Казино «Вірний виграш»

Ну, як справи в казино на тлі світової кризи? — зі звичною посмішкою запитав Тед свого старого приятеля Білла, засновника і власника нового казино в місті. Але звичного жарту у відповідь так і не почув.

— Та як тобі сказати. Народу як і раніше багато — всі із задоволенням п’ють безкоштовні напої. Але великі гроші тепер рідко побачиш. Народ економить. Та й ви, математики, постаралися — вже всі знають, що в казино ймовірність програти більше, ніж ймовірність виграти. Ось і ставлять тільки маленькі суми. А в результаті одні збитки. За напої та оренду теж треба платити, тільки про це в книжках з теорії ймовірностей чомусь не пишуть.

— Ну, тоді треба зробити все навпаки. Щоб за напої відвідувачі платили, а ймовірність виграти була більшою, ніж ймовірність програти.

— Та вже. Тільки оголоси, що зеро в рулетке¹ на користь відвідувача, так відразу все місто нагряне і буде грати та пити пиво. Я навіть назву казино готовий змінити на «Вірний виграш», чим не реклама? — почуття гумору Білл все-таки зберіг. Але закінчив він свою тираду на мінорній ноті. Якщо відвідувач буде вигравати в 19 випадках з 37, казино очікує крах — це і без теорії ймовірностей зрозуміло.

— А як щодо психології? Адже якщо відвідувач виграє, він із задоволенням заплатить за напої. Кока-кола в барі коштує 15 крон, а ти навряд чи платиш більше двох за баночку. Я вже не кажу про напої міцніше. Тед посміхнувся і несподівано додав. — Але якщо вже математика тобі заважає, нехай вона ж тобі і допоможе. Мені подобається ідея нової назви. Ми зробимо так…

* * *

Прем’єра пройшла чудово. Реклама була що треба: «Вірний виграш! Зеро на користь відвідувача! Тільки у нас! Приходьте і не пошкодуєте! «

Народу набігло — просто не проштовхнутися. Всі хотіли обіграти казино за, здавалося б, невигідними для нього правилами. Багато хто не міг відійти від столу, за яким йшла гра в кістки. Тед посміхнувся, згадавши, як нелегко було переконати Білла ввести нові правила…

-Ти з глузду з’їхав! Отже, тепер можна буде поставити на будь-яку цифру і отримати подвоєну ставку, якщо вона випаде на будь-якій з трьох покинутих кісток? Правильно я тебе зрозумів?

— Угу.

— Але ж цифр всього шість! Що залишиться моєму казино, якщо в половині випадків я втрачаю стільки ж, скільки можу виграти в інших?

-Ти прав. Я забув спеціальні правила на випадок, якщо цифра випаде більше ніж на одній кістці.

— Ну, слава Богу, хоч і мені щось дістанеться. Так що в цьому випадку? Ніхто не виграє? Або заново кістки кидають?

— Навпаки, якщо цифра випала на двох кістках, клієнт отримує потроєну ставку.

— Що?

— Ну, і, скажімо, в п’ять разів більше, якщо випало на всіх трьох.

У той момент у Білла дар мови, схоже, просто зник, оскільки в його лексиконі залишилися одні згодні.

Але зараз все йшло в точності так, як описав в одній зі своїх книг Мартін Гарднер: коли хтось отримував п’ятикратну ставку, переможені ненавиділи щасливчика, а не казино, не замислюючись, що саме тут воно і вигравало.

А в центрі уваги опинилася, звичайно ж, рулетка. Правила були виключно прості. Крім звичайних (на зразок можливості ставити на червоне або чорне з отриманням подвоєної ставки, якщо випав обраний колір), додалися ще чотири:

1. Якщо випадає зеро, гравець теж отримує подвоєну ставку.
2. Кожен гравець робить ставки рівно три рази.
3. Величина ставки не менше третини наявної суми.
4. Максимальна сума, яку відвідувач може забрати, — 100 тисяч крон.

