«Гойдалки, резонанси і космічне хуліганство»

Як розгойдати гойдалки? Якщо ви великий і сильний, а гойдалки маленькі — можна, звичайно, просто сильно відхилити їх від вертикалі і відпустити. А якщо гойдалки дуже високі і на додачу важкі? Тоді потрібно підштовхувати їх з певною частотою, потрапляючи «в такт». Якщо штовхати занадто часто або занадто рідко — нічого не вийде. А от якщо знайти потрібний ритм — навіть маленькими зусиллями можна розгойдати гойдалки дуже сильно!

Що ж це за «відповідний» ритм? Це так звана власна частота системи. Коли гойдалки висять вертикально, вони нерухомі і знаходяться в положенні рівноваги. Якщо трохи відхилити їх від вертикалі і відпустити, вони почнуть навколо цього рівноважного положення коливатися. Частота цих власних, вільних від зовнішньої сили коливань залежить тільки від властивостей гойдалок (в основному від довжини мотузок або жердей, на яких вони підвішені). Ось під неї і потрібно підлаштовуватися.

Отже, якщо сила — навіть маленька — діє на систему (в нашому випадку гойдалки) періодично з частотою, рівною власній частоті системи, то система розгойдується дуже сильно. Ця ситуація називається резонансом.

Резонанс буває не тільки у гойдалок, а у будь-якої системи, яка може коливатися біля положення рівноваги. Інший простий механічний приклад — це грузик, підвішений на пружинці. Якщо залишити його в спокої — він, похитавшись вгору-вниз (з деякою, своєю власною, частотою), зупиниться в положенні рівноваги. Але якщо тепер з тією ж самою частотою підштовхувати його, наприклад, вгору — він розгойдається дуже сильно. (Правда, такі коливання нестійкі — якщо не вжити спеціальних заходів, грузик відхилиться від вертикалі і стане бовтатися в різні боки.)

Якщо вам траплялося проходити досить довгим і не дуже добре закріпленим мостом, ви могли зауважити, що при певному ритмі ваших кроків він починає сильно вібрувати. Це означає, що ви випадково наблизилися до власної — резонансної — частоти. Краще в такому випадку різко змінити темп, щоб вийти з резонансу. З цієї ж причини, коли загін солдатів підходить до мосту, командир віддає наказ йти «не в ногу», тобто вразнобою, щоб випадково не потрапити в резонанс.

Коливання можуть бути і не механічними, а, наприклад, електричними. У будь-якому радіоприймачі є «коливальний контур» — котушка і конденсатор, з’єднані між собою. Якщо в такому контурі створити струм, а потім залишити його в спокої, струм буде коливатися, як гойдалка — буквально теча то в одну сторону, то в іншу, — поки поступово не загасне. А якщо тепер приробити до цього контуру антену, то радіохвилі будуть розгойдувати струм в контурі, як ми розгойдуємо гойдалки. Причому помітний струм буде виходити тільки в тому випадку, якщо частота радіохвиль близька до власної частоти контуру — тоді виникає резонанс і струм виявляється досить великим. Далі цей «розгойдався» струм посилюється і перетворюється на звук (як саме — ми тут обговорювати не будемо). Коли ми крутимо ручку або натискаємо на кнопку радіоприймача — ми змінюємо властивості коливального контуру, наприклад — збільшуємо або зменшуємо «розмір» котушки, при цьому змінюється власна частота. Тепер вже інші хвилі — передані іншою радіостанцією — потраплять у резонанс і створять у ланцюгу прийомника струм: ми почуємо іншу передачу.

Резонанс може виникнути скрізь, де є періодичний рух. Наприклад, у космосі: всі планети рухаються по еліпсах (хто не знає, що це таке, може поки вважати, що по окружностях), і кожна через деякий час, зване по-науковому періодом обігу, повертається в ту ж точку. У Землі, наприклад, період обігу — один рік. Що станеться, якщо якась сила почне діяти на планету з резонансною частотою? Орбіта планети почне «розгойдуватися», змінюватися… добре, що на Землю ніхто так не діє. Але виявляється, в Сонячній системі так пощастило не всім.

У 1857 році, коли вже відкрили пояс астероїдів між Марсом і Юпітером і почали вивчати параметри їх орбіт, американський астроном Кірквуд запідозрив, що на певних орбітах буде менше астероїдів, ніж на інших. Щоб це продемонструвати, він виписав астероїди в порядку зростання періоду їх обігу навколо Сонця. І дійсно, на тих орбітах, період обігу по яких близький половині, третині або двом п’ятим періоду обігу Юпітера, астероїдів виявилося набагато менше, ніж навколо них. Такі «дірки» — прогалини в розподілі періодів — назвали люками, або щілинами, Кірквуда. Щоб їх побачити, будемо відкладати по горизонтальній осі періоди обігу астероїдів. Розіб’ємо горизонтальну вісь на маленькі інтервали і над кожним інтервалом намалюємо прямокутник, висота якого дорівнює кількості влучених в нього астероїдів. Вийде картина як на малюнку 1. (Зараз астероїдів відомо вже дуже багато — близько 300 тисяч, і діаграма виходить досить докладною.) Люки Кірквуда видно дуже добре.

