Скарб геометрії

Навчання 26 серпня 2022 Перегляди: 60

Римський архітектор Вітрувій особливо виділяв теорему Піфагора «з численних відкриттів, що надали послуги розвитку людського життя», і закликав ставитися до неї з найбільшою пошаною. Це було ще в I столітті до н. е. На рубежі XVI-XVII століть знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер назвав її одним зі скарбів геометрії, порівнянним із заходом золота. Навряд чи у всій математиці знайдеться більш вагоме і значуще твердження, адже за кількістю наукових і практичних додатків теореме Піфагора немає рівних.

Піфагорові штани

Теорема Піфагора для випадку рівнобедреного прямокутного трикутника

Теорема Піфагора чи не найвідоміша і, безсумнівно, найвідоміша в історії математики. У геометрії вона застосовується буквально на кожному кроці. Незважаючи на простоту формулювання, ця теорема аж ніяк не очевидна: дивлячись на прямокутний трикутник зі сторонами a b c, побачити співвідношення a² + b² = c² неможливо. Одного разу відомий американський логік і популяризатор науки Реймонд Смалліан, бажаючи підвести учнів до відкриття теореми Піфагора, накреслив на дошці прямокутний трикутник і по квадрату на кожній його стороні і сказав: «Уявіть, що ці квадрати зроблені з кованого золота і вам пропонують взяти собі або один великий квадрат, або два маленьких. Що ви виберете? » Думки розділилися навпіл, виникла жвава дискусія. Яке ж було здивування учнів, коли вчитель пояснив їм, що ніякої різниці немає! Але варто тільки вимагати, щоб катети були рівні, — і затвердження теореми стане явним (рис. 1). І хто після цього засумнівається, що «піфагорові штани» в усі сторони рівні? А ось ті ж самі «штани», тільки в «складеному» вигляді (рис. 2). Такий креслення використовував герой одного з діалогів Платона під назвою «Менон», знаменитий філософ Сократ, розбираючи з хлопчиком-рабом завдання на побудову квадрата, площа якого в два рази більше площі даного квадрата. Його міркування, по суті, зводилися до доказу теореми Піфагора, нехай і для конкретного трикутника.

Фігури, зображені на рис. 1 і 2, нагадують найпростіший орнамент з квадратів і їх рівних частин — геометричний малюнок, відомий з незапам’ятних часів. Їм можна часто покрити площину. Математик назвав би таке покриття площини багатокутниками паркетом, або замощенням *. При чому тут Піфагор? Виявляється, він першим вирішив завдання про правильні паркети, з якої почалося вивчення замощень різних поверхонь. Так ось, Піфагор показав, що площину навколо точки можуть покрити без прогалин рівні правильні багатокутники тільки трьох видів: шість трикутників, чотири квадрати і три шестикутники.

4000 років потому

Історія теореми Піфагора йде в глибоку давнину. Згадки про неї містяться ще у вавилонських клинописних текстах часів царя Хаммурапі (XVIII століття до н. е.), тобто за 1200 років до народження Піфагора. Теорема застосовувалася як готове правило в багатьох завданнях, найпростіша з яких — знаходження діагоналі квадрата по його стороні. Не виключено, що співвідношення a² + b² = c² для довільного прямокутного трикутника вавилоняни отримали, просто «узагальнивши» рівність a² + a² = c². Але їм це простительно — для практичної геометрії стародавніх, що зводилася до вимірювань і обчислень, суворих обґрунтувань не було потрібно.

Тепер, майже через 4000 років, ми маємо справу з теоремою-рекордсменом за кількістю всіляких доказів. Між іншим, їх колекціонування — давня традиція. Пік інтересу до теореми Піфагора припав на другу половину XIX — початок XX століття. І якщо перші колекції містили не більше двох-трьох десятків доказів, то до кінця XIX століття їх число наблизилося до 100, а ще через півстоліття перевищило 360, і це тільки тих, що вдалося зібрати за різними джерелами. Хто тільки не брався за вирішення цієї нестаріючої задачі — від іменитих вчених і популяризаторів науки до конгресменів і школярів. І що примітно, в оригінальності і простоті рішення інші любителі не поступалися професіоналам!