Черга вишикувалася такої довжини, що додаткове оголошення було сприйнято як само собою зрозуміле: «Гравці з початковим капіталом 50 000 і більше проходять без черги». Таких було досить багато, що тільки підігрівало інтерес і азарт. Тед прислухався до розмови неподалік.

— Ах, барон, це чудова гра! У мене було 60 тисяч, я поставив половину на червоне і виграв. Ці 30 тисяч я поставив ще раз, але не вгадав. Тоді знову поставив 40 тисяч на червоне, і випало зеро! У будь-якому іншому казино це було б крахом, а тут я став володарем дозволених 100 тисяч і має намір ґрунтовно витратити їх у місцевому барі — казино це заслужило!

— Згоден, граф. Ви ж знаєте, для мене гроші не такі важливі, мене приваблює сама гра. У мене було 30 тисяч спочатку, і я поставив все. Вже після другої гри мав 120 тисяч! Третій раз поставив мінімум — сорок — не такий я дурень, і програв, але виграш в 50 тисяч у мене в кишені. Так що в бар негайно — нам є на що гуляти!

Звичайно, як і в будь-якому казино, були свої невдахи. Але скаржилися вони не на казино: «Тільки з моїм вічним невезінням можна програти, коли ймовірність виграшу більша, ніж програшу!»

З автоматами теж все було гаразд. Оголошення свідчило: «Ми — не власники автоматів і, на жаль, не можемо змінити ймовірність виграшу. Але ми найняли наших найбільших невдах, щоб вони взяли на себе більшу частину невдач. Дочекайтеся, поки вони програють досить багато разів, і беріть гру на себе! «

Звичайно, це був суто психологічний трюк, але він працював. Всі були в омані, що після п’яти невдач поспіль шанс виграти істотно краще, ніж до цього. Тому попит на помічників казино, готових за мізерну плату цю невдачу створити, був величезний. Цією ідеєю Білл був особливо задоволений.

— Чудово! Замість того щоб вислуховувати скарги від працівників охорони здоров’я, ніби ми руйнуємо сім’ї і створюємо самогубців, ми найняли цих безнадійних гравців, щоб вони могли грати до одуріння з єдиною метою — програти якомога більше разів поспіль, притому не втрачаючи своїх грошей! Вони і дарма б погодилися, але ще й приплачувати їм за це — геніальна задумка!

* * *

На святковому обіді з нагоди вдалої прем’єри Тед був на найпочеснішому місці.

Спасибі тобі величезне за прекрасний задум, — сказав Білл, підливаючи вина в келихи. — Ніколи ще бар не приносив такого прибутку, як вчора. Ми врятовані! Але знаєш, мені пощастило навіть з рулеткою: вона теж принесла вчора прибуток!

— Чому це пощастило? — обурився Тед.

— Ти хочеш сказати, що очікував цього? Я думав, ти тільки на буфет розраховував.

— Гарної ти думки про друзів! Звичайно ж, казино повинно було виграти і без буфету.

— А ось цього я вже рішуче не розумію! Поясни, як можна виграти, якщо ймовірність виграшу менше половини?

— Із задоволенням, але спочатку я закінчу з ласощами. Через деякий час друзі піднялися в кімнату Білла і озброїлися папером і ручками.

— Давай ще раз подивимося на кубики, — запропонував Тед.

— Там ти мені начебто вже все пояснив. Якщо у нас шість відвідувачів ставлять одночасно по одній кроні на різні цифри, то поки всі цифри на трьох покинутих кубиках різні, мені від цього ні холодно, ні спекотно: я отримую їх ставку в шість крон і трьом з них виплачую по дві. Якщо ж одна і та ж цифра випала на двох кубиках, то одному відвідувачу я плачу три крони, дві — іншому, а одна залишається мені. Те ж саме, якщо всі три кубики випали однаково: везунчик отримає п’ять крон, а я забираю шосту. Це я вже оцінив.

-Дякую. А чи можеш ти прикинути, скільки в середньому виграєш?

— Зараз запитаю касира.

