Мозаїка Робінсона

Ця стаття з «Квантика» — перероблена версія однойменної картинки дня на «Елементах». Оскільки журнал «Квантік» в першу чергу призначений для школярів, то основні зміни були спрямовані в бік спрощення тексту: більше уваги приділено опису конструкції мозаїки, дещо менше — обговоренню її властивостей і поясненню ідей доказів, при цьому тексти сильно перетинаються. Якщо ви не боїтеся математичних складнощів, то рекомендуємо також прочитати картинку дня «Мозаїка Робінсона».

Нехай є кінцевий набір багатокутників і є можливість виготовити скільки завгодно копій кожного з них. Мета — замостити всю площину, використовуючи лише такі копії (будемо називати їх плитками). Буває, що замощення виходить тільки періодичне. Наприклад, якщо в наборі лише один правильний шестикутник, або ж лише одна фігурка хрест-пентаміно (рис. 1). А іноді можна замостити і періодично, і неперіодично. Скажімо, якщо в наборі тільки квадрат або тільки правильний трикутник (рис. 2).

Ріс. 1

Ріс. 2

До речі, а що таке «періодичне» замощення? Перше, що спадає на думку, — це замощення можна зрушити на якусь відстань в якомусь напрямку, і воно ідеально накладеться саме на себе. Але тоді і праве замощення на малюнку 2 періодичне. Ми ж маємо на увазі картинки, схожі на малюнок 1. Тому правильне визначення таке: замощення періодичне, якщо можна зробити два якихось зрушення в непараллельних напрямках так, що замощення поєднається само з собою.

Найдивніше, що бувають набори фігур, копіями яких можна замостити площину тільки неперіодично. До середини XX століття вважалося, що їх не існує, поки в 1966 році Роберт Бергер не сконструював перший такий набір, що складається аж з 20 426 різних плиток. Трохи пізніше сам же Бергер зменшив число різних багатокутників до 104, а протягом наступного десятиліття зусиллями ряду вчених вдалося знизити його до 2 — шуканий приклад доставляють знамениті мозаїки Пенроуза. Чи існує набір з єдиного багатокутника, копіями якого можна замостити площину лише неперіодично, невідомо досі.

Ми розповімо про такий набір із 6 багатокутників, який запропонував Рафаель Робінсон 1971 року (рис. 3). Виступи і пази на цих плитках організовані так, щоб малюнок на плитках, що прикладаються один до одного, був узгоджений: сині лінії на одній плитці тривають на сусідніх плитках синіми лініями, а червоні з фіолетовим краєм — червоними з фіолетовим краєм (причому фіолетові краї стикуються). Крім того, плитка A відрізняється від інших плиток формою кутів: у неї це квадратні виступи, тоді як кути інших плиток обрізані.

Рис. 3

Ми намітимо доказ, чому такими плитками можна замостити площину, але тільки неперіодично. Часто, щоб переконатися в справедливості чергового твердження, треба буде перебрати кілька варіантів — будьте до цього готові.

Рис. 4

Нехай ми замостили площину, використовуючи лише копії цих 6 плиток (будемо позначати їх відповідними літерами, як на малюнку 3). Хоч одна плитка A обов «язково зустрінеться в замощенні (чому? — зверніть увагу на виступи по кутах); для певності будемо вважати, що червоні виступи цієї плитки A стирчать вправо і вгору. Ясно, що серед її сусідів немає плитки A (рис. 4). Що стоїть на місці знаків запитання? Якщо і там, і там не плитка A, то правий сусід біля верхнього знака питання і верхній сусід у правого знака питання — дві плитки A, і вони перекриваються (переконайтеся в цьому). Значить, один із знаків питання — плитка A.

Будемо вважати, що A — клітина праворуч від вихідної. Тоді клітина між ними — С або Е, а червоні виступи другої клітини A стирчать вліво і вгору (рис. 5). У будь-якому випадку у плитки посередині на верхній стороні є паз.

Ріс. 5 (ліворуч), 6 (у центрі), 7 (праворуч)

Зауважимо, що виступи плиток, що стоять над нашими двома плитками A, не можуть дивитися «один на одного», тобто в бік плитки між ними. Отже, між ними може знаходитися тільки плитка В (рис. 6). Але плитки A і В не можуть стояти поруч. Отже, над плиткою В стоїть не А. У двох ще не заповнених кутах квадрата 3 ст.13 стоять плитки A, тому що до куточка з трьох плиток «не А» повинна примикати плитка A. Неважко зрозуміти, що червоні виступи чотирьох плиток A дивляться один на одного. У нас є можливість вибрати одну з чотирьох орієнтацій плитки В, але як тільки ми її зафіксуємо, решта чотири позиції квадрата 3 ст.13 заповнюються однозначно (рис. 7).

