«Пряме на кривому, або Прогулянки по викривленій поверхні»

Навчання 26 серпня 2022 Перегляди: 62

Іди все прямо, нікуди не згортаючи.

Баба Яга

А я піду прямо,

ні вліво, ні вправо…

М. Щербаков

Легко йти прямо, нікуди не згортаючи, коли попереду пряма рівна дорога. Або хоча б широка рівнина, а далеко видно мету або орієнтир — куди йдемо. А якщо на шляху пагорби і яри, та до того ж навколо туман або темно? Піди тоді зрозумій, де тут «прямо». І що таке «йти прямою», коли йдеш кривим схилом гори? І якщо йти цим схилом не згортаючи, то куди прийдеш?

Ось з подібними питаннями ми і спробуємо розібратися. Почнемо з того, що таке пряма (звичайна, справжня, на площині). Найкраще підійде, мабуть, таке визначення:

Пряма — це така лінія на площині, яка будь-які дві свої точки з’єднує по найкоротшому шляху.

Ріс. 1

Тобто візьмемо на прямій будь-які дві точки. Проведіть всі можливі лінії (шляхи) з однієї точки в іншу. Тоді відрізок нашої прямої — найкоротша з усіх цих ліній (рис. 1).

Таке визначення відповідає настанові «йти прямо»: в якій би точці прямої не знаходилася ціль, ця пряма — найкоротший шлях до неї. Правда, якщо мета виявиться не на вашій прямій, ви до неї ніколи не прийдете…

Ріс. 2

Вправа 1. Доведіть, що ламана лінія (рис. 2) не є прямою. (Якщо важко — див. ^{підказку} 1 внизу сторінки.)

З цієї вправи ми бачимо, що наше визначення не велить «нікуди згортати»: не можна різко повернути, від цього вийде ламана, а це — не найкоротший шлях.

Вправа 2. Вчений Сігізмунд вивчає якусь лінію і хоче довести, що це — пряма. Він вже зміг довести, що шлях з точки А в точку D уздовж цієї лінії — найкоротший з усіх можливих. Доведіть, що якщо точки B і C лежать на цій лінії між A і D, то шлях з B в C уздовж цієї лінії — теж ^{коротчайший2}.

Вправа 3. А вчений Максиміліан вивчає іншу лінію з точками А, В і С на ній. Він вже довів, що шлях з А в В уздовж цієї лінії — найкоротший можливий, а також що шлях уздовж лінії з В в С — теж найкоротший. Чи означає це, що шлях з А до С уздовж цієї лінії — теж найкоротший, чи це треба перевіряти окремо?

З прямою лінією на площині розібралися. А тепер спробуємо застосувати це визначення до кривої поверхні. Наприклад, нехай у нас є дуже крута і висока гора (рис. 3). Який шлях з точки А в точку В — найкоротший? Звісно, не через вершину. Найкоротший шлях явно проходить десь уздовж підніжжя гори, як показує зелена лінія на малюнку. Як видно з вправи 2, для будь-якої пари точок між A і B на цій лінії умова найкоротшого шляху теж виконується. Виходить, це і є пряма? Більш того — якщо гора симетрична і точки А і В розташовані строго по різні сторони від неї, таких найкоротших шляхів два! Що ж, вони обидва — прямі?!

Ріс. 3

Майже що так. Але є одна проблема: як правильно намалювати продовження цих «прямих» за точки А і В? Ці продовження проходять рівною місцевістю і будуть вже схожі на відрізки «справжніх» прямих. Але ми пам’ятаємо (див. вправу 1), що зломів на «прямій» бути не повинно, біля точки зламу умова «найкоротшого шляху» порушиться. Тому «кінці» нашої зеленої «прямої», що проходить через А і В, будуть дуже далекі від тієї прямої, яка проходить через точки А і В в просторі (і яка не лежить на обговорюваній поверхні!).

І ось тут — засідка: адже якщо ми відійдемо від гори, то виявиться, що обходити її вже не потрібно! Просуваючись далі вздовж нашої «прямої», ми раптом виявимо, що умова її «прямоти» порушена: найкоротший шлях з точки K в точку N на малюнку 3 вже проходить зовсім не по цій лінії!

Що ж, визначення прямої було неправильним? Чи неможливо розповсюдити його на гористу місцевість? Ні, все не так страшно: просто треба його трохи підправити. Адже будь-яка вигнута поверхня в кожній маленькій своїй частині схожа на площину.

Щоб «йти все прямо, прямо», потрібно весь час дивитися не на далеку мету (раптом ваша пряма не проходить через неї насправді?!), а всього на крок вперед. Тоді ви не помітите ніякої кривизни поверхні, а просто будете робити кожен наступний крок в тому ж напрямку, що і попередній. І кожен маленький шматочок пройденого вами шляху буде ^{прямим3}.

Тому в наше визначення для випадку кривої поверхні додамо лише два слова: шлях по ній повинен бути найкоротшим для будь-яких двох досить близьких точок. Тепер все гаразд: пару точок K і N в нашому прикладі можна вже не розглядати, тому що вони недостатньо близькі!

