Логіка логіки

Одного разу Вова прочитав статтю про логіку в якомусь журналі і вирішив перевірити на Лізі її дію.

— Лізо, відповіси мені на пару простих питань?

— Ну давай… — відповіла сестричка, починаючи підозрювати якийсь підступ.

— Чи правда, що якщо ти бегемот, то я теж бегемот? — запитав він, посміхаючись.

— Невпевнено відповіла Ліза, трохи подумавши.

— А чи вірно, що якщо у тебе відвалиться хвіст, то замість нього виросте новий? — запитав Вова, посміхаючись ще більше.

— У мене немає ніякого хвоста! — образилася Ліза.

— Тобто ти вважаєш, що це неправда?

— Звичайно, неправда!

— Добре, а якщо…

— Вистачить на сьогодні мені твоїх питань, — заявила Ліза, виходячи з кімнати. Їй було трошки прикро, але ще більше хотілося розібратися, що в її відповідях так веселило брата. Він явно знав щось цікаве, чого не знала вона, і це було керівництвом до дії. Тому вона вирішила звернутися до Квантіка.

***

— Давай почнемо з найпростішого — того, як союзи «і» і «або» об’єднують твердження, — почав Квантік.

— Які такі твердження? — не зрозуміла Ліза.

— Твердження — це деяке висловлювання. Ну, наприклад, «зараз світить сонце», «годинник показує північ», «на вулиці йде дощ»…

— Або, наприклад, що я — бегемот? Це теж твердження? — насупилася Ліза.

— Так, це теж… Розумієш, твердження бувають як правдиві (правдиві), так і помилкові, тобто невірні. Те, що ти бегемот — це хибне твердження.

Лиза успокоилась и приготовилась слушать дальше.

— Як я говорив, твердження можна об’єднувати союзами «і» і «або». Ось візьмемо твердження «зараз світить сонце» і об’єднаємо його з «годинник показує північ» союзом «і»: «Зараз світить сонце і годинник показують північ». Як думаєш, це правильне твердження чи ні? — запитав Квантік.

Ліза подивилася у вікно. Небо було затягнуто хмарами і ось-ось збирався піти дощ. Від цього будинку було ще тепліше і затишніше, ніж зазвичай. Годинник показували без п’яти шість.

-я думаю ні. І взагалі, це твердження не буває вірним, адже вночі сонце не світить.

Квантік на секунду задумався. Він знав, що таке все-таки буває, але вирішив зайвий раз не розуміти.

— Гаразд, зараз воно дійсно невірне. Давай будемо позначати вірні твердження одиничкою, а помилкові — нулем, і складемо логічну таблицю (вона намальована на полях).

Перший рядок, де нулі, означає, що зараз не світить сонце, годинник не показує північ, і тому твердження «зараз світить сонце і годинник показує північ» виходить невірним. Другий рядок означає, що зараз не світить сонце, але годинник показує північ. Однак твердження «зараз світить сонце і годинник показує північ» знову виявляється невірним, оскільки сонце все одно не світить. Що потрібно поставити в останній осередок цієї сходинки?

— Ну, нолік. Адже він позначає невірні твердження, — відповіла Ліза.

Квантик мігнув зеленою лампочкою. Давай їх якось позначимо. Пропоную «Зараз світить сонце» позначити буквою А, «Годинник показує північ» позначити буквою Б, тоді табличка буде виглядати так:

А тепер закінчимо цю табличку. Якщо А — вірне твердження, а Б — брехня, то затвердження «А і Б» буде помилковим (передостанній рядок). І тільки у випадку, якщо А — істина і Б — істина, твердження «А і Б» буде вірним (останній рядок). Значить, табличка повинна виглядати так:

— Зрозуміло, — подумавши, відповіла Ліза, — а що з союзом «або»?

— Спочатку треба намалювати логічну табличку:

Давай тепер у нас твердження А буде «Я люблю вафлі», а Б — «Ти любиш вафлі». Тоді «А або Б» буде звучати як «Я люблю вафлі або ти любиш вафлі». Подивимося на першу сходинку таблички — це випадок, коли ми з тобою насправді не любимо вафлі. Чи вірно буде сказати «я люблю вафлі або ти любиш вафлі»? Ні. А от якщо хоч хтось із нас їх любить, то це буде правда. Виходить ось що:

— Тобто, якщо мама каже, що я або брат повинні сходити в магазин за хлібом, її влаштовує якщо за хлібом піду я або мій брат, або ми разом, але не влаштовує якщо ніхто з нас не піде?

