Іграшки на ялинку: розгадки

У минулому номері іграшки на новорічній ялинці підказали Квантику кілька цікавих завдань:

• Намалюйте багатокутник, у якого кожна сторона лежить на одній прямій рівно з однією іншою стороною. Чи може кожна сторона лежати на одній прямій рівно з двома іншими сторонами? А рівно з 10 іншими?
• Чи існує багатогранник, у якого кожна межа лежить в одній площині ще рівно з однією іншою межею? Чи буває, що кожна межа лежить в одній площині з двома іншими гранями, або навіть з 10 іншими?

Деякі відповіді і правда можна знайти серед новорічних прикрас. Наприклад, пласка п «ятикутна зірочка на вершині ялинки — це багатокутник, кожна сторона якого містить рівно одну іншу у своєму продовженні (рис. 1).

Ріс. 1 (ліворуч) і 2

Зазвичай цю зірочку роблять об’ємною — якраз у вигляді багатогранника, межі якого розбиваються на пари лежать в одній площині. На малюнку 2 ці пари пофарбовані в один колір (показана тільки «верхня» половина об’ємної зірки, зворотна сторона влаштована так само).

Ріс. 3 (ліворуч) і 4

А що щодо трьох (і більше) сторін на прямій? У зірочок з великою кількістю променів сторони (і грані) знову розбиваються лише на пари (рис. 3 і 4). Зате всередині багатокутника з’явилося багато відрізків, що лежать на тих же прямих, що і сторони. От би частину з них зробити сторонами… Звичайно, виріжемо внутрішню частину, як на наступних двох малюнках. Отримаємо багатокутники, у яких сторони лежать на прямих по три (рис. 5) і по чотири (рис. 6).

Ріс. 5 (ліворуч) і 6

Але це багатокутники з дірками, і неясно, як далі збільшувати число сторін на одній прямій.

Звернемо увагу на симетричний візерунок з безлічі частин, утворений проведеними лініями. Ідея: давайте навпаки, не вирізаючи центральну частину, приберемо якісь інші частини візерунка, щоб від центру до країв йшли відростки, повертаючи то вправо, то вліво. Так, на малюнку 7 сторони розбиваються на п’ятірки лежать на одній прямій.

Рис. 7

Чим більше відростків і чим більше поворотів вони зроблять, тим більше сторін потраплять на одну пряму.

Наведемо ще два хитрі приклади, де нахил ліній візерунка трохи змінено, так що на одну пряму потрапляють тільки сторони з двох сусідніх відростків (у першому випадку) і з трьох сусідніх (у другому). У підсумку в першому прикладі (рис. 8) сторони лежать на одній прямій по три, а в другому (рис. 10) — по чотири.

Ріс. 8

Ідея тут така. Легко намалювати по клітинах періодичну ламану з наскільки завгодно великою кількістю сторін, у якій кожна сторона лежить на одній прямій рівно з n іншими (рис. 9 — приклад для n = 3).

Ріс. 9

Замкнемо довгу смужку з цією ламаною в кільце, розтягуючи в площині так, щоб сторони змінювали свою довжину, але як і раніше лежали на прямих. Загибаючи смужку, кожну чергову пряму (що містить сторони) ми повернемо зовсім небагато, і внутрішність підсумковою ламаною дасть потрібний багатокутник. Так, малюнок 10 отримано зі смужки з малюнка 9.

Ріс. 10

Спробуйте самі побудувати картинки для більшого числа сторін на одній прямій. А можливо, ви придумаєте зовсім інші приклади — скажімо, побудуєте потрібні багатокутники «по клітинках»? Тоді обов’язково надішліть їх нам до редакції!

З вирішення на площині виходить просторове тим же способом, як з плоскої зірочки виходить об’ємна зірка: треба склеїти дві піраміди, загальна підстава яких — наш багатокутник. На жаль, такий багатогранник з вигляду мало відрізняється від зірки, так як все цікаве у нього запрятано глибоко всередині…

Ріс. 11 (ліворуч) і 12

А ось два багатогранники простіші — зірковий октаедр (рис. 11) і зірковий додекаедр (рис. 12). Чітко видно, що біля першого грані розбиваються на трійки лежать в одній площині, а у другого — на п’ятірки.

Художник Анна Горлач