Зоряні величини

Навчання 02 серпня 2022 Перегляди: 66

«Зірка першої величини» — так часто говорять про людину всім відомого, знаменитого, яскравого. Але у астрономів зірки першої величини — не найяскравіші. На небі знайдеться дюжина зірок яскравіше. Який же тоді вони величини? Нульовий і мінус першою.

Зоряна величина — міра яскравості зірок на нашому небі. Чим зірка яскравіша, тим її величина менша: найяскравіша зірка, Сіріус, має зоряну величину — 1,5, а найслабші зірки, які розрізняє неозброєним оком людина з нормальним зором, — шостої зоряної величини. Правда, в хороші ясні ночі зоркі люди можуть розгледіти і набагато більш тьмяні зірки — восьмої величини. Для короткості замість слів «зоряна величина» астрономи приписують зверху індекс m, наприклад: зірка Вега (найяскравіша зірка сузір’я Ліри) ⁰m, Полярна зірка ²m. Планети бувають яскравішими за найяскравіші зірки — наприклад, Венера або Юпітер можуть бути ‑ 3m або навіть ^‑ 4m. Є багато слабких зірок, яких ми не бачимо. У простенький телескоп видно зірки до 10m.

Любителі астрономії знають напам’ять зоряні величини кількох відомих зірок (а то й кількох десятків) і визначають «на око» яскравість будь-якої іншої зірки порівнянням з ними. Коли на темніючому вечірньому небі з’являється кілька (5-10) зірок — це, швидше за все, зірки нульової і першої величини; коли зірок стає багато, ви можете знайти «ковш» Великої Ведмедиці і схожий на букву W силует Кассіопеї — майже всі зірки в цих астеризмах (конфігураціях) 2^m, а найслабші 3^m. Четверта величина — часто межа видимості в місті або при невеликому димку. А вже якщо видно Чумацький Шлях і все всипано зірками — ви напевно (якщо зір хороший) бачите зірки до 6^m.

Ось так само визначали зоряні величини стародавні греки, які і придумали їх більше двох тисячоліть тому. Чому придумали саме так? Для ока розподіл яскравості за зоряними величинами представляється рівномірним: зірка 2^m виглядає настільки ж яскравіше, ніж 3^m, наскільки 3^m яскравіше, ніж 4^m, і т. д. Чудово, що відтоді люди винайшли точні прилади, навчилися вимірювати кількість енергії (можна сказати — прямо число фотонів за секунду¹), що приходить від кожної зірки, — а стародавнє визначення залишилося в силі! Хіба що додали дробові величини, і тепер астрономи можуть відрізнити яскравість зірки 3,1^m від 3,2^m. Але навіть з цим багато любителів справляються. Виходить, людське око — такий досконалий прилад?

Але все ще дивніше. Коли навчилися вимірювати яскравість приладами, виявилося, що сусідні зоряні величини відрізняються один від одного не на одне і те ж число (фотонів в секунду на квадратний сантиметр, наприклад), а рівно в одне і те ж число разів! Це число приблизно дорівнює 2,5: зірка 1^m в 2,5 рази яскравіша, ніж зірка 2^m, і в 2,5 рази тьмяніша, ніж зірка 0^m.

Завдання 1. Змете-но, а в скільки разів зірка 0^m (наприклад, Вега) яскравіша, ніж зірка 2^m (наприклад, Полярна)? У скільки разів зірка 2^m яскравіша за зірку 5^m?

Завдання 2. У скільки разів Сіріус (‑ 1,5^m) яскравіше червоної зірки Бетельгейзе (0,5^m) із сузір’я Оріона?

Завдання 3 (найважче). А у скільки разів Бетельгейзе (0,5^m) яскравіше, ніж інша червона зірка — Антарес (1^m) із сузір’я Скорпіона?

Насправді «чарівна кількість» для переходу від однієї зоряної величини до іншої — не 2,5, а приблизно 2,512. Чому таке дивне число? Тому, що тоді різниця в 5 зоряних величин виявляється різницею рівно в 100 разів: 100 ≈ 2,512⁵. Так зручніше вважати, коли різниця в яскравості дуже велика. Але для маленьких «різниць» ви можете використовувати 2,5. І навіть не рахувати точно, а прикидати — оцінювати.

Завдання 4. Зоряна величина повного Місяця дорівнює ‑ 12,7^m, а у Сонця вона дорівнює ― 26,7^m. У скільки разів відрізняються їх яскравості?

Завдання 5. Найслабші об’єкти, які вдається розгледіти в найбільший на Землі телескоп, мають зоряну величину 27^m. А людське око, як ми пам’ятаємо, бачить до 6^m. У скільки разів телескопи поліпшили нашу межу яскравості?

