Генрі Сегерман і його математичні етюди

Художник, який перетворює абстрактні математичні концепції на реальні фізичні об’єкти, що зачаровують.

За легендою, Піфагор першим виявив, що дві однаково натягнуті струни видають приємний звук, якщо їхні довжини співвідносяться як невеликі цілі числа. Відтоді людей зачаровує таємничий зв’язок краси і математики, цілком матеріальної гармонії форм, коливань, симетрії — і досконалої абстракції чисел і відносин. Цей зв’язок ефемерний, але відчутний, недарма художники вже багато років користуються законами геометрії і надихаються математичними закономірностями. Генрі Сегерману важко було відмовитися від цього джерела ідей: зрештою, він математик і за покликанням, і за професією.

Фрактали

«Я народився в родині вчених, і думаю, що мій інтерес до всього, що вимагає розвиненого просторового мислення, пов’язаний саме з цим», — говорить Генрі.

Сьогодні він — уже випускник магістратури Оксфордського та докторантури Стенфордського університетів, обіймає посаду молодшого професора в Університеті Оклахоми. Але успішна наукова кар’єра — лише одна сторона його багатогранної особистості: ще понад 12 років тому математик почав влаштовувати мистецькі акції… у віртуальному світі Second Life. Цей тривимірний симулятор з елементами соціальної мережі тоді був досить популярний, дозволяючи користувачам не тільки спілкуватися один з одним, а й облаштовувати свої віртуальні «аватарки» і зони для розваг, роботи тощо.

Сегерман прийшов сюди, озброївшись формулами і числами, і облаштував свій віртуальний світ на математичний лад, наповнивши його небаченими фрактальними фігурами, спіралями і навіть тессерактами, чотиримірними гіперкубами. «Вийшла така проекція чотиримірного гіперкуба в тривимірному всесвіті Second Life — яка сама по собі є проекцією тривимірного віртуального світу на четвертий, плоский екран», — зауважує художник.

Тессеракт — чотиримірний куб: подібно тому як квадрат можна отримати зміщенням відрізка перпендикулярно йому на рівну його довжині відстань, куб можна отримати аналогічним копіюванням квадрата в трьох вимірах, а зрушивши куб в четвертому, ми «намалюємо» тессеракт, або гіперкуб. У нього буде 16 вершин і 24 грані, проекції яких на наш тривимірний простір виглядають мало схожими на звичайний тривимірний куб

Однак працювати з матеріальними скульптурами йому сподобалося куди більше. «Навколо нас постійно циркулюють величезні обсяги інформації, — говорить Сегерман. На щастя, реальний світ має дуже велику пропускну здатність, яка в Мережі поки недосяжна. Дайте людині готову річ, цілісну форму — і вона сприйме її відразу у всій її складності, не чекаючи завантаження «. Так що починаючи з 2009 року Сегерман створив трохи більше сотні скульптур, і кожна з них — наочне і, наскільки можливо, точне фізичне втілення абстрактних математичних концепцій і законів.

Пляшка Клейна. «Подумки склеївши краї двох стрічок Мебіуса, — каже Генрі Сегерман, — можна отримати пляшку Клейна, яка також має одну поверхню. Тут ми бачимо пляшку Клейна, отриману зі стрічок Меліуса з круглим краєм. Вірніше, те, як вона може виглядати в тривимірному просторі. Раз вихідні «круглі» стрічки Мебіуса йдуть у нескінченність, то така пляшка Клейна буде продовжуватися в нескінченність двічі і сама себе перетне, що видно на скульптурі «. Збільшена копія цієї скульптури прикрашає факультет математики і статистики Мельбурнського університету

Багатогранники

Еволюція художніх експериментів Сегермана з 3D-друком дивним чином повторює еволюцію математичних ідей. Серед його перших дослідів — класичні платонові тіла, набір з п’яти симетричних фігур, складених правильними трикутниками, п’ятикутниками і квадратами. За ними пішли напівправильні багатогранники — 13 архімедових тіл, межі яких утворені неоднаковими правильними багатокутниками.

Платонові тіла: складені правильними трикутниками тетраедр, октаедр та ікосаедр, а також що складається з квадратів куб і додекаедд на основі п’ятикутників. Сам Платон пов’язував їх з чотирма стихіями: «гладкі» октаедричні частинки, за його уявленнями, складали повітря, «плинні» ікосаедри — воду, «щільні» куби — землю, а гострі і «колючі» тетраедри — вогонь. П’ятий елемент, додекаедр, філософ вважав частинкою світу ідей

Вже ці найпростіші форми, перекочувавши з почесних ілюстрацій та ідеального світу уяви в тривимірну реальність, викликають внутрішнє захоплення їх лаконічною і досконалою красою. «Зв’язок математичної краси з красою візуальних або звукових творів мистецтва мені здається дуже хиткою. Зрештою, багато людей гостро відчувають одну форму цієї краси, абсолютно не розуміючи іншої. Математичні ідеї можна транслювати в зримі або звучать форми, але не всі, і далеко не так легко, як може здатися «, — додає Сегерман.