— Його послуги не знадобляться — нехай допиває шампанське. Яка ймовірність того, що всі цифри будуть різні?

— Е-е-е. Ну, всього у мене шість в кубі, тобто 216 різних можливостей набрати три цифри. З них треба вибрати такі, де цифри різні. Зараз напишу на папірці.

— І без паперу легко. Першу цифру можна вибрати шістьма способами, для другої залишається п’ять можливостей і чотири для останньої цифри. Разом: 6 на 5 на 4.

— Їж ти! Так і справді простіше вважати. І ймовірність, отже, буде (6· 5· 4 ⁾/63 = 5/9. Значить, свою крону я заробляю з імовірністю 4/9. Краще, ніж я думав.

— Та вже, не скаржся! А тепер ми легко можемо оцінити очікуваний виграш: 0·5/9 + 1·4/9 = 4/9. Це, власне, і є математичне очікування результату однієї гри для казино. Найголовніше, що саме математичне очікування, а не ймовірність, визначає, вигідна гра чи ні.

— Це зрозуміло.

Тед ухмыльнулся. — Тогда, ты, конечно, не будешь сердиться, если узнаешь, что от твоего имени я слегка изменил правила и теперь, если выпадают три одинаковые цифры, угадавший получает 10 крон, а не 5, как раньше? Бачив би ти, скільки народу відразу набігло!

— Скажи, що ти пожартував, — молився Білл. — Адже навіть останній дурень зрозуміє, що тепер казино в програші. Ти мене розігруєш, правда?

— І не думав. Просто перевіряю, чи уважно ти мене слухав. Дурень, значить? І скільки, по-твоєму, такий дурень виграє в твоєму казино? По непроникному лицу Теда трудно было догадаться, какое удовольствие ему доставляла беседа.

— Я ж уже порахував. Якщо цифри різні, то результат нуль, якщо всі однакові — казино програє 4 крони, а якщо рівно дві однакові, то виграє, але тільки 1 крону. Що тут неправильно?

Тільки те, що всі ці цифри досить далекі від того, що ми обчислюємо, — від середнього очікуваного результату. Щоб його порахувати, треба кожен можливий ^{виграш2} помножити на ймовірність його появи і все це скласти. Саме це множення все змінює! Пам’ятаєш, як я тобі пояснював, чому треба вважати математичне очікування, а не ймовірність виграшу?

— Так, пам’ятаю. Приклад був переконливий: якщо я виграю сто крон з ймовірністю 3/4, а в останніх випадках втрачаю тисячу, то грати не варто, хоча ймовірність виграшу більше половини. Але це було зрозуміло. Ми навіть порахували очікуваний результат: 100·3/4 + (–1000)·1/4 = –175.

— Тоді що тобі заважає порахувати математичне очікування тут?

— Ну, тут же три випадки.

-Яка різниця? Просто вважай ймовірність кожного з них, множи на результат і складай. Яка ймовірність, що всі цифри однакові?

— Це якраз зрозуміло: 6/216 = 1/36 — такі випадки нечасто зустрічаються. Але як мені вважати ймовірність того, що випадуть рівно дві однакові цифри?

— А дуже просто. Ми ж уже порахували ймовірність того, що не всі цифри різні.

Так, виходило 4/9, і це було легко.

У ці 4/9 входить ймовірність того, що всі три цифри однакові (вона, як ти пам’ятаєш, дорівнює 1/36). Що залишилося?

-Зрозумів! Залишилася якраз ймовірність того, що однакових цифр рівно дві, і це 4/9 — 1/36, тобто 5/12.

— Теж чимало. І математичне очікування для казино, якщо гравець поставив одну крону, буде, значить,

0·5/9 + 1·5/12 + (–4)·1/36 = 11/36.

-нічого собі! Більше 30 відсотків прибутку!

— Та вже!

— Це я, нарешті, дійсно зрозумів. Але все одно не вірю, що в нашій рулетці математичне очікування на мою користь. Правда, оцінити його я просто не в змозі — занадто вже багато варіантів, все не перебереш.