Ріс. 1. Розподіл астероїдів за періодом обігу і люки Кірквуда. По горизонталі — період обігу астероїда в роках. Цифри зверху показують відношення періодів обігу Юпітера і астероїдів з люка Кірквуда

Чому в цих місцях, як і говорив Кірквуд, астероїдам спокійно не живеться? Вся справа в резонансі: ті астероїди, чий період дорівнював, скажімо, половині періоду Юпітера, зближуються з ним на одній і тій же ділянці. Впливу Юпітера при цьому кожен раз потроху змінюють орбіту, причому в одному і тому ж напрямку, на відміну від нерезонансних орбіт, які Юпітер гине то в одну сторону, то в іншу, в середньому особливо не змінюючи. Так резонансні орбіти з кіл витягувалися у все більш вузькі еліпси. Період обігу при цьому не змінювався, і резонансне розкачування тривало доти, доки космічний хуліган Юпітер не викидав астероїд із Сонячної системи. А навколо «головного резонансу» — періоду звернення Юпітера — на гістограмі взагалі майже порожнє: Юпітер розгойдував орбіти таких астероїдів до тих пір, поки вони не починали перетинати його орбіту, а потім просто «з’їдав» їх.

Але і до такого космічного хуліганства можна пристосуватися і навіть отримати з нього вигоду. Ось приклад: виявляється, є дві групи астероїдів — вони називаються греки і троянці, — період яких точно збігається з періодом Юпітера! Більш того, самі їхні орбіти збігаються з орбітою Юпітера, тільки «греки» рухаються по ній, «випереджаючи» Юпітер на ⅙ кола, а «троянці» — на стільки ж «відстають» (рис. 2). Ці астероїди схожі на мишей з мультика, які ходять по п’ятах за котом і так від нього рятуються. І резонанс їм ніяк не заважає і не розгойдує їхні орбіти, а навпаки, робить їх стійкими.

Рис, 2. Взаємне розташування Сонця, Юпітера і астероїдів-троянців. Розміри всіх тіл зображені без дотримання масштабу

Це може здатися нісенітницею, адже «троянців» Юпітер постійно тягне вперед, а «греків» гальмує. Чому «троянці» його не наздоженуть, а Юпітер не наздожене «греків»? Справа в тому, що і астероїд, і сам Юпітер (і навіть саме Сонце) насправді обертаються не навколо Сонця, а навколо деякої нерухомої точки — центру мас системи Сонце — Юпітер. Тобто центр кола, по якому крутиться Юпітер, трохи зрушений від Сонця в бік Юпітера. І саме до цього центру, а не до Сонця, повинні притягуватися астероїди на орбіті Юпітера, щоб не тікати вперед і не відставати. Ось «греки» і влаштувалися там, де гальмуюча сила від Юпітера компенсується розганяє від Сонця (рис. 3).

Рис, 3. Сили, що діють на астероїд в точці Лагранжа. Відстань від Сонця до центру мас і розмір орбіти Сонця перебільшені приблизно в 100 разів відносно розміру орбіти Юпітера

Точка на орбіті Юпітера, що відстає від нього на 60 ° і рухається синхронно з ним, називається лагранжевою. Астероїд, що знаходиться в цій точці, буде залишатися в ній вічно (звичайно, обертаючись при цьому разом з Юпітером). Безумовно, в одній точці кільком «троянцям» не поміститися. Але вони «бовтаються» навколо цієї точки, ніколи сильно від неї не віддаляючись.

До речі, є ще 3 точки Лагранжа, які рухаються синхронно з Юпітером по кругових орбітах: поміщений у них астероїд теж у них би і залишався (правда, тільки теоретично: це рівновага нестійка). Спробуйте вгадати, де розташовані ці точки.

Не тільки Юпітер займається космічним хуліганством. У інших планет, правда, менше можливостей проявити себе таким чином: маси не вистачає або астероїдів поблизу замало. Але ось Нептуну пощастило: відразу за його орбітою починається пояс Койпера — область малих планет, тобто тих же астероїдів, тільки покрупніше. Саме через їх відкриття Плутон перестали вважати планетою: виявилося, що таких, як він, там досить багато. Так от, велика частина відомих малих планет перетинають орбіту Нептуна, і практично всі вони знаходяться з Нептуном в резонансі. Це допомагає їм уникнути зіткнення з ним: схоже, інших Нептун проковтнув!

Художник Артем Костюкевич