Логарифми: приклади та рішення

Як відомо, при перемноженні виразів зі ступенями їх показники завжди складаються (a^b * a^c = a^{b + c}). Цей математичний закон був виведений Архімедом, а пізніше, у VIII столітті, математик Вірасен створив таблицю цілих показників. Саме вони послужили для подальшого відкриття логарифмів. Приклади використання цієї функції можна зустріти практично скрізь, де потрібно спростити громіздке множення на просте додавання. Якщо ви витратите хвилин 10 на прочитання цієї статті, ми вам пояснимо, що таке логарифми і як з ними працювати. Простою і доступною мовою.

Визначення математики

Логарифмом називається вираз такого виду: log_ab = c, тобто логарифмом будь-якого неотрицательного числа (тобто будь-якого позитивного) «» b «» за його основою «» a «» вважається ступінь «» c «», в яку необхідно звести основу «» a «», щоб у підсумку отримати значення «» b «». Розберемо логарифм на прикладах, припустимо, є вираз log₂8. Як знайти відповідь? Дуже просто, потрібно знайти такий ступінь, щоб з 2 в шуканому ступені отримати 8. Виконавши в розумі деякі розрахунки, отримуємо число 3! І вірно, адже 2 у ступені 3 дає у відповіді число 8.

Різновиди логарифмів

Для багатьох учнів і студентів ця тема здається складною і незрозумілою, проте насправді логарифми не такі страшні, головне — зрозуміти загальний їх сенс і запам’ятати їх властивості і деякі правила. Існує три окремих види логарифмічних виразів:

1. Натуральний логарифм ln a, де підставою є число Ейлера (e = 2,7).
2. Десятковий логарифм lg a, де підставою служить число 10.
3. Логарифм кожного числа b з основи a > 1.

Кожен з них вирішується стандартним способом, що включає спрощення, скорочення і подальше приведення до одного логарифма за допомогою логарифмічних теорем. Для отримання правильних значень логарифмів слід запам’ятати їх властивості та черговість дій при їх вирішеннях.

Правила і деякі обмеження

У математиці існує кілька правил-обмежень, які приймаються як аксіома, тобто не підлягають обговоренню і є істиною. Наприклад, не можна числа ділити на нуль, а ще неможливо витягти корінь парного ступеня з негативних чисел. Логарифми також мають свої правила, дотримуючись яких можна з легкістю навчитися працювати навіть з довгими і ємними логарифмічними виразами:

• основа «a» «завжди має бути більше нуля, і при цьому не бути рівним 1, інакше вираз втратить свій сенс, адже» «1» «і» «0» «в будь-якій мірі завжди рівні своїм значенням;
• Якщо і > 0, і a^b > 0, виходить, що і «с» має бути більше нуля.

Як вирішувати логарифми?

Наприклад, дано завдання знайти відповідь рівняння 10^х = 100. Це дуже легко, потрібно підібрати такий ступінь, звівши в який число десять, ми отримаємо 100. Це, звичайно ж, квадратичний ступінь! 10²=100.

А тепер давайте уявимо цей вираз у вигляді логарифмічного. Отримаємо log₁₀100 = 2. При вирішенні логарифмів всі дії практично сходяться до того, щоб знайти ту ступінь, в яку необхідно ввести основу логарифма, щоб отримати задане число.

Для безпомилкового визначення значення невідомого ступеня необхідно навчитися працювати з таблицею ступенів. Виглядає вона наступним чином:

Як бачите, деякі показники ступеня можна вгадати інтуїтивно, якщо є технічний склад розуму і знання таблиці множення. Однак для великих значень потрібна таблиця ступенів. Нею можуть користуватися навіть ті, хто зовсім нічого не сенсить у складних математичних темах. У лівому стовпчику вказані числа (основа a), верхній ряд чисел — це значення ступеня c, в яку зводиться число a. На перетині у комірках визначено значення чисел, що є відповіддю (a^c = b). Візьмемо, наприклад, найпершу комірку з кількістю 10 і зведемо її в квадрат, отримаємо значення 100, яке вказано на перетині двох наших осередків. Все так просто і легко, що зрозуміє навіть справжнісінький гуманітарій!

Рівняння та нерівності

Виходить, що за певних умов показник ступеня — це і є логарифм. Отже, будь-які математичні численні вирази можна записати у вигляді логарифмічної рівності. Наприклад, 3⁴ = 81 можна записати у вигляді логарифма числа 81 з основи 3, що дорівнює чотирьом (log₃81 = 4). Для негативних ступенів правила такі ж: 2^-5 = 1/32 запишемо у вигляді логарифма, отримаємо log₂ (1/32) = -5. Одним з найбільш захоплюючих розділів математики є тема «» логарифми «». Приклади та рішення рівнянь ми розглянемо трохи нижче, відразу ж після вивчення їх властивостей. А зараз давайте розберемо, як виглядають нерівності і як їх відрізнити від рівнянь.

Вираз такого виду: log₂ (x-1) > 3 — воно є логарифмічною нерівністю, оскільки невідоме значення «» х «» знаходиться під знаком логарифма. А також у вираженні порівнюються дві величини: логарифм шуканого числа з основи два більше, ніж число три.

Найголовніша відмінність між логарифмічними рівняннями і нерівностями полягає в тому, що рівняння з логарифмами (приклад — логарифм₂х = ^ 9₎ передбачають у відповіді одне або кілька певних числових значень, тоді як при вирішенні нерівності визначаються як область допустимих значень, так і точки розриву цієї функції. Як наслідок, у відповіді виходить не просте безліч окремих чисел як у відповіді рівняння, а а безперервний ряд або набір чисел.