— Так, це справді викрадіше буде. Давай для початку спростимо гру: приберемо правило з однією третю і залишимо тільки обмеження на максимальний виграш 100 тисяч. Тоді це точно буде на користь відвідувача, раз ймовірність виграшу більше половини. Але як йому вигідніше грати? Покладемо, що у тебе є 40 тисяч і ти граєш рівно три рази. Скільки б ти поставив в першу гру?

Ну-у, спочатку б я вибрав, в яку з ігор грати. Напевно, найпростіше на колір. Раз є 18 чорних і 18 червоних, то я вибрав би якийсь з цих кольорів, скажімо червоний, і поставив на нього. Оскільки є ще й зеро, то ймовірність вгадати p = 19/37 завідомо на мою користь.

— Ти знову відповідаєш не на те питання. Все одно, в яку саме рулеточну гру ти граєш, раз p > 1/2. З таким же успіхом ти міг би ставити на парне або непарне. Мене цікавить, скільки ти поставиш?

Ріс. 1

— По-різному можна. Барон, скажімо, все б поставив — він завжди так робить. А його зять ніколи більше 10 тисяч не ставить, програти боїться.

— А ти сам-то?

— Ну, скажімо, половину, 20 тисяч. Щось підозріле є в твоїй інтонації, а то б теж всі 40 поставив.

— А дерева ти любиш? — приголомшив Тед співрозмовника черговим питанням.

— Ну, не всі, на деякі у мене алергія. А при чому тут дерева?

— Та я зібрався намалювати парочку для тебе. Не турбуйся, це будуть математичні дерева. Вони нам матожидання порахувати допоможуть. Правда, не знаю як у тебе щодо алергії до математики, — посміхнувся Тед. — Давай спочатку вирішимо, хто розумніший: авантюрний барон або його обережний зять. Найпростіше із зятем, який щоразу по 10 тисяч ставить. З імовірністю p у нього стане 50 тисяч, а з імовірністю q = 1 — p буде 30 тисяч. Це ми зобразимо картинкою (рис. 1).

— Цілком наочно, — погодився Білл. — А тепер, що буде далі в кожному з варіантів?

— Ну, точно така ж картинка, тільки цифри інші. Скажімо, якщо було 50 тисяч, то з імовірністю p у нього стане 60 тисяч, а з імовірністю q — 40 тисяч.

Ріс. 2

-Чудово! І якщо ми дамо йому зіграти втретє і зберемо всі разом, то отримаємо таку чудову картинку (рис. 2).

— Я підозрюю, що саме її ти хочеш назвати деревом.

-Звичайно! Але як ти здогадався?

— Тому що це на тебе схоже — намалювати без стовбура вниз головою і думати, що для всіх інших це теж схоже на дерево. А дерева так не ростуть!

— При чому тут ствол? Це чудове дерево! На ньому все видно. Скажімо, 70 тисяч вийде по гілці ppp з імовірністю p³, а 50 тисяч можна отримати в трьох варіантах: ppq, pqp и qpp. Отже, ймовірність 3p²q. Справді, гарно?

Дивні у тебе смаки, але вважати дійсно легко. Я навіть, напевно, здатний тепер написати математичне очікування результату. Це буде 70· ^p3 + 50· ³p2q + 30· ³pq2 + 1⁰· q3 — вірно? Але що мені толку від цих букв?

— Якщо ти так не любиш літери, візьми калькулятор і порахуй! Ти ж знаєш: p = 19/37 і q = 18/37.

— Мені це не дуже подобається, але все ж корисно дізнатися, у що може твоя затія обійтися… Хм. Якщо округлити, то виходить 40 811 крон. Я думав, гірше буде.

— А тепер давай гру барона оцінимо.

— Це я і без потворних дерев можу зробити!

-Я весь увагу.

З імовірністю p у барона стане вдвічі більше, в інших випадках у нього нічого не залишиться, так що після однієї гри математичне очікування його результату буде 2· 40· p = 40· 38/37 тисяч.

