«Пряме на кривому, або Прогулянки по викривленій поверхні (закінчення)»

Навчання 02 серпня 2022 Перегляди: 57

Закінчення. Початок у «Квантиці» № 8 і № 9, 2020.

У минулому номері ми розібралися, як виглядають «прямі» (точніше, геодезичні) лінії на циліндрі і на конусі, склеєному з напівплоскості. Однак залишилося неясним, як провести геодезичну лінію, що проходить через дві задані точки. І скільки таких геодезичних? Сподіваємося, що ви самі впоралися з цим, але про всяк випадок розберемо тут рішення двох останніх завдань.

Вирішення завдання 6. Є розгортка конуса з двома точками A і B на ній. Одну геодезичну, що проходить через А і В, накреслити легше легкого. Але є й інша! Адже можна обходити гору-конус з іншого боку. Це очевидно, наприклад, якщо обидві точки А і В — біля самої лінії склейки, по різні сторони від О, і після склеювання опиняться поруч. Але ми зараз побачимо, що це вірно для будь-якої пари точок.

Ріс. 14

Для цього зробимо «переклейку»! Что если разрезать развёртку нашего будущего конуса по другой образующей — по любой, проходящей между точками А и В? А по старій лінії склейки — склеїти. Тоді на новій, «переклеєній» розгортці точка B разом з усім трикутним «відрізаним» сектором виявиться повернутою навколо О на кут 180 ° (рис. 14⁾ 1. Ось через цю симетричну точку B — і треба проводити пряму.

Тепер можна обійтися і без ножиць і клею, залишаючись на старій розгортці: завдяки ідеї переклейки ми знаємо, куди треба прямувати з А, щоб потрапити в В. Тому достатньо провести допоміжну пряму ВО, побудувати симетричну точку B — провести з неї в А пряму лінію — ось і готова половина потрібної геодезичної на старій розгортці. Другу половину легко добудувати, як ми робили в завданні 5 з минулого номера. Навіть ще легше, тому що вона пройде через точку В, і з зайвими кутами возитися не потрібно..^{. 2}

Ріс. 15

Отже, на нашому конусі через будь-які дві точки, що не лежать на одній утворюючій, можна провести дві «прямі» лінії (рис. 15)! Тобто завжди є два «прямих шляхи» з одного місця в інше. При цьому, звичайно, один з них може бути коротшим за іншого. А чи є ще прямі шляхи? Ні, скільки не переклеюй, нових «прямих» вже не отримаєш. Перевірте це!

Завдання 9. На розгортанні конуса вказано точку А. Знайдіть всі такі точки В, що обидва шляхи з А в B мають однакову довжину.

Тепер час розібратися з циліндром.

Ріс. 16

Вирішення завдання 7. Тепер точки А і В дани на розгортці циліндра. Як провести геодезичну через лінію склейки? Можна знову застосувати «переклейку»: адже якщо відрізати нижню частину розгортки (наприклад, горизонтальну смугу, що включає одну з точок А і В) і приклеїти її зверху — нічого ж не зіпсується? Вийде просто інша розгортка того ж циліндра. Точка B при цьому переходить в точку B -, яка вище Рівно на ширину розгортання. Отже, якщо провести пряму АВ, це і буде частина потрібної нам геодезичної. Тепер можна повернутися до нашої початкової розгортки і «добудувати» на ній другу геодезичну (рис. 16). Видно, що обидві частини геодезичної на розгортці паралельні, як і повинно бути.

Ріс. 17

Намалюємо дві розгортки одного і того ж циліндра, одну над іншою (рис. 17). При згортанні їх у циліндр вони лягають одна на іншу, точки B і B — збігаються. Але що якщо додати зверху третю розгортку? Лінія АВ — теж геодезична! Вона «обмоталася» один раз навколо циліндра і теж прийшла в точку B (рис. 18). А можна продовжити так і далі, з’являться геодезичні, що обмотуються навколо циліндра 2, 3, 5, 10 разів… Їх нескінченно багато! Та ще й вниз можна так само «копіювати» розгортки, вийде ще одне сімейство геодезичних, «закручених» в інший бік.