Найдавнішими доказами теореми Піфагора, які дійшли до нас, є близько 2300 років. Одне з них — суворе аксіоматичне — належить давньогрецькому математику Євкліду, який жив у IV-III століттях до н. е. У I книзі «Початок» теорема Піфагора значиться як «Пропозиція 47». Найнаочніші і найкрасивіші докази побудовані на перекроюванні «піфагорових штанів». Вони виглядають як хитромудра головоломка на розрізання квадратів. Але змусьте фігури правильно рухатися — і вони відкриють вам секрет знаменитої теореми.

Ось який витончений доказ виходить на основі креслення з одного давньокитайського трактату (рис. 3), і відразу прояснюється його зв’язок із завданням про подвоєння площі квадрата.

Ілюстрація до теореми Піфагора з «Трактату про вимірювальну жердину» (Китай, III століття до н. е.) і реконструйований на його основі доказ

Саме такий доказ намагався пояснити своєму молодшому другові семирічний Гвідо, не по роках тямущий герой новели англійського письменника Олдоса Хакслі «Маленький Архімед». Цікаво, що оповідач, який спостерігав цю картину, відзначив простоту і переконливість доказу, тому приписав його… самому Піфагору. А ось головний герой фантастичної повісті Євгена Велтістова «Електронік — хлопчик з валізи» знав 25 доказів теореми Піфагора, в тому числі дане Євклідом; правда, помилково назвав його найпростішим, хоча насправді в сучасному виданні «Начал» воно займає півтори сторінки!

Перший математик

С. Перкінс. Піфагор

Піфагора Самоського (570-495 роки до н. е.), чиє ім’я давно і нерозривно пов’язане з чудовою теоремою, у відомому сенсі можна назвати першим математиком. Саме з нього математика починається як точна наука, де всяке нове знання — результат не наочних уявлень і винесених з досвіду правил, а підсумок логічних міркувань і висновків. Лише так можна раз і назавжди встановити істинність будь-якого математичного речення. До Піфагора дедуктивний метод застосовував тільки давньогрецький філософ і вчений Фалес Мілетський, який жив на рубежі VII-VI століть до н. е. Він висловив саму ідею доказу, але застосовував його не систематично, вибірково, як правило, до очевидних геометричних тверджень типу «діаметр ділить коло навпіл». Піфагор просунувся набагато далі. Вважається, що він ввів перші визначення, аксіоми і методи доказу, а також створив перший курс геометрії, відомий стародавнім грекам під назвою «Переказ Піфагора». А ще він стояв біля витоків теорії чисел і стереометрії.

Інша важлива заслуга Піфагора — основа славної школи математиків, яка понад століття визначала розвиток цієї науки в Стародавній Греції. З його ім’ям пов’язують і сам термін «математика» (від грецького слова лід — вчення, наука), що об’єднав чотири родинні дисципліни створеної Піфагором і його прихильниками — піфагорейцями — системи знань: геометрію, арифметику, астрономію і гармоніку.

Відокремити досягнення Піфагора від досягнень його учнів неможливо: дотримуючись звичаю, вони приписували власні ідеї та відкриття своєму Вчителю. Ніяких творів ранні піфагорейці не залишили, всі відомості вони передавали один одному усно. Тож 2500 років потому історикам не залишається нічого іншого, окрім як реконструювати втрачені знання з перекладів інших, пізніших авторів. Віддамо належне грекам: вони хоч і оточували ім’я Піфагора безліччю легенд, проте не приписували йому нічого такого, чого він не міг би відкрити або розвинути в теорію. І теорема, що носить його ім’я, не виняток.

Такий простий доказ

Невідомо, Піфагор сам виявив співвідношення між довжинами сторін у прямокутному трикутнику або запозичив це знання. Античні автори стверджували, що сам, і любили переказувати легенду про те, як на честь свого відкриття Піфагор приніс у жертву бика. Сучасні історики схильні вважати, що він дізнався про теорем, познайомившись з математикою вавилонян. Не знаємо ми і про те, в якому вигляді Піфагор формулював теорему: арифметично, як прийнято сьогодні, — квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, або геометрично, в дусі древніх, — квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновелик сумі квадратів, побудованих на його катетах.