— Ти прекрасно міркуєш.

Тоді, — продовжив Білл самовдоволено, — так як за одну гру очікувані грошики множаться на 38/37, після трьох ігор це стане 40· (38/37⁾ 3 або приблизно 43 332 крони. Невже так вигідно бути авантюристом? Ну як, ти задоволений своїм учнем?

Ріс. 3

— Іноді я просто дивуюся, як таким людям довіряють такі гроші.

— А що не так у моїх обчисленнях?!

— І математика, і психологія. Ти правильно вважав, що треба множити на p подвоєний виграш, але ти забув, що максимальна сума — це 100 тисяч. Так що результат буде не 8· 40· p3, а тільки 100^{· p3.}

— Коротше кажучи, 13 541 крона. А, тепер я ще більше оцінив правило про 100 тисяч. Я ж відчував, що авантюра не повинна окупатися!

— А головне, — продовжував Тед незворушно, — ти забув, що барон авантюрист, але не дурень. Якщо у нього залишиться 80 тисяч після першої гри, він не буде ставити більше 20-ти, знаючи, що більше ста він все одно не отримає!

— І як же вважати тоді?

— Як і раніше: дерево малювати. Зауважте, що якщо він виграє, то вже нічого не буде ставити втретє, а якщо програє, то поставить максимум розумного — 40 тисяч (рис. 3).

— Бачу. І свої помилки зрозумів. Але тоді очікуваний виграш буде меншим, ніж я боявся: тільки 100· ^p3 + 2· 100^· p2q + 20^· pq2 = 41629, але все одно краще, ніж у зятя.

Ріс. 4

А що моя половинчаста стратегія дає? Почекай, зараз сам порахую — може, у мене і не буде алергії на твої дерева. Звичайно, маючи 90 тисяч, я вже не буду ставити половину, а тільки 10 тисяч (рис. 4). Всього виходить 100· ^p3 + 80· p2q + 45· ²· p2q + 3· 15pq2 ⁺ 5· q3 = 41 394 крони круглим рахунком. Я ж відчував, що треба 40 тисяч ставити!

— Аж ніяк. Що барон отримав більше, ніж ти, ще не означає, що це найкращий можливий результат. Хочеш дізнатися, як я б став грати?

— Знаєш же, що хочу, говори!

— А ти помітив, що суми чисел в останньому рядку кожного дерева завжди однакові?

— Це тільки ти такі речі помічаєш незрозуміло як! Але так, сума і справді одна і та ж — 320 в кожному з трьох дерев.

— Зметикував, чому?

-Звичайно ні!

— Це просто. Давай ще раз глянемо на маленьке деревце (рис. 5). Якщо у мене 40 крон, і я ставлю x крон, то вийде 40 + x у разі удачі і 40 — x в іншому випадку. Як би я не ставив, сума цих чисел завжди буде 80. Це означає, що в першому рядку мого дерева сума буде 80, тобто рівно вдвічі більше, ніж початкова сума. Бачиш це на всіх деревах?

Ріс. 5

— Так. Тоді я, здається, зрозумів. Таке ж міркування годиться і для інших маленьких дерев. І це означає, що у другому рядку сума буде ще вдвічі більшою, тобто 160. Тепер зрозуміло, чому в останньому рядку завжди буде 320 — це знову вдвічі більше. Дивно, ти навіть з іксами вмієш пояснювати, як з числами!

Ну, а тоді нічого не варто знайти найрозумніший спосіб гри. Достатньо ці 320 тисяч розподілити так, щоб виграш був максимальний. Впораєшся?

— Сподіваюся. Максимум 100 я відразу покладу на найбільшу ймовірність p³. Решту 220 поставлю на наступну, p²q: скажімо, 100 — на гілки ppq і pqp і 20 — на qpp. Всім іншим гілкам дам по нулю. А далі що робити? Адже я так і не знаю, скільки в перший раз ставити, щоб такі цифри отримати. Як назад по дереву йти? Не ікси ж писати.