Чому ж око влаштоване так дивно, що вдвічі більш яскраві і вдвічі слабші об’єкти здаються йому «однаково віддаленими» за яскравістю? Адже, наприклад, кожному ясно, що 2 «ближче» до 1, ніж до 4. А з яскравістю не так: на малюнку яскравість зірок різних величин символічно зображена відрізком відповідної довжини. А поруч — відрізки, що відповідають зоряним величинам, тобто тому, як ми сприймаємо ці яскравості (точніше, різницю між ними). Це як якщо б наступним поділом лінійки після 1 см у нас замість 2 см стояв би 1 м, і ми про всі відрізки, що більше 10 см, говорили б: «Це приблизно метр!». А ще наступним поділом — після метра — було б вже 100 м. Дивна якась лінійка…

Яскравості зірок (зліва) і якими вони нам здаються (справа)

Така лінійка, або шкала (не обов’язково відраховувати саме відстані), на якій кожен наступний поділ у визначену кількість разів більший за попередню, називається логарифмічною. А зір наш влаштовано логарифмічно ось навіщо: таке сприйняття дозволяє перекрити величезний діапазон яскравостей. Ми можемо роздивлятися — без ризику для ока — жахливо різняться за яскравістю речі. У скільки там разів повний Місяць яскравіше зірки 6^m? А тепер, якщо мінімальний розмір, який ви можете відміряти руками, це приблизно міліметр — чи зможете ви відміряти руками (або навіть ногами, але не використовуючи ніякі прилади) у стільки разів більшу відстань? І адже повний Місяць — зовсім ще не межа максимальної доступної оку яскравості…

Таке сприйняття трохи схоже на те, як ми дивимося на рейки, що йдуть далеко. На найближчій шпалі ми можемо розгледіти кожну тріщину, кожну зростаючу біля неї травинку. Наступні кілька шпал нам теж добре видно, але вже набагато менш докладно, і розібратися, яка там з них восьма, а яка — дев’ята, вже не так легко. А далеко шпали і зовсім зливаються: не те щоб нам їх не видно, і, скажімо, людину ми розгледимо і з великої відстані, але ось на якій вона шпалі стоїть — на двохсотою або трьохсотою — нам вже незрозуміло, та й неважливо, все одно далеко. Так само влаштована логарифмічна шкала: різниця між 1 м і 1 м 20 см у ній набагато більша, ніж між 100 м і 101 м. Маленьку різницю між слабкими джерелами світла очей помічає краще, ніж навіть у 10 разів більшу різницю між дуже яскравими.

Не тільки зір, але і слух у нас влаштований логарифмічно. Гучність звуку прийнято вимірювати децибелами: 20 дБ — шепіт, 120 дБ — такий гучний звук, що прямо боляче становится². Так от, якщо один звук голосніше іншого на 10 дБ — це означає, що енергія першого звуку рівно в 10 разів більше енергії другого! А сила, з якою цей звук тисне на барабанну перепонку, більше в 3 з невеликим рази. І сприйняття висоти звуку теж логарифмічне: вище на октаву — значить, частота звуку більше в 2 рази.

Завдання 6. На скільки децибел відрізняються гучності звуків, енергії яких відрізняються в тисячу разів? А в мільйон разів?

Завдання 7. Поріг чутності — найтихіший звук, який розрізняє звичайна людина, — це якраз 0 децибел. Вважаючи, що без шкоди для ока можна дивитися на об’єкти в 5 разів яскравіше повного Місяця, порівняйте діапазон яскравостей, що сприймаються людським оком, з діапазоном гучностей, що сприймаються вухом. У скільки разів найяскравіше підходяще нам світло яскравіше від найтьмянішого? А скільки разів відрізняються енергії найгучнішого і найтихішого звуків? Який інструмент універсальніший — око чи вухо?

На завершення зауважимо: яскравіша зірка на нашому небі — не обов’язково більш яскрава «насправді». Може, вона просто ближче. Ось Сонце — взагалі-то дуже пересічна жовта зірочка, зовсім не яскрава, а у скільки разів воно для нас яскравіше за інших! І Сіріус, і Вега — хоч і яскраві насправді, але не так вже виділяються. Найбільш «насправді яскрава» з яскравих зірок нашого неба — Денеб (хвіст) із сузір’я Лебедя. Якби вони всі були на однаковій відстані від нас, Денеб був би в 8300 разів яскравішим за Сіріуса і майже в 200 000 разів яскравішим за Сонце! А найяскравіша з відомих зірок ще в 50 разів яскравіша. Правда, з Землі її без сильного телескопа взагалі не розгледіти — дуже вже далеко. «Справжня яскравість» зірок називається світністю, або — якщо користуватися логарифмічною шкалою — абсолютною зоряною величиною. Абсолютна — це зоряна величина, яка була б у зірки, якби вона була від нас на відстані 10 парсек (приблизно 32,5 світлових роки). Вега, наприклад, до нас трохи ближче цієї відстані (до неї 25 світлових років), тому її абсолютна зоряна величина трошки більше видима. Сонце з відстані в 10 парсек виглядало б всього лише як зірка 5^m. А у багатьох зірок абсолютна зоряна величина менше видимої.

