Рубіка — і швидко і вправно його зібрав. Тим часом алгоритм складання завідомо складніший і з точки зору геометричної уяви, і за обсягом комбінаторної інформації, яку треба запам’ятати, ніж більшість шкільних тем². Чому ж у школі математика йде так погано? Та й не тільки в школі — прийшовши на випадково вибране заняття з математики у виші, легко в цьому переконатися. Я спробую вказати деякі можливі причини (зі свого особистого досвіду і ^{враження}) — не наполягаючи на них і не претендуючи на новизну. При цьому я заздалегідь залишаю осторонь суспільні проблеми (статус вчителів, їх підготовку, умови роботи тощо). п.), а кажу тільки про внутрішньопрофесійні помилки.

• Побудова курсу. Готова математична теорія будується (викладається) як будівля: кожен наступний результат спирається на попередні і служить надійною основою для наступних. Виникає ілюзія, що можна так і викладати: викласти щось, перевірити, що це засвоєно, і потім на це спиратися. Хоча насправді навчання і вивчення швидше нагадує перекриття річки: перші кинуті камені йдуть без сліду під воду, а частина з них забирається потоком, але поступово русло заповнюється і нарешті виникає (повинна виникати) гребля, що надійно утримує воду.
• Навчальні програми. Часто починають з обговорення «програми» курсу ^{математикі4}. Це добре узгоджується з ідеєю побудови математичного знання починаючи з фундаменту. Потім, «затвердивши» таку програму, пишуть підручники. Потім їх «впроваджують» — при цьому з’ясовується, що школярі мало що розуміють, і починається процес спрощення і виродження підручників при збереженні декларованої ^{программи5}. У програмах при цьому залишаються формулювання на кшталт «Поняття о»…, а в підручниках — на кшталт «Доказ (не для запам’ятовування)». Що вже зовсім безглуздо: якщо і можна будувати будинок на фундаменті, то на «понятті про фундамент» точно не можна.

Склавши програму (у школі чи виші), починають за нею викладати відповідно до «навчального плану». При цьому викладачі виявляють (або не виявляють — так теж буває), що школярі або студенти нічого не розуміють, почасти тому, що не розібралися в попередніх курсах, почасти тому, що занадто швидко. Але план вже затверджений — і водій локомотива, під наглядом диспетчера, намагається дотримуватися розкладу, хоча вагони давно відчепилися.

• При складанні програми часто намагаються прийти найкоротшим шляхом до того, що має до неї увійти. Навіщо елементарна геометрія, якщо (як писав Дьєдонне) можна за допомогою декількох рядків векторної алгебри довести те, для чого раніше потрібні були ліси з трикутників? Але сенс навчання математики не в тому, щоб проговорити доказ якихось визнаних необхідними фактів, а в тому, щоб навчити міркувати (вирішувати завдання — в тому числі і складні для вирішального). Похід може бути важким з незвички, але який сенс їхати замість цього на таксі від старту до фінішу? Можливо, це мав на увазі Євклід (і не зрозумів Дьєдонне), коли (згідно з легендою) говорив, що «в математиці немає царського шляху».
• Для успішного викладання потрібно, щоб досліджуване було зрозумілим, посильним і цікавим. Математичні докази повинні сприйматися як переконливі міркування про щось реальне, а не як довільний матеріал для завчання. Вирішення завдань — як з’ясування істини, а не загадкові дії за зразком. Колись, будучи в гостях у свого товариша в Англії, я запитав його сина, що вони проходять в школі. «Додавання і віднімання». — «А знаєш, скільки буде 100 мінус 1?» Питання це виявилося важким, і я вирішив запитати інакше: «Скільки буде здачі, якщо платити фунт, а товар коштує пенс?» — «99 пенсів, але при чому тут це?» — була негайна відповідь.