— Простіше простого! Вважай середнє арифметичне кожної пари чисел і пиши його над ними. Подивися ще раз на маленьке деревце: (40 + x) + (40 — x) )/2 якраз 40 вийде!

— Не віриться, що так просто. І що ж в результаті?

Ріс. 6

Зараз намалюємо (рис. 6).

Виходить, що треба 35 тисяч ставити. Хто б міг подумати! І маточікування теж легко порахувати: 100· ^p3 + 22⁰· p2q, приблизно 41 764 крони вийде. Барон, мабуть, в дурнях залишиться.

— Або власник казино, який допускає такі ігри. Тепер настав час поговорити про правило однієї третини. Я думаю, ти вже здогадався, навіщо воно потрібно.

— Вважаю, для того, щоб не допустити ставок в нуль, якщо 100 тисяч вже є.

-Абсолютно вірно.

Але я все одно не бачу, що я від цього виграю. Може статися, що перед останньою ставкою гравець вже поблизу 100 тисяч, а я — свідомо в програші.

— Але клієнт буде задоволений?

-Ще б!

— Бачиш, як добре, тобі ж потрібні задоволені клієнти? А тепер давай рахувати. Для простоти подальших розрахунків припустимо, що у гравця спочатку було 54 тисячі. Його мінімальна ставка — 18, що дасть у разі успіху 72 тисячі. Повторний успіх призведе його до 96 тисяч.

— Ти мене засмучуєш такими мерзенними припущеннями.

— Навпаки, ти цьому радіти повинен! Особливо якщо він виграє втретє.

— Ти справді вважаєш, що тоді я повинен танцювати від радості?

-Звичайно! Тому що в цьому випадку він поставить не менше 32 і, значить, виграш буде 128 тисяч, але отримає він не все, а тільки 100, а залишок 28 — вже на твою користь!

— Ти мене за божевільного тримаєш! Математика у мене кульгає, але не настільки. Яка мені користь від цього, якщо він прийшов з 54, а пішов з 100 тисячами в кишені?

— Друже, ти весь час забуваєш, що ми з тобою вважаємо математичне очікування. Яким би воно було без правила однієї третини?

— Ну, це ми вже гарненько розібрали. Значить, так: 8· 54 дасть 432, 100 піде на ^p3, 300 — на ^p2q, решта — на p^q2. Разом: 100^p3 + 300· p2q + 32^pq2 = 55 916 крон.

— З них ми 28 тисяч з імовірністю p³ забираємо назад. Скільки залишається?

-не може бути! 52 124.

— Тепер ти задоволений?

-не те слово. Але все ж кілька питань у мене залишилося.

— Давай!

Якщо клієнт має не дуже багато грошей, скажімо тільки 10 тисяч, тоді йому правило однієї третини не заважає і він, отже, може виграти?

-Звичайно! Саме тому ми завели бар і оголосили, що з сумою 50 тисяч проходять без черги. Звичайно, будь-який математик підтвердить, що в твоєму казино і справді можна виграти, якщо правильно грати. Але він не стане занадто поспішати пояснювати всім всю правду. Мені здається, такі люди заслуговують трошки щастя в рулетці — не так вже й багато вони і виграють, порахуй! І бар точно все окупить.

— Гаразд. Але рано чи пізно стане відомо, що казино виграє при великих сумах.

— І ти думаєш, хтось перестане грати? Математики тисячі разів пояснювали, що ймовірність виграти не змінюється, якщо хтось вже п’ять разів поспіль програв. І що? Подивися на тих, хто наймає у нас невдах. Вони вірять у свою удачу, а не в математику. Це вже психологія. А вона точно на нашому боці. Барон ні за що не проміняє твоє казино на звичайне.

— Добре, переконав. Але — останнє питання. Навіщо тобі все це було треба? Як практична людина, я не вірю, що все пояснюється однією дружбою.

Ну, адже ти сам зрозумів, що я можу виграти, якщо буду грати по маленькій.

— І в цьому вся справа? Здається, ти щось недоговорюєш.