Ось це так — на циліндрі через одні і ті ж точки проходить скільки завгодно прямих шляхів, якщо, звичайно, ці точки на розгортці не потрапляють на пряму, паралельну лінії склейки. Може, і на конусі так само, ми просто щось не помітили? Ні. Справа в тому, що на циліндрі ми використовували симетрію зрушень — «копіювали» розгортки вгору, і у точки В вийшло нескінченно багато зображень. На конусі симетрія — поворот навколо точки О; можна також зробити дві розгортки, що накладаються один на одного, — верхня і нижня напівплоскості. Але тільки дві! Другий поворот навколо точки О на 180 ° поверне точку В назад, нових її зображень і нових шляхів до неї не виникне.

Більше того: якщо зробити конус поширенням, тобто брати для розгортки не напівплоскість, а сектор більше 180 °, то і двох шляхів може не вийти: на малюнку 19 точки А і В з’єднують дві геодезичні (червона і синя), а точки А і С або A і D — тільки одна (відповідно, жовта і зелена). У першому випадку немає шляху через лінію розрізу, у другому — немає іншого шляху, крім як через розріз. На пологому пагорбі для досить близьких точок вже немає прямого шляху «в обхід пагорба». Зверніть увагу — на такому конусі кінці будь-якої геодезичної вже не паралельні, а розходяться.

Ріс. 18 (ліворуч) і 19

Вузькі конуси

Ріс. 20

А тепер давайте зробимо конус поуже. Тобто для розгортання візьмемо не цілу напівплоскість, а сектор поменше. Оскільки про переклейку все залишається в силі, всі геодезичні як і раніше будуть виглядати однаково і залежати тільки від одного параметра — мінімальної відстані до вершини конуса. Тому досить розглянути якусь одну геодезичну; візьмемо таку, яка на нашій розгортці перпендикулярна лінії склейки (рис. 20). Якщо вона підходить до склейки під прямим кутом, то і йти від неї повинна теж під прямим…, і дивіться, що виходить — ця «пряма» лінія перетинається сама з собою! На склеєному конусі виходить «краватка» (рис. 21)

Ріс. 21

А далі ще веселіше. Якщо взяти ще вужчий конус, з розгортанням менше 90 °, то — дивіться! — після цього самопересічення обидві частини геодезичної знову перетинають лінію склейки, причому в одному і тому ж місці! Зверніть увагу, що через симетрію зображення на розгортці все виглядає так, ніби геодезична відображається від лінії склейки. Насправді це не відображення, хоч і дуже на нього схоже — кінці геодезичної при переході лінії склейки міняються місцями. Як тільки ви складете розгортку в конус — це відразу стане видно.

Це вже другий перетин геодезичної самої з собою. А може бути ще й третє — якщо після цього перетину лінії склейки кінці геодезичної знову перетнуться в середині розгортання… Якщо конус зовсім вузький, геодезична обвиває його багато разів, на кожному оберті перетинаючись сама з собою два рази — під самою верхньою (ближньою до вершини) точкою і строго по інший бік від цієї точки (рис. 22).

Ріс. 22

Завдання 10. У яких конусів, тобто при яких кутах розгортки, геодезична перетинається сама з собою один раз? Два рази? Три рази? Чотири рази? N раз? ³

Ось ми і дізналися, як виглядають геодезичні навіть на найкрутіших і найвищих горах. Відважним мандрівникам, втім, ще є чим зайнятися — добре б розібратися, як же там ходити з однієї заданої точки в іншу.

Завдання 11. Знайдіть (накресліть на розгортанні) всі геодезичні, що проходять через задані точки А і В, для конуса з кутом розгортки а) 120 °; б) 90 °; в) (для найсміливіших) 110 °.

Завдання 12. На конусах з якими кутами розгортання виконано властивість: через будь-які дві точки проходять не менше трьох геодезичних? А не менше ніж n геодезичних? (Пари точок, що лежать на одній утворюючій, не розглядаємо.)

