Оклейка тетраедра шестикутниками

У цій статті піде мова про конкурсне завдання № 4998 з журналу «Математика в школі»:

Чи можна поверхню правильного тетраедра оклеїти (без перепусток і перекриттів) однаковими правильними шестикутниками?

Скажімо відразу, що відповідь на питання завдання позитивна. На малюнку 1 показано шість рішень завдання з їх нескінченної безлічі.

Ріс. 1

У кожному з рішень основою розгортки тетраедра є паралелограм, що складається з чотирьох правильних трикутників. На цей паралелограм накладено багатокутник, що містить кілька правильних шестикутників. Якщо багатокутник, складений з правильних шестикутників, перегнути по сторонах всіх трикутників, то при складанні тетраедра з трикутної розгортки буде складатися тетраедр з шестикутників, при цьому шестикутники покриють поверхню тетраедра повністю, без пропусків і перекриттів.

Уточнимо, що в першій серії рішень (див. рис. 1; лівий стовпчик) поза паралелограмом знаходиться кілька трапецій, і рівно стільки ж таких трапецій не накрили паралелограм, причому при складанні тетраедра «виступаючі» трапеції якраз займуть місце «відсутніх» трапецій в розгортці.

У другій серії рішень (див. рис. 1; правий стовпчик) ситуація схожа, різниця лише в тому, що тут роль трапецій виконують трикутники.

Можна було б поставити крапку — адже завдання вирішене, наведені конкретні розгортки. Але спробуємо зазирнути трохи далі, наприклад, відповісти на питання: «Як знайти ці рішення?»

Нехай ребро тетраедра дорівнює a, сторона правильного шестикутника дорівнює b, тоді площа поверхні тетраедра дорівнює( a ^ 2sqrt {3}), а площа шестикутника дорівнює(frac {3} {2} b ^ 2sqrt {3}).

Нехай для обклейки знадобиться( n) (( ninmathbb {N})) шестикутників, тоді якщо тетраедр оклеювати шестикутниками без пропусків і перекриттів, то отримаємо рівняння le( n ·frac {3} {b ^ 2sqrt {3} = a ^ 2sqrt {3}}), звідки (\)

Зауважимо, що якщо(frac {a} {b} = 3k) ,( kmathbb {N}), то( n) стане натуральним числом виду( 6k ^ 2). При кожному натуральному значенні( k) отримаємо одне з рішень першої серії. Це означає, що тетраедр можна оклеїти 6, 24, 54, 96,…, 6k² правильними шестикутниками. Таке рішення, що містить шість шестикутників, було першим рішенням обговорюваного завдання.

Наступною знахідкою було рішення, яке виявили О. М. Домашенко з Новошахтинська і К. Д. Ашурбеков з Махачкали. Вони знайшли дивовижне рішення, що містить лише два шестикутники, і помітили, що якщо(frac {a} {b} = ksqrt {3}), то n стане натуральним числом виду 2k2^. Саме до цього випадку відноситься їх рішення при k = 1. Таким чином, була знайдена друга серія рішень завдання. При кожному натуральному значенні k отримаємо одне з рішень цієї серії. Це означає, що тетраедр можна оклеїти також такою кількістю правильних шестикутників: 2, 8, 18, 32, …, 2k2^.

Цікаво відзначити, що в кожній серії рішень довжини сторін шестикутників утворюють гармонійний ряд, тобто якщо в першому рішенні довжину сторони прийняти за одиницю, то послідовність довжин сторін буде такою: ( 1, frac{1}{2}, frac{1}{3}, frac{1}{4}, frac{1}{5}, …, frac{1}{n}, … )

Цілком можливо, що оклеїти тетраедр можна і іншою кількістю правильних шестикутників, тому що існує багато інших значень дробу(frac {a} {b}), коли n буде натуральним числом. Наприклад ,(frac {a} {b} = ksqrt {6}). Але питання тут залишається відкритим.

Незважаючи на це, знахідки тривають. Існує дуже цікава інтерпретація першого рішення обговорюваного завдання. Її можна вважати оригінальною головоломкою-трансформером. Це паперове кільце, що містить шість правильних шестикутників, послідовно з’єднаних один з одним протилежними сторонами довжиною b (рис. 2). Його неважко вирізати і склеїти з паперу, краще — з ватмана.

Ріс. 2 і 3

Виявляється, таке кільце шляхом декількох перегинань можна трансформувати в правильний тетраедр. Важливо при цьому на поверхні кільця правильно визначити відрізки перегинань. Враховуючи, що площа кільця і площа поверхні тетраедра рівні, легко встановити, що ребро тетраедра дорівнює 3b. Тепер на поверхні кільця потрібно відшукати ці відрізки і перегнути по них.

Виконайте це самостійно, запевняю, отримайте при цьому нічим не заміниме задоволення. Якщо ж тетраедр не складеться, то дотримуйтесь інструкції.