Виявляється, сконструйовані таким чином квадрати 3 ст.13 — так звані макроплитки — поводяться точно так само, як і плитки A. Саме, єдина можливість з’єднати їх між собою — розташувати їх по кутах квадрата 7 ст.17; виходять при цьому з середин сторін макроплиток червоні лінії повинні дивитися один на одного. Знову по центру повинна розташовуватися плитка В, а зафіксувавши одну з чотирьох її орієнтацій, ми однозначно заповнюємо решту проміжків і отримуємо супермакроплитку (рис. 8).

Ріс. 8

Можна довести, що цей процес укрупнення триває і далі. Так виникає ієрархія квадратів розміру 1 ст.11, 3 ст.13, 7 ст.17, 15 ст.115, 31 ст.131,…, (2n ^‑ 1) 1908 (2n ^‑ 1),…, кожен з яких наділений візерунком: якісь дві лінії, що виходять по центру його сторін, — червоні, дві інші — сині. Коли ми об’єднуємо макроплитки в супермакроплитки, червоні лінії зливаються в квадрат, завдяки чому утворюється ієрархія червоних квадратів розміру 2 ст.12, 4 ст.14, 8 − 8, 16 − 16, 32 ст.132,…, 2n ст.12n,... відповідно. Ці червоні квадрати пояснюють дивовижні властивості замощень плитками Робінсона.

Наприклад, будь-яке замощення площини плитками Робінсона — неперіодичне. Інакше можна було б перемістити всі плитки замощення на однакову відстань так, що ми б не побачили різниці. Зокрема, червоні квадрати повинні були б перейти в такі ж червоні квадрати. Але оскільки в будь-якому замощенні плитками Робінсона знайдуться наскільки завгодно великі червоні квадрати, а квадрати одного розміру не перетинаються між собою, це неможливо. Адже на яку б кінцеву відстань ми не зрушили, знайдеться настільки великий квадрат, що за його межі ми не вийдемо. А значить, цей квадрат накладеться сам на себе.

Рис. 9

А як тоді влаштовані замощення плитками Робінсона і чому вони взагалі існують? Щоб зрозуміти це, подивимося більш уважно на процес укрупнення, завдяки якому вдається перейти від окремих плиток до замощення всієї площини в цілому. Розгляньмо якусь плитку A. Вона входить до макроплитку розміру 3 ст.13 в одному з чотирьох положень, які ми позначимо цифрами 1, 2, 3 і 4 (рис. 9). Аналогічно, макроплитка входить в супермакроплитку в одному з чотирьох положень, і т. д. Таким чином, якщо нам дано деяке замощення площини, то кожній плитці ми можемо зіставити нескінченну послідовність з цифр 1, 2, 3 і 4. Наприклад, нехай дано замощення, зображене на малюнку 10, і ми стартуємо з зеленої плитки. Тоді перший елемент послідовності дорівнює 3, оскільки зелена плитка входить в помаранчеву макроплитку в третьому положенні. Потім, другий елемент — 1, так як помаранчева макроплитка входить в бежеву супермакроплитку в першому положенні. Аналогічно, третій елемент — 2, четвертий — 4, тощо. Тобто зеленій плитці зіставляється послідовність 3124…

Рис. 10

Вірно і зворотне, тобто будь-якої послідовності з цифр 1, 2, 3 і 4 ми можемо зіставити деяке замощення. Правда, деяким послідовностям буде відповідати замощення не всієї площини, а тільки її частини. Наприклад, якщо ми візьмемо послідовність 222222…, то отримаємо замощення чверті площини, а якщо 131313… — то напівплоскості. Подібні шматки можна «склеїти» між собою, так що виникне замощення всієї площини з винятковими лініями — прямими або променями (рис. 11).

Ріс. 11

Але замощення, в яких є виняткові смуги, — рідкість, їх частка зникаюче мала. Адже наявність виняткової смуги означає, що в послідовність, відповідну будь-якій плитці такого замощення, з якогось моменту входить не більше двох чисел з чотирьох. Такого майже не буває: це як якби ми підкидали «чесну» монетку, і раптом з якогось моменту завжди стала випадати решка. Тож переважна більшість замощень плитками Робінсона виглядають приблизно як на малюнку 10.

Ще з цікавих властивостей: в замощеннях плитками Робінсона будь-який «типовий» фрагмент зустрічається нескінченно багато разів: щоб переконатися в цьому, достатньо знайти червоний квадрат, що містить цей фрагмент. Раз квадратів одного і того ж розміру нескінченно багато, то і фрагментів заданого виду всередині них — теж.

У замощеннях, як на малюнку 11, є фрагменти (бежеві), що не містяться в жодному з червоних квадратів, — вони примикають до виняткових ліній або перетинають їх. Незважаючи на це, вони все одно зустрічаються в замощенні нескінченно багато разів. Правда, частину з них можна знайти тільки при русі вздовж виняткової смуги.

Художник Олексій Вайнер