Чи можна, дивлячись на зірку, здогадатися, чи яскрава вона насправді або просто близька? Взагалі-то ні. Але є «підказки». Це — колір зірки: якщо вона біла або блакитна, значить — вже точно досить яскрава, хоча і не визначити на око, просто яскрава або жахливо яскрава. А якщо жовта — значить, насправді не дуже-то яскрава, швидше за все, схожа на наше Сонце. Ось з червоними складніше — вони можуть виявитися і зовсім тьмяними, і жахливо яскравими. Але про це — якось іншим разом. А поки — дві досить складні задачки наостанок.

Завдання 8. У телескоп містера X видно зірки до 10^m. Містер Y зробив телескоп вдвічі більшого діаметра. Якість лінз і дзеркал у нього приблизно така ж. Яку граничну зоряну величину можна сподіватися побачити в його телескоп? Який телескоп потрібно зробити, щоб поліпшити досягнення містера X на 5 зоряних величин, тобто побачити 15^m?

Завдання 9. Зірки А і В однаковій світності, але А в 2 рази далі. У скільки разів вона слабша на небі? На скільки відрізняються їхні зоряні величини? У скільки разів далі повинна бути зірка, щоб здаватися на 10^m слабкіше іншої такої ж зірки?

Художник Олексій Вайнер

Відповіді

1. У 2,5· 2,5 = 6,25 разів; у 2, 5· 2, 5· 2,5 ­ 15,6 разів.

2. 0,5^m − (−1,5^m) = 2^m; різниця знову в 2,5· 2,5 = 6,25 разів.

3. 0,5^m у стільки ж разів яскравіше 1^m, у скільки слабкіше 0^m. Тому вони відрізняються в таке число x разів, що x· x = 2,5; x =(sqrt {text {2,5}}) ^ 1,6 разів.

4. Різниця ‑ 12,⁷m ‑ (‑ 26^,7m) = ¹4m; 14 = 5 + 5+ 5 − 1. Отже, відмінність у 100· 100· 100: 2,5 = 400 000 разів.

5. Різниця 27^m ‑ 6^m = 21^m, 21 = 4· 5 + 1; відмінність у 100· 100· 100· 100· 2,5 = 250 млн разів.

6. 1000 = 10· 10· 10, тому гучність відрізняється на 3· 10 = 30 дБ. Мільйон — це 6 змінних десяток, кожне множення на 10 відповідає зміні гучності на 10 дБ, тому різниця 6· 10 = 60 дБ. Це різниця між тихим шепотом і звуком вантажівки, що проїжджає повз.

7. Світло: 5 m ‑ (‑ 12^,7 m) = 1⁷,7 m від слабкої зірки до Місяця, перепад між найяскравішим і найслабшим 5· 100· 100· 100· 100: (2,5· 2,5) — 100 млн разів. Звук: 120 дБ = 12· 10 дБ, перепад 1012 ⁼ 1 мільйон мільйонів разів. Виходить, у вуха діапазон більше, ніж біля ока. (Ми вважали, що око адаптований до нічного пейзажу.)

8. Площа об’єктива збільшилася в 4 рази. Кількість уловлюваного телескопом світла зросла в 4 рази, 2,5 ·(sqrt {text {2,5}}), тобто на півтори зоряні величини, до 11,5m^. Відмінність на 5m — це в 100 разів. Щоб у 100 разів збільшити площу, потрібно взяти діаметр у 10 разів більше.

9. Енергія, випромінювана зіркою кожну секунду, розподіляється рівномірно у всіх напрямках. Оточимо кожну зірку уявною сферою з радіусом, рівним відстані від неї до нас. Радіус сфери навколо А виявиться в 2 рази більше, ніж навколо В, а площа сфери — в 4 рази більше. Однакова енергія випромінювання «розмазується» на більшу площу, і на кожен шматочок (наприклад, 1 см²) сфери A потрапить в 4 рази менше енергії, ніж на такий же шматочок сфери В. Значить, зірка А для нас світить в 4 рази слабше, ніж В. Це приблизно 1,5^m.

Різниця 10^m — це в 100· 100 = 104 разів. Отже, зірка в(sqrt {10000}) = 100 разів далі.

¹ Підраховувати енергію і кількість фотонів — насправді зовсім не одне й те саме, оскільки фотони «різних кольорів» несуть різну енергію. Але тут ми ці подробиці обговорювати не будемо.

² Про шкалу гучності звуків читайте у статті А. Щетникова «Що таке децибел» у «Квантиці» № 3 за 2016 рік.