Основні теореми про логарифми

При вирішенні примітивних завдань щодо знаходження значень логарифма, його властивості можна і не знати. Однак коли мова заходить про логарифмічні рівняння або нерівності, в першу чергу, необхідно чітко розуміти і застосовувати на практиці всі основні властивості логарифмів. З прикладами рівнянь ми познайомимося пізніше, давайте спочатку розберемо кожну властивість більш докладно.

1. Основне тотожність виглядає так: а^logaB=B. Воно застосовується тільки за умови, коли а більше 0, не дорівнює одиниці і B більше нуля.
2. Логарифм твору можна представити в такій формулі: log_d(s₁*s_{2) =} log_ds₁ + log_ds При цьому обов’язковою умовою є: d, s₁ і s₂ > 0; а. 1. Можна навести доказ для цієї формули логарифмів, з прикладами і рішенням. Нехай log_as₁ = f₁ і log_as₂ = f₂, тоді a^f1 = s₁, a^f2 = s_2. Отримуємо, що s₁ * s₂ = a^f1 * a^f2 = a^{f1 + f2} (властивості ступенів), а далі за визначенням: log_a (s₁ * s₂) = f₁ + f₂ = log_as1 + log_as_2, що і потрібно було довести.
3. Логарифм приватного виглядає так: log_a(s_1/s₂) = log_as₁— log_as
4. Теорема у вигляді формули набуває такого вигляду: log_a^q bⁿ = n/q log_a

Ця формула називається «властивістю логарифма». Вона нагадує собою властивості звичайних ступенів, і не дивно, адже вся математика тримається на закономірних постулатах. Давайте подивимося на доказ.

Нехай log_ab = t, виходить a^t = b. Якщо звести обидві частини в ступінь m: a^tn = bⁿ;

але оскільки a^tn = (a^q) ^nt/q = bⁿ, отже log_a^q bⁿ = (n * t )/t, тоді log_a^q bⁿ = n/q log_ab. Теорема доведена.

Приклади завдань і нерівностей

Найпоширеніші типи завдань на тему логарифмів — приклади рівнянь і нерівностей. Вони зустрічаються практично у всіх задачниках, а також входять в обов’язкову частину іспитів з математики. Для вступу до університету або складання вступних випробувань з математики необхідно знати, як правильно вирішувати подібні завдання.

На жаль, єдиного плану або схеми з вирішення та визначення невідомого значення логарифма не існує, проте до кожної математичної нерівності або логарифмічного рівняння можна застосувати певні правила. Перш за все слід зрозуміти, чи можна спростити вираз або привести до загального вигляду. Спрощувати довгі логарифмічні вирази можна, якщо правильно використовувати їх властивості. Давайте швидше з ними познайомимося.

При вирішенні ж логарифмічних рівнянь, слід визначити, який перед нами вид логарифма: приклад виразу може містити натуральний логарифм або ж десятковий.

Ось приклади десяткових логарифмів: ln100, ln1026. Їх рішення зводиться до того, що потрібно визначити ту ступінь, в якій підстава 10 буде дорівнювати 100 і 1026 відповідно. Для вирішення натуральних логарифмів потрібно застосувати логарифмічні тотожності або ж їх властивості. Давайте на прикладах розглянемо вирішення логарифмічних завдань різного типу.

Як використовувати формули логарифмів: з прикладами та рішеннями

Отже, розглянемо приклади використання основних теорем про логарифми.

1. Властивість логарифма твору можна застосовувати в завданнях, де необхідно розкласти велике значення числа b на більш прості сумнівножувачі. Наприклад, log₂4 + log₂128 = log₂ (128) = log₂ Відповідь дорівнює 9.
2. log₄8 = log₂² 2³ = 3/2 log₂2 = 1,5 — як бачите, застосовуючи четверту властивість ступеня логарифма, вдалося вирішити на перший погляд складний і невирішуваний вираз. Необхідно всього лише розкласти основу на множники і потім винести значення ступеня із знака логарифма.

Завдання з ЄДІ

Логарифми часто зустрічаються на вступних іспитах, особливо багато логарифмічних завдань в ЄДІ (державний іспит для всіх випускників шкіл). Зазвичай ці завдання присутні не лише в частині А (найлегша тестова частина іспиту), а й у частині С (найскладніші та найоб «ємніші завдання). Іспит передбачає точне та ідеальне знання теми «» Натуральні логарифми «».

Приклади та рішення завдань взято з офіційних варіантів ЄДІ. Давайте подивимося, як вирішуються такі завдання.

Дано log₂ (2x-1) = 4. Рішення:

перепишемо вираз, трохи його спростивши log₂ (2x-1) = 2², за визначенням логарифма отримаємо, що 2x-1 = 2⁴, отже 2x = 17; x = 8,5.

Нижче надано декілька рекомендацій, дотримуючись яких можна з легкістю вирішувати всі рівняння, що містять вирази, які стоять під знаком логарифма.

• Всі логарифми найкраще призводити до однієї підстави, щоб рішення не було громіздким і заплутаним.
• Всі вирази, що стоять під знаком логарифма, вказуються як позитивні, тому при винесенні множником показника ступеня виразу, який стоїть під знаком логарифма і в якості його основи, що залишається під логарифмом вираз має бути позитивно.