Втрата керованості

Навчання 26 серпня 2022 Перегляди: 76

Наведемо кілька відомих життєвих прикладів, що відносяться до поступової, а також до раптової втрати керованості. І розповімо про те, як поводитися в таких випадках, інакше кажучи — про те, як при цьому змінюються алгоритми управління.

Ахіллес і черепаха

Ріс. 1. Біг Ахіллеса за черепахою. Виділені перші реперні точки розташування Ахіллеса (А) і черепахи (ч)

Почнемо з хрестоматійного прикладу, коли швидконогий Ахіллес женеться за черепахою (рис. 1). Зеноном виділені реперні точки, що відносяться до положення черепахи в моменти «звірки годинників», в кожен з яких Ахіллес збирався виявити черепаху. Але, добігши до потрібного місця, він виявляє, що черепаха вже змістилася вперед… Далі цикл в рамках чистої математики і нескінченно ділимих простору і часу може бути повторений до нескінченності з виведенням — черепаху Ахіллесу не наздогнати.

Якщо не заморочуватися вказаним дробленням дистанції і виділенням реперних точок і дозволити Ахіллесу бігти вільно, не стежачи за черепахою, то ніяких проблем не виникає і час, через який Ахіллес і черепаха порівняються, очевидно, складе

(  t =frac {L} {v _ A ‑  .)

Тут L — початкова відстань між Ахіллесом і черепахою, а v_A і v_ч — їх швидкості. При цьому до зустрічі черепаха встигне проповзти відстань Lv_ч/( vA ‑ vч₎, а Ахіллес — пробігти відстань LvA_/( vA _‑ vч)_. Так що якщо швидкість Ахіллеса, наприклад, в 10 разів більше швидкості черепахи, то до зустрічі вони подолають відстані (10/9) L і (1/9) L відповідно.

Виділення для Ахіллеса реперних точок простору, в яких рухома черепаха розташовувалася в попередні моменти часу, схоже на побудову дискретної схеми вирішення завдання. А з іншого боку — на роботу алгоритмів управління: якщо поставлена мета досягти деякої точки, то, коли Ахіллес досягає її, черепаха вже змістилася, тепер ставиться наступна мета і т. д. Якщо у системи управління при цьому кінцевий час спрацювання на кожному кроці, то процес може сильно затягнутися. Тому завдання про Ахіллеса і черепаху можна розглядати і як натяк на поступову втрату керованості.

Трохи детальніше поступову втрату керованості пояснимо на другому, не менш відомому прикладі причалювання судів до пристані.

Причалювання

У цьому прикладі, взятому з книги В. І. Арнольда «Математичне розуміння природи» (М.:МЦМНО, 2010), в якості Зенона фігурує майже настільки ж легендарний Володимир Ігорович Арнольд, в якості Ахіллеса — корабель, а в якості черепахи — пристань.

Сенс проблеми в тому, що в міру наближення корабля до берега його швидкість (регульована за допомогою двигуна і керма) повинна знижуватися, а в момент торкання пристані — зменшитися до нуля, щоб не було удару. Найпростіше рівняння, що описує такий процес, має вигляд

( frac{dx}{dt}=−x,)

а його рішення —

( x(t) = text{exp}(−t),)

де x — відстань від корабля до пристані. Формально з рішення випливає, що процес причалювання займає нескінченний час: відстань до пристані хоч і спадає по експоненті, але в будь-який момент часу не нульова, а значить, корабель ніколи не причалить до пристані. Ситуація майже як у Ахіллеса і черепахи.

Якщо знову розглядати цей приклад як завдання управління, відстежувати зміну відстані до причалу в часі і давати команди кораблю на зміну швидкості, то інтервал між сигналами управління повинен постійно зменшуватися. Потрібно буде все швидше приймати рішення з управління кермом і двигуном, що непросто при великих розмірах і вазі корабля… Знову складається ситуація поступової втрати керованості. Що робити?

Ріс. 2. Причалювання корабля. Внизу зображено кнехт з намотаним на нього канатом

Перехід до нового алгоритму управління викладено у згаданій книзі: матрос кидає канат з корабля на пристань, сам стрибає на берег, намотує канат на кнехт і вручну притягує судно (рис. 2). Корабель, трохи «потріпихавшись», застигає біля пірсу. Таким чином, закінчення процесу причалювання відбувається дещо грубувато, несподівано, але ефективно.

У книзі наведено й інший схожий приклад — прилунення ракети. Та ж ситуація: наприкінці прилунення ракета кілька разів підстрибує на ресорах, вдаряючись об поверхню Місяця, поки коливання поступово не загаснуть.

І в цих випадках при втраті керованості необхідний перехід до нового алгоритму поведінки. Так, у прикладі з причалюванням керованість втрачається поступово, що дає можливість матросу встигнути перебратися на берег і виконати ряд стандартних операцій.