Ось і добігає кінця наша подорож по відвісних циліндрах і крутих конусам⁴. Уявіть тепер, насамкінець, що ви перебуваєте в гірській країні з високих-перевищувальних гір і крутих ущелин. Якщо в такому місці піти прямо, за геодезичною — ви, швидше за все, рано чи пізно потрапите на схил гори і, оскільки це конус, змушені будете дертися по ньому спіралі вгору, а потім вниз, як на малюнку на полях. Спустившись, ви продовжите рух вже не в тому ж напрямку, що раніше, а в якусь іншу сторону… Звідси видно, що йти прямо, напролом в горах не тільки небезпечно, але і нерозумно: якщо навіть всі поверхні гладкі і ніде немає ні тріщин, ні крутих обривів, і ви не зламаєте шиї по дорозі — ви все одно прийдете невідомо куди. Ось чому для гірських туристів і альпіністів так важливі розум і досвід.

Художник Олексій Вайнер

Відповіді

9. Всі точки на промені, що виходить з О і перпендикулярного ОА, — червоний промінь на малюнку.

10. 90° ≤ x x

11. а) При вугіллі розгортки 120 ° можна поділити всю площину на три розгортки, що накладаються одна на іншу при згортанні в конус. У точки B є ще два «зображення» на інших розгортках, які поєднуються з нею при накладанні. Тому і геодезичних — три; виходячи з А, можна цілитися в будь-яку з трьох B, і прийдеш куди потрібно.

б) Тут на площині поміщається 4 розгортки, значить, і шляхів в будь-яку точку — теж 4. Зелена і червона геодезичні по дорозі з А в В роблять повний оборот навколо вершини.

в) Все майже так само, як для 120 °, але тепер три розгортки не повністю заповнюють площину — залишається зазор у вигляді сектора шириною 30 °. При побудові кожного шляху доводиться думати, де цей зазор малювати — щоб ваші прямі лінії проходили тільки по розгортках і не перетинали зазор. Небезпека виникає, якщо точка А або В близька до меж розгортання: наприклад, нехай B близька до верхньої межі, як на малюнку. Побудуємо зображення B1: другу розгортку приклеюємо до верхньої межі нашої, першою — тепер, якщо точка А на малюнку лежить лівіше червоної лінії (варіант А1), малюємо зелену геодезичну, направляючи її в B1. (А третю розгортку приклеюємо до правого нашого кордону.) Якщо ж А правіше червоної лінії ₍А2), то лінія A₂V1 пройшла б через зазор. Тому верхню (другу) розгортку потрібно приклеїти не до нашої верхньої межі, а впритул до третьої розгортки, залишаючи зазор ліворуч, між першою і другою розгортками. Тоді при згортанні циліндра збігається з B вже не B1, а B2 — цілимося в неї і малюємо синю геодезичну. Для деяких точок А можна побудувати обидва зображення — і «синє», і «зелене». Здогадайтеся, де знаходяться ці точки. Ще два зображення (від I і III секторів) виходять легко.

12. ( x ≤ frac{360°}{n} ). Число геодезичних визначається числом розгорток, що розміщуються на площині, і, відповідно, числом «зображень» кожної точки.

¹ Можна різати прямо по тій зразковій, на якій лежить точка В. Тоді після перемикання вона опиниться на кордоні.

² А можна для другої половини подумати про іншу переклейку — і побудувати точку А -, симетричну точці А…

³ Підказка. Не бійтеся цього завдання, воно зовсім не страшне. Потрібно просто спокійно помалювати розвертки і геодезичні на них. Єдине, що потрібно знати з геометрії, — це що сума кутів будь-якого трикутника на площині дорівнює 180 °.

⁴ Циліндри і конуси зручні тим, що для них можна зробити плоску розгортку. Існує багато інших поверхонь, що «розгортаються», але серед усіх поверхонь у просторі вони становлять вкрай малу частину. Решта поверхні — сфери (м’ячики), тори (бублики) та інші — не можна склеїти зі шматків площини. Будувати на них геодезичні складніше. Але принцип — йти «маленькими кроками» — завжди той же.