Але якщо я скажу, що краса математичного рішення мені набагато привабливішої гри і легких грошей, ти ж все одно не повіриш?

Не знаю, не знаю, — пробурмотів Білл.

А задоволений Тед, попрощавшись, відправився додому, залишивши Білла в глибокій задумливості.

Завдання

Перші чотири завдання — тренування визначень, завдання 5 і 6 відносяться до спрощеної версії гри (без правила однієї третини), що залишилися — до повноцінної гри.

1. У звичайній класичній рулетці можна також ставити на деякі групи з до чисел, де до = 1, 2, 4, 9, 12, 18 (у статті розглянуто тільки випадок до = 18). Якщо випадає зеро (а не одна з 36 цифр), гравець програє. Скільки ставок отримує гравець у разі виграшу (математичне очікування має бути, звичайно, однаковим для всіх до)? Чи зміниться відповідь, якщо, як у статті, зеро дає подвоєну ставку (але немає ніяких інших обмежень)?

2. Який максимальний виграш може дозволити казино гравцеві в кістці в тих випадках, коли на всіх трьох кубиках випала однакова цифра?

3. У новій лотереї випущено 1000 квитків вартістю в 1 крону, є один виграш в 500, два — в 100, п’ять — в 20, двадцять — по п’ять і сорок — по дві крони. Яка ймовірність виграшу? Яке математичне очікування? Чи варто грати?

4. Щоб збільшити ймовірність виграшу в попередній лотереї, організатори надрукували ще 1000 квитків, кожен з яких дає виграш — право безкоштовно отримати новий квиток (якщо квитки скінчилися, повертається 1 крона). Тепер ймовірність виграшу більше половини. Чому вона рівна? Як змінилося математичне очікування? Чи варто тепер грати? А якби кожен новий квиток давав можливість отримати два квитки безкоштовно?

5. Розгляньте приклад зі статті з 40 тисячами і без правила однієї третини. Покажіть, що 35 — це максимум того, що можна ставити в перший раз. А чому дорівнює мінімум?

Ріс. 7

6. Тед намалював для Білла картинку (рис. 7), щоб показати йому можливі перші ставки (в грі без однієї третини). Перевірте на ній своє рішення попереднього завдання. Як він її отримав? Намалюйте подібну картинку для випадку, коли допускається чотири гри.

7. Розгляньте випадок довільного дозволеного числа ігор. Будь ласка, визначте можливий інтервал для першої ставки при початковій сумі x. Намалюйте графік залежності математичного очікування результату від початкової суми.

8. Розгляньте приклад у статті з 54 тисячами і правилом однієї третини. Припустимо, що гравець ставить рівно одну третину, продовжує так робити в разі виграшу і ставить все, якщо програв. Підрахуйте математичне очікування результату і переконайтеся, що воно істотно більше 52 124. Де Тед обманув довірливого друга у своїх міркуваннях? Який найкращий результат можна отримати? Чи вигідно грати відвідувачеві з такою сумою?

9. Починаючи з якої суми грати в казино «Вірний виграш» стає невигідним?

10. Яка початкова сума приносить максимальний очікуваний виграш?

11. Як найкраще грати при заданій сумі і яке математичне очікування результату?

12. Барон має 90 тисяч і буде щасливий, якщо отримає максимальні 100 тисяч, і дуже нещасний — в іншому випадку (навіть якщо виграє). Як йому краще грати? А якщо у нього інша початкова сума? А якщо ігор більше, ніж три?

¹ У колеса для гри в рулетку 37 комірок: 18 червоних, 18 чорних і одна зелена. При грі на колір кожен гравець робить ставку на один з кольорів. Круп’є запускає кульку, яка зупиняється в якійсь комірці. Якщо гравець ставив на червоне або на чорне і вгадав, він отримує подвоєну ставку. Якщо він ставив на зелене поле (зеро) і вгадав, то виграш буде в 36 разів більше поставленої суми. Якщо колір не вгаданий, гравець програє свою ставку.

² Програш — це виграш зі знаком мінус.