Однак бувають ситуації, коли втрата керованості відбувається раптово і потрібно практично миттєво перемикатися на інший алгоритм. Розгляньмо кілька прикладів такого типу.

Падіння під час ходьби

Наступний приклад, виведений у заголовок, знайомий більшості пішоходів. Почнемо зі звичайної, нормальної ходьби (рис. 3). Така розмірена ходьба вже являє собою керовану послідовність падінь. Її навіть називають інакше низкою рефлекторно контрольованих падінь.

Ріс. 3. Послідовність рухів під час ходьби

На початку кроку людина, стоячи на одній нозі, нахиляється вперед і починає падати. В ході падіння витягнута вперед нога стосується землі, і за інерцією руху на неї переноситься вага тіла. Коліно, амортизуючи падіння, підгинається, потім випрямляється і процес повторюється. Така нормальна ходьба в ході щоденних вправ доведена до автоматизму, і робота системи управління положенням під час ходьби відбувається рефлекторно. При цьому одночасно вирішується цілий комплекс завдань: плавність ходьби, збереження ходи, мінімальна витрата енергії. М’язи напружуються і розслабляються в потрібній послідовності.

Але ось несподівана перешкода — людина перечепилася, раптово відчула початок падіння і зрозуміла, що її рефлекторно вже не зупинити. Час падіння _{^ tп} легко оцінити. Якщо висота центру тяжкості людини дорівнює H, то з відомого співвідношення( H = g   2 _ п/2) при Н = 0,6-1 м випливає, що _{^ tп} = 0,35-0,45 с, тобто на «розрулювання ситуації» є менше півсекунди. Швидкість при падінні на землю може досягти v_п = _{g^ tп} ∼ 4 м/с.

Що можна і потрібно встигнути зробити? Наведемо найпростіші поради з «управління» в ході падіння:

• Сісти! Зниження висоти падіння зменшує швидкість приземлення і відповідні наслідки.
• Угруповання! Уподібнившись «колобку», ви при падінні просто перекотитеся, що менш травматично.
• Найбільша увага — «слабким місцям»: хребту і голові! Встигнути впасти на бік, притиснувши підборіддя до грудей. Руки до тулуба, зуби зціплені, очі стежать за процесом падіння.

Чи реально все це встигнути зметикувати і виконати за півсекунди? Реально, якщо у вас накопичений навик і вироблений відповідний рефлекс поведінки при падінні. Тому спортсменів, наприклад, спеціально вчать правильно падати.

Аквапланування

Ріс. 4. Ліворуч — швидкість менше критичної, колесо контактує з покриттям дороги; праворуч — швидкість більше критичної, колесо «спливло» над дорогою, починається аквапланування

Нарешті, ще один приклад, який знайомий багатьом автомобілістам, — аквапланування (рис. 4). Під акваплануванням розуміють повну або часткову раптову втрату зчеплення через присутність води між полотном дороги і колесом. Подібне буває при русі автомобіля на великій швидкості після зливи, при наявності великих калюж на дорозі або в колії, при таненні снігу тощо.

При досить великій швидкості руху по мокрій дорозі можлива ситуація, коли колесо не встигає відводити воду з плями контакту з дорогою. Колеса піднімаються над дорогою, між ними утворюється водна подушка, і зчеплення коліс автомобіля з покриттям дороги різко зменшується. Чим це небезпечно?

Зменшення зчеплення з дорогою веде до зростання гальмівного шляху. При гальмуванні на автомобіль діє сила тертя, що дорівнює F_тр = ^ mg. Тому з рівняння руху ma = F_{тр випливає, що гальмівний шлях дорівнює}

( s_r = frac{v^2_0}{2a} = frac{v^2_0}{2μg}. )

Тут v₀ — початкова швидкість автомобіля,   — коефіцієнт тертя, або інакше індекс тертя, g — прискорення вільного падіння. Якщо до гальмівного шляху додати відстань, пройдену автомобілем до початку гальмування, і прийняти, що час реакції водія дорівнює _{^ tp}, то сумарний шлях складе

( s = frac{v^2_0}{2μg} + v_0Δt_text{ρ}. )

Ріс. 5. Залежність індексу (коефіцієнта) тертя від швидкості та стану дороги

Наведемо оцінки, використавши малюнок 5, на якому наведено залежність індексу тертя від швидкості і стану дороги. Приймемо для прикладу, що початкова швидкість автомобіля 72 км/год, тобто 20 м/с, а час реакції водія 0,5-1 с. У цьому випадку довжина гальмування складе 30-40 м на сухій дорозі (  = 0,9), 40-50 м на вологій дорозі (  = 0,7) і 60-70 м на мокрій дорозі (  = 0,4, до переходу в режим аквапланування).

