Що таке золотий переріз і чи правда він всюди

Актуальне 23 січня 2023 Перегляди: 13

Спойлер: це лише красива математична легенда.

Що таке золотий переріз

Це Golden Ratio/National Geographic співвідношення двох нерівних чисел, при якому більше так само відноситься до меншого, як сума цих чисел до більшого. Золотий переріз дорівнює приблизно 1,618, або 1,62, якщо округлити, і позначається грецькою літерою  , «фі» — від імені давньогрецького скульптора Фідія. Вважається, що він використовував такі пропорції при оформленні Парфенона.

Найбільш відомі графічні вистави золотого перерізу — це прямокутник зі співвідношенням сторін приблизно 62:48 і побудована в ньому спіраль.

«Золотий прямокутник» можна розділити на такі ж, тільки меншого розміру. Зображення: Dicklyon / Wikimedia Commons

«Золота спіраль» (червона), вписана в «золотий прямокутник». Зображення: Silverhammermba & Jahobr / Wikimedia Commons

Золотий переріз тісно пов’язаний з числами Фібоначчі. Це ряд чисел, кожне з яких дорівнює сумі двох попередніх: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 тощо. Чим далі триває цей ряд, тим ближче співвідношення сусідніх чисел в ньому до 1,618. Наприклад, 3/2 = 1,5; 8/5 = 1,6, а 34/21 = 1,619.

Чому золотий переріз такий популярний

Вперше ним зацікавилися M. Livio. The Golden Ratio: The Story of PHI, the World’s Most Astonishing Number ще давньогрецькі математики Піфагор і Євклід. Вони вважали, що на числах побудовано все світобудову і з їх допомогою можна пояснити будь-який феномен. Не дивно, що елегантне співвідношення так зацікавило античних мислителів.

Слідом за ними золотим перерізом захопилися багато видатних вчених і діячів мистецтва. Наприклад, Леонардо да Вінчі, Альбрехт Дюрер, Йоганн Кеплер, Ле Корбюзьє, Сальвадор Далі і Річард Пенроуз.

Його вважають «божественною пропорцією»

Назву «золотий переріз» придумав німецький математик XIX століття Мартін Ом. До нього це співвідношення іменували S. Strogatz. Proportion Control/The New York Times Opinionator «божественною пропорцією».

Через приписувані характеристики золотий переріз намагалися застосовувати якомога частіше. Так, за часів Відродження це число вважалося ідеальним способом для вибору розміру. «Золотий прямокутник», наприклад, нерідко використовували при створенні книг і картин. А лінію поясу називали кордоном золотого перерізу людського тіла.

Деякі й понині вважають цю пропорцію секретом привабливості та прикладом універсальної гармонії, приємної людському оку. Наприклад, про золотий переріз люблять говорити пластичні хірурги. А ще це число популярне M. Livio. The Golden Ratio: The Story of PHI, the World’s Most Astonishing Number як ніяке інше в математиці.

Його можна зустріти в природі

Числа Фібоначчі і спіралі, подібні золотому перерізу, часто виявляються в природі. Наприклад, у кількості пелюсток біля квітів або формі рослин.

Його виявляють у творах архітектури і мистецтва

Наприклад, «божественні пропорції» знаходять у Парфеноні та єгипетських пірамідах. Також широко поширена помилка, що «Мона Ліза» написана відповідно до числа  .

Чому універсальність золотого перерізу — міф

Однак при ретельному вивченні стає зрозуміло, що ця пропорція не така вже й всеосяжна.

Божественність золотого перерізу перебільшується

Золотому перерізу надають більше значення, ніж є насправді. Красиві візерунки і наліт таємничості зробили S. Strogatz. Proportion Control/The New York Times Opinionator зі звичайного геометричного співвідношення математичний міф, який, наприклад, дуже люблять нумерологи.

Найчастіше речі зараховують до золотого перерізу з великими припущеннями. Ні про яку точність і математичну універсальність в такому випадку говорити не доводиться. Тому при бажанні можна виявити «божественні пропорції» де завгодно.

У природі золотий переріз не так вже й поширений

Його знаходять далеко не Golden Ratio/National Geographic скрізь. Наприклад, у маків завжди чотири пелюстки, а в ряд Фібоначчі четвірка не входить. Також нерідко зустрічається чотирилистий наклеп. Раковини морських молюсків схожі на спіраль золотого перерізу, але все-таки інші J. Sharp. Spirals and the Golden Section / Nexus Network Journal . У них більше витків, і відстань між ними менша. У жодного молюска коефіцієнт скручування раковини і близько не дорівнює 1,62. Це видно навіть неозброєним оком:

Спіраль морського молюска. Зображення: Florian Elias Rieser / Wikimedia Commons

Спіраль Фібоначчі, близька до золотого перерізу. Зображення: Jahobr / Wikimedia Commons

У людському тілі ж стільки точок, від яких можна виробляти вимір, що при бажанні реально знайти золотий переріз де завгодно. Ось тільки з великою ймовірністю у різних людей «божественну пропорцію» доведеться шукати в різних місцях, так як ми можемо сильно відрізнятися один від одного.

У мистецтві воно теж зустрічається не так вже й часто

Вивчення 565 картин видатних художників показало A. Olariu. Golden Section and the Art of Painting/arXiv Preprints, що в середньому співвідношення сторін у роботах становить 1,34. Це явно не дотягує до золотого перерізу. Вчені не знаходять M. Livio. The golden ratio and aesthetics/Plus Magazine його навіть у творах Леонардо да Вінчі.

Археологічні дослідження не підтверджують P. Foutakis. Did the Greeks Build According to the Golden Ratio ?/Cambridge Archaeological Journal і того, що стародавні греки могли використовувати золотий переріз при будівництві Парфенона. З більш ніж 100 пам’яток давньогрецької архітектури це число знайшлося в пропорціях тільки чотирьох об’єктів: вежі, вівтаря, гробниці та надгробки. Не могли користуватися золотим перерізом і стародавні єгиптяни, які не володіли достатнім рівнем технологій, щоб точно вираховувати пропорції.

Кому золотий переріз може бути корисним насправді

Сучасна математика використовує S. C. Carlson. Golden ratio/Britannica золотий переріз і числа Фібоначчі при описі фракталів — фігур, які проявляють самопідібність.

Знання про кількість   відіграє важливу роль у вивченні хаосу і систем, що змінюються (динамічних). Воно допомагає зрозуміти, як природа розвивається і самоорганізується.

Також числа Фібоначчі корисні при вирішенні деяких складних завдань. Наприклад, за допомогою цих чисел радянський математик Юрій Матіясевич довів Ф. П. Варпаховський, О. М. Колмогоров. Про вирішення десятої проблеми Гільберта/Квант, що не існує універсального алгоритму вирішення рівнянь з як мінімум двома невідомими.