«Теорема Наполеона, замощення площини і паралельники»

Навчання 02 серпня 2022 Перегляди: 69

1. В одному з перших номерів журналу «Квантик» ^{розповідалося} про дві чудові теореми.

Теорема Наполеона. Центри рівносторонніх трикутників, побудованих на боках довільного трикутника, утворюють рівносторонній трикутник.

Теорема Тебо. Центри квадратів, побудованих на боках довільного паралелограма, утворюють квадрат.

Виявляється, з цими теоремами пов’язані два чудових замощення площини.

Зображення, розташовані на с. 20

Якщо довго дивитися на ці замощення, то і теореми стануть дуже зрозумілими! ²

Подивимося, наприклад, на праву картинку внизу с. 20. Центри великих квадратів утворюють квадратну сітку — тобто можна вважати, що картинка намальована на картинці і центри великих квадратів лежать в її вузлах. А центри маленьких квадратів тоді лежать в центрах клітинок. Тому теорема Тебо вірна.

Втім, якщо таке міркування ви розповісте своєму вчителю геометрії, то у нього напевно виникнуть питання, про які дійсно корисно подумати. Ну а поки продовжимо дивитися на картинки.

Точно так само на лівій картинці внизу с. 20 можна побачити теорему Наполеона³. Тільки трикутники тепер лежать у вершинах не квадратної, а трикутної сітки.

2. Чи не правда, формулювання двох теорем досить схожі і викликають надію, що це початок цілої серії теорем?

Але якщо в теоремі Наполеона мова йде про довільний трикутник, то в теоремі Тебо вже не можна брати довільні чотирикутники (в цьому легко переконатися, намалювавши, наприклад, дуже сплюснуту трапецію), годяться тільки паралелограми.

А що потрібно вимагати, скажімо, від п’ятикутника, щоб для нього виконувалася теорема, аналогічна теоремі Наполеона?

Тут допомагає поняття паралельника, яке нещодавно обговорювалося в «Квантиці» 4. Паралельник (або, висловлюючись більш науково, аффінно-правильний багатокутник) — це багатокутник, в якому паралельні один одному ті ж сторони і діагоналі, як якщо б він був правильним. Наприклад, чотирикутний паралельник — це паралелограм, а п’ятикутний паралельник — такий п’ятикутник, в якому кожна діагональ паралельна відповідній (протилежній) стороні.

Тепер можна сказати, що обидві наведені теореми — приватні випадки такого твердження.

Узагальнена теорема Наполеона. Центри правильних N-вугільників, побудованих зовні на сторонах довільного N-вугільного паралельника, утворюють правильний N-вугільник.

Але ця теорема не має доказів замощення. Зате є чудово короткий доказ за допомогою комплексних чисел — але це вже зовсім інша історія.

Художник Марія Усеїнова

¹. А. Полянський, Г. Фельдман. Наполеон і геометрія («Квантік» № 5 за 2012 рік).

² Про інші докази за допомогою замощень див. ще статтю: Г. Мерзон. Як розрізати верблюда? («Квантік» № 5 за 2020 рік).

³ Детальніше про це написано у статті: В. Н. Дубровський. Геометрія на паркеті («Квант» № 2 за 2014 рік). Там же розповідається і про інші докази за допомогою замощень.

⁴ Ф. Нілов. Паралельники, напівпараллельники та рівні площі («Квантік» № 11 за 2020 рік). Там на сторонах N-вугільних паралельників будують не правильні N-вугільники, а квадрати — і теж виходить цікаво.