При вдвічі меншій швидкості — 36 км/год, або 10 м/с — і тому ж значенні часу реакції водія довжина гальмування набагато менша: 10-15 м на сухій дорозі (  = 0,9), 12-17 м на вологій дорозі (  = 0,7) та 16-21 м на мокрій дорозі (  = 0,45).

Зазначимо, що при гальмуванні на льоду (    0,2) ми приходимо до довжини гальмування s   30-35 м при v₀ = 10 м/с і s   110-120 м при v₀ = 20 м/с. А в режимі аквапланування індекс тертя може бути ще меншим, ніж на льоду, і гальмівний шлях катастрофічно подовжується.

Але це ще не всі неприємності. При акваплануванні різко звужуються можливості керування автомобілем: колесо ковзає по водній плівці, машина не слухається керма. Більше того, спроба судорожно вивернути кермо може призвести до тяжких наслідків: коли машина вискочить за межі калюжі і повернеться до керованого режиму, її занесе.

Фізика процесу переходу в режим аквапланування детально розібрана в «Цікавій фізиці» С.Д. Варламова (сайт СУНЦ МДУ). У статті «Аквапланування» наведено прості співвідношення, з яких можна зрозуміти залежність швидкості переходу до аквапланування v_a від основних параметрів завдання і отримати правильну оцінку цієї швидкості. Наведемо деякі результати цієї роботи.

Якщо перейти в систему координат, в якій колесо нерухоме, а швидкість «набігаючої» водної плівки дорівнює v, то тиск потоку води складе ^ v2/2 (  — щільність води). Вода, що «набігає» на колесо і відбивається від нього, створює підйомну силу, рівну виробленню тиску води на ефективну площу колеса S. Для оцінки цієї площі скористаємося малюнком 6, де наведено зображення колеса в «фас» і «профіль» (напрямок потоку набігаючої води показано в правій частині малюнка червоною стрілкою). Для ефективної площі маємо S ∼ Lx. З прямокутного трикутника OAB по теоремі Піфагора отримуємо R2 ^‑ x2 ⁼ (R ‑ h) 2^. Оскільки h ≪ R, наближено можна записати R2 ‑ x2 = R2 ‑ 2hR, або( x =sqrt {2hR}). Звідси, опускаючи коефіцієнти порядку одиниці, для підйомної сили Fп, що діє з боку води на колесо _{автомобіля, отримуємо}

( F_п = Lsqrt{Rh}ρv^2. )

Ріс. 6. До розрахунку ефективної площі колеса при акваплануванні: L — ширина протектора колеса, R — радіус колеса, h — глибина шару води між дорогою і колесом

Якщо прирівняти підйомну силу силі тяжкості машини, поділеної на число коліс:

( Lsqrt{Rh}ρv^2 = frac{gM}{4},)

то можна отримати умову відриву колеса від дороги. Для типових параметрів L = 15 см, R = 30 см, h = 1 см,   = 1 г/см³, g = 10 м/с² і при масі автомобіля M = 1000 кг швидкість переходу в режим аквапланування виявляється масштабу

v_a ∼ 60-70 км/год.

З наведених оцінок випливає, що проблема аквапланування більш небезпечна (і, відповідно, швидкість переходу в цей режим менше) у разі легких (легкових) автомобілів (v_a ∼ M^1/2), широких шин (v_a ∼ L ^{‑ 1}/2), глибоких калюж ₍va ∼ ^{h ‑} 1/4). Здавалося б, для зменшення небезпеки переходу в режим аквапланування корисно робити шини якомога вже і з глибоким борознями. Однак у цьому випадку стає гірше керованість машини при звичайному русі по дорозі, а самі шини швидше зношуються. В результаті доводиться шукати компроміс.

Ріс. 7. Ліворуч — борозни і шипи на протекторі шини автомобіля; праворуч — закінчення води через борозни на поверхні шини

Боротьба з акваплануванням ведеться по ряду напрямків, основні з яких — підготовка доріг і шин. Зокрема, дорожнє покриття роблять шорстким, що збільшує зчеплення. Велику увагу звертають на конструкцію і рельєф шин — див. борозни і шипи на протекторі шин на малюнку 7, ліворуч. Це зменшує ефективну висоту шару води. Більше того, борозни допомагають воді витікати вбік (див. рис. 7, праворуч). Наявність борознок і збільшення тиску шин знижує ефективну ширину шин.

Але що робити, якщо аквапланування вже почалося? Багаторічний досвід водіїв призвів до наступного «алгоритму управління», близького до «замріть у вихідному положенні»:

• Кермо прямо!
• Ніяких різких рухів!
• Зберігайте все, як було до початку аквапланування!
• Потихеньку скидайте швидкість!
• Після відновлення зчеплення коліс з покриттям дороги поступово вирівнюйте автомобіль…

Автор висловлює глибоку вдячність А. С. Харіну та О. О. Гусєву за корисні обговорення.