На першому кроці зробимо чотири перегини довжиною 1,5b поперек кільця, що ділять його на чотири частини однакової довжини (рис. 3). Кожен перегин проходить через середини сторін шестикутника. Поглянувши після цього на кільце зверху, можна помітити контур квадрата.

Ріс. 4 і 5

Наступним кроком потрібно зробити ще чотири косих перегини довжиною 3b, які разом утворюють замкнуту ламану — просторовий чотирикутник зі стороною 3b (рис. 4).

Якщо тепер взятися пальцями за вершини цього чотирикутника і дві протилежні вершини піднімати вгору, а дві інші опускати вниз, то вся конструкція, як не дивно, перетвориться на паперову модель правильного тетраедра (рис. 5).

Ось такі дива зустрічаються в геометрії.

Можна піти ще далі в цьому напрямку. Виявляється, тетраедр можна скласти також з двох кілець, кожне з яких містить по 12 шестикутників; з трьох кілець по 18 шестикутників. У цьому можна переконатися, напевно, тільки шляхом моделювання. Я це виконав і не пошкодував, тому що з’явилася можливість узагальнення: тетраедр можна скласти з k кілець, кожне з яких містить по 6k шестикутників.

Ріс. 6

На малюнку 6 наведено ілюстрацію цього узагальнення при k = 3. Зліва зображено три паперові кільця, кожне з яких містить 18 шестикутників. Праворуч — модель правильного тетраедра, обернута цими кільцями.

Були спроби об’єднати всі шестикутники в одне кільце і скласти тетраедр з одного довгого кільця, в якому 6k² шестикутників, але вони виявилися безуспішними.

Нову знахідку довелося чекати недовго. О. М. Домашенко зауважив, що «шестилепесткова ромашка», що містить сім рівних правильних шестикутників, рівновелика правильному шестикутнику. Це легко побачити на малюнку 7.

Ріс. 7

Це дозволило йому трансформувати раніше знайдене ним рішення, що містить два шестикутники, замінивши кожен шестикутник «ромашкою» так, що вийшла «розгортка» тетраедра, в якому вже 14 шестикутників. Таку ж заміну можна виконати з кожною «розгорткою» другої серії. Це означає, що знайдена третя серія рішень, і тетраедр можна оклеїти 14, 56, 126, 224,…, 14k2 правильними шестикутниками.

Якщо таку трансформацію виконати з першою «розгорткою» першої серії, то отримаємо рішення завдання, що містить 42 шестикутники, а разом з ним нову, вже четверту, серію рішень, в якій 42, 168, 378, 672,…, 42k2 правильних шестикутника.

Багато властивостей першої і другої серії рішень, описані вище, залишаються вірними і в третій, і в четвертій. Наприклад, у кожній новій серії рішень довжини сторін шестикутників утворюють гармонійний ряд. Перші «розгортки» тетраедрів у кожній серії можна уявити у вигляді одного замкнутого кільця; другі «розгортки» тетраедрів у кожній серії можна уявити у вигляді об’єднання двох замкнутих кілець; треті «розгортки» — це об’єднання трьох замкнутих кілець і так далі.

Ріс. 8

На малюнку 8 показано замкнуте кільце з 14 правильних шестикутників і тетраедр, складений з цього кільця.

На малюнку 9 наведена «розгортка» тетраедра, що містить 56 правильних шестикутників. Тут же показана схема, як цей тетраедр скласти з двох замкнутих кілець — синього і жовтого, в кожному з яких по 28 правильних шестикутників, пронумерованих числами від 1 до 28. Стрілками вказано напрямок переходу від одного шестикутника до сусіднього по кільцю.

Ріс. 9

Але найцікавіше, що відношення сторін(frac {a} {b}) у цих випадках дорівнює( ksqrt {21}) і( 3ksqrt {7}) відповідно. Хто б міг припустити, що ставлення сторін може бути саме таким! Тепер клас чисел, які можуть виступати в якості відношення сторін, значно розширився, а значить, шанс знайти нові серії рішення збільшився.

Знахідку А. М. Домашенка можна розвинути, якщо помітити, що «ромашка», що містить 19 рівних правильних шестикутників, також рівновелика правильному шестикутнику. На малюнку 10 ліворуч це легко побачити, а на малюнку 10 праворуч показано, як з двох таких «ромашок» можна скласти розгортку тетраедра.

Ріс. 10

Якщо продовжити узагальнення в цьому напрямку, то отримаємо нову серію рішень (рис. 11): 2, 14, 38, 74,…, 2 (3k2 ‑ 3k + 1) на основі послідовності чисел 1, 7, 19, 37,…, 3k2 ^‑ 3k + 1 (які Мартін Гарднер називає гексами).

Ріс. 11

Ось поки всі знахідки в околиці цього завдання, які вдалося відшукати на даний момент. Всім, кого зацікавило це завдання, або тим, хто відшукає нову знахідку, пропоную звертатися за адресою Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам необхідно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..