І. М. Гельфанд любив розповідати, як роботяги у вечірній школі, які не вміли порівняти 2/3 і 1/2, ні секунди не вагалися у відповіді на запитання «Що краще: дві пляшки на трьох чи одна на двох? «. Втім, коли мій колега на моє прохання поставив подібне питання своїм дітям (мабуть, які не мали достатнього досвіду), тільки один з трьох відповів правильно. (Цікаво, що одна з тих, хто відповів, що «для цього треба порівняти за величиною дробу», але не змогла цього правильно зробити.)

Не зміг зараз знайти, в якій книзі я це читав, але пам’ятаю приблизно таку історію. Оповідач згадує, як у школі вчитель домагався відповіді від його співученика, ставлячи все більш прості запитання, і нарешті запитав: куди покотиться куля, якщо покласти її на похилу площину — вгору або вниз? Розгублений учень сказав, що вгору, — і вчитель дав волю гніву. Коли все вщухло, оповідач запитав товариша здивовано: «Навіщо ти так, невже ти не знаєш, куди покотиться куля?» — «Справжня куля, звичайно, вниз — але хто її знає, як там у вас…»

Викладачі обурюються, коли на запитання про визначення модуля школярі відповідають «число без знака». Але вже краще нехай вони так відповідають, ніж завчають визначення з підручника (|a| одно a при a ^ 0 і ‑ a при a −a| при a ‑ a?».

Свого часу це питання було в завданнях ВЗМШ (Всесоюзної заочної математичної школи, організованої з ініціативи І. М. Гельфанда), і було багато невірних відповідей. Там же було помічено, що школяр може більш-менш впевнено вирішувати рівняння, але вагатися у відповіді на питання про те, яке число замінено зірочкою в рівнянні x³ + * |x| ‑ 5 = 0, якщо x = 1 є його коренем.

Давним-давно, на студентських канікулах, я розмовляв з якимись далекими від математики студентами (мало не військового вишу). Вони запитували, до чого взагалі математика — і були спантеличені, коли з’ясувалося, що я можу регулярно у них вигравати в гру «ним».

Складний для вивчення матеріал доводиться спрощувати. Як писав М. Г. Чернишевський, «Наука сувора і незаміченна у своєму справжньому вигляді; вона не приверне натовпу. Наука вимагає від своїх адептів дуже багато приготувальних пізнань і, що ще рідше зустрічається в більшості — звички до серйозного мислення. Тому, щоб проникнути в масу, наука повинна скласти з себе форму науки. Її міцне зерно має бути перемолото в борошно і розведено водою для того, щоб стати їжею смачною і удобоварімою ^«6. Але що буде, якщо приготоване за рецептом Чернишевського спійло (може, і зручне, але все ж навряд чи смачне) впихати роками?

Пам’ятаю, як на початку перебудови телебачення передавав виступ вчителя математики Віктора   доровича Шаталова — при повному захопленому залі. Серед іншого він розповів вигаданий ним доказ теореми про рівність сум протилежних сторін в описаному чотирикутнику. Полягало воно в тому, що на малюнку він позначив чотири пари рівних відрізків літерами (здається, вони утворювали якесь слово⁷) і урочисто сказав: «Бачите, протилежні сторони разом дають ці чотири букви!» — зірвавши оплески. Я здивувався: хіба не рівно це написано в підручнику? Виявилося, що ні — там були рівності відрізків, позначених своїми кінцями, і щоб зрозуміти, про що мова, треба було перекладати погляд з малюнка на текст і назад кілька разів.

Коли я був школярем 7-го класу математичної школи (№ 2), на нас вирішили спробувати (тоді експериментальний) підручник геометрії Колмогорова зі співавторами, і одне обговорення я запам’ятав. Там було визначення променя AB як безлічі точок, що лежать по той же бік від A, що і B, а після цього давалося завдання: скільки променів виникає, якщо на прямій є три точки A, B, С? Після цього почалася суперечка за участю школярів і нашої чудової вчительки, Галини Олексіївни Чувахіної (Біллім). Одні говорили, що променів шість — кожна точка дає два промені. Інші заперечували: в ухвалі йдеться про «промінь AB» — але два з шести променів не можна так назвати (немає другої точки), залишаються тільки чотири. І всі так і залишилися в деякому замішанні (навряд чи передбаченому авторами підручника), а через деякий час експеримент згорнули.