Стенфордський кролик — створена 1994 року тривимірна модель. Складена з майже 70 000 трикутників, вона служить простим і популярним тестом ефективності програмних алгоритмів. Наприклад, на кролику можна перевірити ефективність стиснення даних або згладжування поверхні для комп’ютерної графіки. Тому для фахівців ця форма — все одно що фраза «З’їш ще цих м’яких французьких булок» для любителя погратися з комп’ютерними шрифтами. Скульптура «Стенфордський кролик» — це та ж модель, поверхня якої «замощена» буквами слова «кролик» (bunny)

Незабаром за класичними фігурами пішли все більш і більш складні форми, аж до таких, про які навряд чи могли помислити Архімед або Піфагор, — правильних багатогранників, які без проміжку заповнюють гіперболічний простір Лобачевського. Такі фігури з неймовірними назвами на кшталт «тетраедральні соти близько 6» або «шестикутні мозаїчні соти» неможливо уявити в уяві, не маючи під рукою наочної картинки. Або — однією зі скульптур Сегермана, які представляють їх у звичному нам тривимірному євклідовому просторі.

Комірки правильних сот {3, 3, 6} (тетраедральні, близько 6) і {6, 3, 3} (шестикутні мозаїчні) здатні без проміжків і пустот заповнити гіперболічний тривимірний простір Лобачевського, але в нашому євклідовому світі виглядають досить неправильно

Робота художника починається з 3D-моделі, яку він вибудовує в професійному пакеті Rhinoceros. За великим рахунком, цим вона і закінчується: саме виробництво скульптур, роздруківку моделі на 3D-принтері, Генрі просто замовляє через Shapeways, велику онлайн-спільноту ентузіастів тривимірного друку, і отримує готовий об’єкт з пластику або металоматричного композиту на основі сталі і бронзи. «Це дуже легко, — каже він. Просто завантажуєш модель на сайт, натискаєш кнопку «Додати в кошик», оформляєш замовлення — і через пару тижнів тобі доставляють його поштою «.

Краса

Зрештою еволюція математичних скульптур Сегермана заводить нас у складну область топології, що зачаровує. Цей розділ математики вивчає властивості та деформації плоских поверхонь і просторів різної розмірності, і для нього важливі їх більш широкі характеристики, ніж для класичної геометрії. Куб тут можна легко, як пластилін, перетворити на кулю, а чашку з ручкою скатати в бублик, не порушивши в них нічого важливого — відомий приклад, який знайшов втілення в витонченому «Топологічному жарті» Сегермана.

Топологічний жарт: з певної точки зору поверхні гуртки і бублика «однакові», точніше кажучи — гомеоморфні, оскільки здатні переходити одна в іншу без розривів і склейок, за рахунок поступової деформації

«У математиці дуже важливо естетичне почуття, математики люблять» красиві «теореми, — міркує художник. — Важко визначити, в чому саме полягає ця краса, як, втім, і в інших випадках. Але я б сказав, що краса теореми — в простоті, яка дозволяє щось зрозуміти, побачити якісь прості зв’язки, що раніше здавалися неймовірно складними. В основі математичної краси може лежати чистий, ефективний мінімалізм — і здивований вигук: «Ага!» «.

Доповнення вісімки. Уявіть, що ви зав’язали вузол всередині твердого тіла, а потім видалили його; повість, що залишилася, називається доповненням вузла. На цій моделі показано доповнення одного з найпростіших вузлів, вісімки

Глибока краса математики може лякати, як крижана вічність палацу Сніжної королеви. Однак вся ця холодна гармонія незмінно відображає внутрішню впорядкованість і закономірність того Всесвіту, в якому ми живемо. Математика — лише мова, яка безпомилково відповідає цьому витонченому і складному світу. Парадоксально, але в ньому знаходяться фізичні відповідності і додатки для майже будь-якого висловлювання мовою математичних формул і відносин. Навіть найбільш абстрактним і «штучним» побудовам рано чи пізно знаходиться додаток в реальному світі.

Крива Гільберта: безперервна лінія заповнює простір куба, жодного разу не перериваючись і не перетинаючись сама з собою. Криві Гільберта — це фрактальні структури, і якщо збільшити масштаб, можна побачити, що частини цієї кривої повторюють форму цілого. «Я тисячі разів бачив їх на ілюстраціях і комп’ютерних моделях, але, коли вперше взяв таку 3D-скульптуру в руки, відразу помітив, що вона ще й пружиніт, — говорить Сегерман. — Фізичні втілення математичних концепцій завжди чимось дивують «

Євклідова геометрія стала відображенням класичного стаціонарного світу, диференційне обчислення стало в нагоді ньютонівській фізиці. Неймовірна риманова метрика, як виявилося, необхідна для опису нестабільного Всесвіту Ейнштейна, а багатовимірні гіперболічні простори знайшли застосування в теорії струн.

У цій дивній відповідності абстрактних викладок і чисел підстав нашої реальності, можливо, і криється секрет тієї краси, яку ми обов’язково відчуваємо за всіма холодними розрахунками математиків.