Вважається, що саме Піфагор дав перший доказ теореми, що носить його ім’я. Воно, звичайно, не збереглося. За однією з версій, Піфагор міг скористатися розробленим у його школі вченням про пропорції. На ньому ґрунтувалася, зокрема, теорія подоби, на яку спираються міркування. Проведемо в прямокутному трикутнику з катетами a і b висоту до гіпотенузи c. Отримаємо три подібні трикутники, включаючи вихідний. Їх відповідні сторони пропорційні, a:з = m:a і b: c = n :b, звідки a2 = c· m і b2 = c· ⁿ. Тоді a2 + b2 = c· (^m + n) = c2 (рис. 4⁾.

Креслення можливого доказу Піфагора

Це всього лише реконструкція, запропонована одним з істориків науки, але доказ, погодьтеся, зовсім простий: займає всього кілька рядків, не потрібно нічого добудовувати, перекроювати, обчислювати… Не дивно, що його не раз перевідкривали. Воно міститься, наприклад, у «Практиці геометрії» Леонардо Пізанського (1220), і його досі наводять у підручниках.

Такий доказ не суперечив поданням піфагорейців про співмірність: спочатку вони вважали, що ставлення довжин будь-яких двох відрізків, а значить, і площ прямолінійних фігур, можна висловити за допомогою натуральних чисел. Ніякі інші числа вони не розглядали, не допускали навіть дробів, замінивши їх відносинами 1: 2, 2 :3 тощо. Однак, за іронією долі, саме теорема Піфагора привела піфагорейців до відкриття неспівмірності діагоналі квадрата і його сторони. Всі спроби чисельно представити довжину цієї діагоналі — у одиничного квадрата вона дорівнює ^ 2 — ні до чого не привели. Простіше виявилося довести, що завдання нерозв’язне. На такий випадок у математиків є перевірений метод — доказ від супротивного. До речі, і його приписують Піфагору.

Існування стосунку, що не виражається натуральними числами, поклало край багатьом уявленням піфагорейців. Стало ясно, що відомих їм чисел недостатньо для вирішення навіть нескладних завдань, що вже говорити про всю геометрію! Це відкриття стало поворотним моментом у розвитку грецької математики, її центральною проблемою. Спочатку воно призвело до розробки навчання про несумірні величини — ірраціональності, а потім — і до розширення поняття числа. Іншими словами, з нього почалася багатовікова історія дослідження безлічі дійсних чисел.

Мозаїка Піфагора

«Мозаїка Піфагора» і розбиття ан-Найрізі трьох квадратів у доказі теореми Піфагора

Якщо покрити площину квадратами двох різних розмірів, оточивши кожен малий квадрат чотирма великими, вийде паркет «мозаїка Піфагора». Такий малюнок здавна прикрашає кам’яні підлоги, нагадуючи про стародавні докази теореми Піфагора (звідси його назва). По-різному накладаючи на паркет квадратну сітку, можна отримати розбиття квадратів, побудованих на сторонах прямокутного трикутника, які пропонувалися різними математиками. Наприклад, якщо розташувати сітку так, щоб всі її вузли збіглися з правими верхніми вершинами малих квадратів, проявляться фрагменти креслення до доказу середньовічного перського математика ан-Найрізі, яке він помістив у коментарях до «Початків» Євкліда. Легко бачити, що сума площ великого і малого квадратів, вихідних елементів паркету, дорівнює площі одного квадрата накладеної на нього сітки. А це означає, що зазначене розбиття дійсно придатне для укладання паркету: з’єднуючи в квадрати отримані багатокутники, як показано на малюнку, можна заповнити ними без пробілів і перекриттів всю площину.

Правильний паркет з квадратів і «мозаїка Піфагора» на картинах голландських майстрів. Ліворуч: П. де Хох. Господиня і служниця у внутрішньому дворику. Близько 1660 року. Праворуч: Я. Охтервелт. Бродячі музиканти у дверях багатого будинку 1665 року

^* Паркет, або замощення, — розбиття площини багатокутниками (або простору багатогранниками) без прогалин і перекриттів.