Звичайно, добре, коли підручники пишуть професійні математики, там буде менше ляпів (хоча всяке буває, особливо коли їх починають допрацьовувати «практики»). Але якщо ці математики не мають багаторічного досвіду викладання, причому не в спеціальних математичних класах, а в «масовій школі» (а так практично завжди і буває), то у них можуть бути найнесподіваніші ідеї про те, що і як можна пояснити школярам (с. визначення вектора по Колмогорову як геометричного перетворення) і який текст школярі та вчителі зможуть зрозуміти, а який — ні.

• Наука «педагогіка» з розмовами про «навички» та «компетенції» .Гадаю, що кожен, хто заповнював всякі таблиці із зазначенням, які компетенції виробляє такий-то розділ курсу, або які компетенції перевіряє така-то задача, розуміють, про яку маячню йдеться. Цинічна приказка «хто вміє — робить, хто не вміє — вчить, як робити» часто доповнюється: «… а хто і цього не вміє — йде в методисти і вчить, як вчити» 8. Один з (кращих, на мій погляд) московських вчителів математики розповідав, як до нього на урок прийшов перевіряючий «методист» і залишився незадоволений: мовляв, «урок не навчаючий» (що б це не значило).
• Існуюча ситуація часто виявляється поганою для всіх, але стійкою рівновагою. Викладачі зацікавлені, щоб на їх заняття ходили, слухали і це б допомагало скласти іспит. Студенти зацікавлені, щоб можна було, проявивши деяку посидючість, підготуватися до іспиту і отримати хорошу оцінку. Тому на іспиті даються завдання заздалегідь відомих типів, а на заняттях розбираються зразки рішень завдань, схожих на екзаменаційні — незважаючи на безглуздість цієї ситуації для всіх учасників, ніхто не зацікавлений від неї відхилятися. Це видно і на рівні ЄДІ, де щороку даються завдання одних і тих же пронумерованих типів, і випускаються посібники, так і називаються: «Як вирішувати завдання номер 14».

Свого часу аналогічний ефект проявлявся у «вступній математиці» — згадаймо всі ці «алгебраїчні, тригонометричні та показові рівняння та нерівності», які були на всіх вступних іспитах і складали предмет постійного дресирування як у школі, так і в репетиторів. При цьому найбільш кваліфіковані репетитори могли за порівняно невеликий час (і за чималі гроші) сильно допомогти абітурієнту підвищити шанси скласти іспит в який-небудь не дуже складний виш (скласти, так і не дізнавшись, що означає ця дивна буква «x» у «вирішуваних» їм рівняннях). Було навіть спеціальне вчення про «ОДЗ», що відкривало ритуал вирішення рівняння («область допустимих значень»).

Цей ефект не обмежується шкільними завданнями і поганими викладачами. На мехматі вправи за диференційними рівняннями у нас в групі вів чудовий математик, але вони, як і у всіх інших групах, полягали у вирішенні рівнянь різних типів: на одному занятті — з змінними, що розділяються, на іншому — ще якісь тощо. Нарешті, настав час контрольної. Викладач сказав, що на ній будуть рівняння таких-то і таких-то типів, і я в жаху запитав: «Але хоч скажуть, якого типу яке?» — і тільки після цього зрозумів, як нерозумно виглядаю.