Оскільки все-таки якось сумлінно називати ці вигнуті лінії прямими, їх називають красивим словом геодезичні. Це узагальнення поняття прямої на випадок викривленої поверхні. Отже:

Геодезична, або геодезична лінія на поверхні — це така лінія, що будь-який досить маленький її шматочок — найкоротший з усіх можливих на цій поверхні шлях між його кінцями.

Менш суворо можна сказати, що геодезична — це крива, яка на кожному маленькому (майже плоскому) шматочку виглядає як пряма.

До речі, тепер у нашому прикладі з симетричною горою, крім двох геодезичних, які ми намалювали, через точки А і В проходить ще як мінімум третя — це той самий шлях через вершину гори, який ми спочатку забракували як не найкоротший. Тепер можна просто оголосити точки А і В недостатньо близькими — а на кожній коротенькій ділянці цей шлях «в лоб» цілком схожий на прямую⁴.

Як бачите, аксіома Евкліда, яка стверджує, що через будь-які дві точки (площини) можна провести рівно одну пряму, для геодезичних на кривих поверхнях зовсім не працює. Може, є і ще «прямі», що ведуть з А в В? Це залежить від форми гори.

Корисно ще мати на увазі, що шлях, «прямий» насправді (тобто геодезичний), на карті може здаватися вигнутим, як це сталося з зеленою і синьою лініями на малюнку 3.

***

Ура! Ми тепер знаємо, що таке «йти прямо і не згортати» на будь-якому рельєфі — це і є рух по геодезичній лінії. Тепер для будь-якої поверхні ми можемо задаватися такими питаннями:

1. Як виглядають її геодезичні?
2. Як провести геодезичну (або геодезичну) через 2 задані точки?

У загальному випадку це завдання складне, тому пропоную погуляти по поверхнях простим, «майже плоским» — циліндру і конусу.

Циліндр

Ріс. 4

Зробити циліндр з підручних засобів легко (рис. 4): беремо аркуш паперу, згортаємо в трубочку і склеюємо (краще по довгій стороні). Тепер можна посадити на нього жука (краще уявного) і креслити геодезичні, за якими він буде повзти.

Якщо з самого початку вибрати напрямок, паралельний лінії склейки, то жук так і буде повзти по прямій, паралельній цій лінії (і осі циліндра); такі прямі називаються утворюючими. Якщо почати рух у напрямку, перпендикулярному вісі, то геодезична являє собою коло — переріз нашого циліндра.

Завдання наступного разу. А яка лінія вийде, якщо відправитися в якомусь іншому напрямку, наприклад по діагоналі? ⁵

Конус

Ріс. 5

Найбільш спритні можуть ще й по конусу прогулятися. Його теж легко склеїти. Найпростіше взяти великий аркуш паперу, вибрати на одній з його сторін точку — це буде вершина конуса — і склеїти між собою дві розділені цією точкою половинки сторони (рис. 5). Те, що підстава конуса виходить нерівна і навіть з кутами, що стирчать, — не біда: можна вважати, що справжня конічна поверхня нескінченна і це у нас тільки її шматочок.

Ще завдання. Як виглядають геодезичні на цій поверхні?

Художник Олексій Вайнер

Продовження слід.

Відповіді

1. Дві точки по різні сторони від зламу можна з’єднати більш коротким шляхом, ніж ділянку ламаною. Ми знайшли протиріччя з визначенням: є ділянка ламаною, кінці якої можна з’єднати шляхом підкорочі.

2. Нехай є інший, більш короткий шлях з В в С (червона лінія на малюнку). Тоді можна було б і з А в D пройти коротше, використовуючи новий шлях. Раз наш шлях з А в D найкоротший можливий, то і будь-яка його частина теж.

3. Треба перевіряти. Адже, наприклад, для ламаної лінії з вправи 1 перші дві умови виконані, а третє — ні.

¹ Підказка. Щоб довести, що лінія — не пряма, потрібно знайти невідповідність визначенню, тобто знайти хоча б одну пару точок, для яких умова, дана у визначенні, не виконується.

² Підказка. А якщо це не так і шлях з B в C вздовж цієї лінії не найкоротший — що тоді? Потрібно вивести з цього припущення таке слідство, яке суперечить даним завдання. Тим самим ви доведете, що припущення було помилковим. Це називається доказом від супротивного.

³ Врахуйте, що користуватися цим правилом у реальному житті небезпечно. По-перше, в лісі ви неминуче наткнетеся на дерево. По-друге, людина зазвичай не зовсім симетрична і при ходьбі навіть на площині може систематично відхилятися від прямої лінії в якусь одну сторону.

⁴ Зверніть увагу: точки повинні бути досить близькими, саме якщо йти по обраній лінії. На зображенні 3 точки А і В досить близькі, якщо йти понизу. Але «через верх» вони не близькі. Скоро ми побачимо, що геодезична може дуже близько підходити «сама до себе», роблячи на кривій поверхні петлю, — але такі точки, нехай і близькі на місцевості, не рахуються: вони не близькі «вздовж кривої».

⁵ Підказка. Не поспішайте склеювати циліндр, на розгортці креслити зручніше… Хоча вам, можливо, доведеться провести не одну лінію на розгортці, щоб жук не зупинився «посеред циліндра». А ось коли накресліть, складіть циліндр і перевірте, що ваша геодезична проходить лінію склейки без розривів і зломів.