Квантик мігнув зеленою лампочкою.

— Почекай, але якщо мама каже, що купить мені або морозиво, або гарячий шоколад, вона чомусь має на увазі що можна вибрати тільки щось одне. Хоча по табличці видно, що якщо вона купить мені і те й інше, то її слова залишаться правдою!

Квантік задумався. Ліза торжествуюче дивилася на свого друга.

— Знаєш, мені здається, вона має на увазі не просто «або», а так зване «виключне або». Іншими словами, вона хоче сказати «вибирай або морозиво, або гарячий шоколад». Давай, щоб не плутатися, ми з тобою домовимося для виключаючого «або» використовувати слово «або».

Ну тоді для цього «або» потрібно скласти свою логічну табличку! — схоже, Ліза нітрохи не засмутилася. Ось що у них вийшло:

— Так, вона не сильно відрізняється від таблички з «або». Твердження «А або Б» буде правильним, якщо рівно одне з тверджень А або Б правильно. — Ліза була задоволена своїми результатами.

— Знаєш, Лізо, комп’ютери нічого не забувають. А ось тобі, дівчинко, краще б виконати пару вправ, щоб краще все запам’ятати.

На моніторі Квантика з’явилися вправи:

Вправа 1. Вчитель математики Василь Миколайович вийшов з класу на зміну. Повернувшись, він побачив, що вся дошка змальована крейдою. Запитавши у дівчаток, хто це зробив, він отримав такі відповіді:

Маша: Дошку розмалював або Вася, або Коля.

Віка: Дошку розмалював і Вася, і Коля.

Ліза: Вася дошку не розмальовував.

а) Чи всі три відповіді можуть бути правдивими? б) Виявилося, що рівно одна з дівчаток збрехала. Визначте, яка. Хто ж розмалював дошку?

Вправа 2. На наступній зміні Василь Миколайович знову вийшов з класу. Повернувшись, він з подивом виявив, що дошка знову виписана крейдою. Вчитель вирішив відразу запитати Васю і Колю, хто з них це зробив:

Вася: Це ми з Колею розмалювали дошку.

Коля насупився і мовчав. Вчитель знав, що той, хто малював на дошці, буде тільки брехати, а той, хто не малював, буде говорити тільки правду. Хто з хлопчиків малював на дошці?

Вправа 3. Після третьої зміни, заходячи в клас, Василь Миколайович навіть не встиг подивитися на дошку, як його зустріли радісні вигуки дітей:

Вася: Це я малював на дошці, і Коля теж!

Коля: Це я малював на дошці, і Петя теж!

Петя: Дошку розмальовував хтось один.

Пізніше з’ясувалося, що всі три хлопчики збрехали. Чи малював на дошці Коля? Відповіді

Вправа 1. Маша сказала, що рівно один з хлопчиків малював на дошці, а Віка сказала, що обидва. Отже, їхні відповіді не можуть бути правдивими одночасно, і хтось із них збрехав. Тому третя дівчинка, Ліза, точно сказала правду. Значить Вася не малював на дошці, друга дівчинка збрехала, а дошку насправді розмалював Коля.

Вправа 2. Припустимо, що Вася не малював на дошці, значить він повинен говорити правду. Але він сказав, що вони з Колею малювали! Значить, він бреше, і насправді він малював на дошці. А ось Коля цього разу не малював. Напевно, тому він і насупився.

Вправа 3. Петя сказав, що дошку розмалював хтось один. Ми знаємо, що він збрехав. Тому дошку розмалювали троє, двоє або ніхто. Троє розмалювати дошку не могли — адже в цьому випадку Вася і Коля сказали б правду. Якщо дошку розмалювали двоє, то це Вася і Петя, тому що два інших варіанти запропонували Вася і Коля, але вони збрехали. Можливо, взагалі ніхто з цих хлопчиків не малював на дошці. У будь-якому випадку, Коля точно не малював.