• Органи управління освітою. Бажаючи якось контролювати підвідомчі школи, вони зацікавлені в показниках успішності викладання. Часто говорять, що ці показники (той же ОГЕ/ЕГЭ) показують не те, що треба, але проблема більш серйозна і рідко відзначається. Майже будь-який (мінімально розумний) тест (контрольна робота) буде сильно корелювати з реальними успіхами школярів, якщо питання для них несподівані. Але коли заздалегідь відомий тест використовують як критерій успішності школи і школяра, оптимальна стратегія підготовки до нього буде далека від осмисленого навчання (див. вище про репетитів).
• Ідея «математики для користувачів» Велика частина вивчаючих математику в майбутньому не будуть математиками, і у них немає ні часу, ні бажання, ні сил, ні (часто) здібностей, щоб вивчати математику довго і ретельно. Тому (говорять багато) потрібно навчити їх «застосовувати математику», залишивши подробиці (точні визначення, докази тощо) для більш професійної підготовки. Візьмемо курс математики для математиків, викинемо з нього докази та визначення і навчимо решті рецептів. Приблизно так і виглядає курс вищої математики «для ВТУЗів» (або undergraduate calculus в англійському варіанті). Тим часом це безглуздо якраз з точки зору майбутнього використання: важко собі уявити, щоб майбутньому програмісту або фінансовому аналітику довелося шукати межу за правилом Лопіталя (а якраз вміння розуміти математичну мову і проводити міркування коректно могло б і стати в нагоді).

¹ Лев Толстой згадує в автобіографічній повісті «Юність»: «На іспит математики я прийшов раніше звичайного. Я знав предмет порядно, але було два питання з алгебри, які я якось приховав від вчителя і які мені були абсолютно невідомі. Це були, як тепер пам’ятаю:Далі він розповідає, що одне з питань (біном Ньютона) йому встиг розповісти знайомий, який добре розбирався в математиці, але йому попався другий («О жах! це була теорія поєднань! «), і він дивом врятувався від ганьби і відмінно склав іспит, змінившись квитком з товаришем по нещастю, у якого якраз був біном Ньютона. Залишається гадати, що зрозумів Толстой в біномі Ньютона, якщо поєднання викликали у нього жах.

² Ср. висловлювання Колмогорова: «Треба думати, що навіть у зовсім хороших математиків складність системи знайомої їм рідної мови перевершує і за складністю будови, і за обсягом все, що вони засвоюють як математики» (лист В. А. Успенському, 5 березня 1962 року, наведений в: Успенський В.А. Колмогорів як центр мого світу. Праці з нематематики, том 5, М., 2018, с. 100. Інше висловлювання Колмогорова (доповідь «Автомати і життя »//Колмогоров А.М. Математика — наука і професія. Бібліотечка «Квант», вип. 88, с. 52-53): «Слаломіст, долаючи дистанцію, протягом десяти секунд сприймає і переробляє значно більшу інформацію, ніж при інших, здавалося б, більш інтелектуальних видах діяльності, у всякому разі більше, ніж математик пропускає через свою голову за сорок секунд напруженої роботи думки».

³ Заздалегідь прошу вибачення, якщо я щось запам’ятав неправильно: я намагався нічого не придумувати, розповідаючи різні байки, але міг переплутати.

⁴ При цьому наводяться аргументи «не можна ж не знати, що»…. Та обставина, що це все одно мало хто знає, хоча це і є в програмі, делікатно обходиться.

⁵ Підручник геометрії О.В. Погорєлова починався як дві невеликі брошури, в яких автор старався, і досить дотепно, запропонувати спосіб побудови геометрії, який міг би сприйматися і на рівні першого знайомства, і як (майже) суворий виклад для знавців. У масовому підручнику від цього залишилися якісь дивні руїни. Див. Погорєлов О.В. Елементарна геометрія. — Метрія. М.:Наука, 1969; Стереометрія. М.:Наука, 1970. Підручник геометрії вийшов у 1982 році (ще як «навчальний посібник») і перевидавався кілька десятиліть, з постійними змінами, в тому числі і після смерті автора — при цьому з вихідних даних не можна зрозуміти, хто ці зміни вносив.

⁶ Чернишевський М. Г. Про поезію. Твір Арістотеля. Переклав, виклав і пояснив Б. Ординський. Збір творів у 15 томах, том 2. Держлітвидав, 1949, с. 273.

⁷ Зараз перевірив: в Інтернеті є ця передача і утворене чотирма літерами слово — ВІРА.

⁸ Або, гірше того, йде в органи управління освітою і перевіряє заповнення всіх цих паперів.