Парадокс Вавілова

Вперше опубліковано в «Кванті» № 2 за 1971 рік.

У геометричній оптиці часто і плідно застосовується поняття про пучку паралельних світлових променів, що має кінцевий поперечний переріз. Більше того, навіть у теорії такого хвильового явища, як інтерференція, у багатьох випадках допустимо використання цього поняття. У багатьох випадках, але далеко не у всіх. У книзі «Мікроструктура світла» відомого радянського фізика С. І. Вавілова розібрано вельми повчальний у цьому сенсі оптичний парадокс.

Нагадаємо коротко, як виглядає енергетика інтерференційної картини. Інтерференція, як ми знаємо, є складення коливань. У нашому випадку в хвилях коливаються значення напруженостей електричного і магнітного полів. Ці напруженості в кожній точці простору в кожен момент часу визначають енергію електромагнітного поля. Електромагнітна хвиля переносить енергію, і можна ввести поняття про щільність потоку енергії. Так ми називаємо величину, рівну енергії поля, що протікає в одиницю часу через одиницю поверхні.

Кожна хвиля характеризується ще й фазою. Якщо при складанні двох світлових пучків різність їх фаз залишається весь час однією і тією ж, ми говоримо, що маємо справу з когерентними пучками.

В інтерференційній картині, що виникає в результаті складання двох когерентних пучків, відбувається просторовий перерозподіл світлової енергії. У світлих смугах енергія більша, ніж сума енергій пучків, що складаються; у темних смугах, навпаки, менше. Надлишок енергії в світлих смугах якраз компенсується недоліком її в темних. Повна енергія, розподілена по всій інтерференційній картині, точно дорівнює сумі енергій двох інтерферуючих пучків.

На малюнку 1 показана залежність щільності потоку енергії в інтерференційній картині від зміщення по екрану, на якому вона спостерігається. Картина отримана при складанні двох когерентних світлових пучків рівної енергії. Горизонтальна пунктирна лінія зображує суму щільностей потоків енергій у складаних пучках. Частини кривої, що йдуть над цією прямою, відповідають світлим інтерференційним смугам, а частини кривої, що лежать під пунктирною прямою, — темним. Сумарна енергія, розподілена в інтерференційній картині, зображується площею під кривою. Ця площа точно дорівнює площі під пунктирною прямою. Вимоги суворого бухгалтера природи — закону збереження енергії — виконуються неухильно.

Ріс. 1

Перейдемо тепер до парадоксу, розказаного С.І. Вавиловим. Уявіть два абсолютно однакових когерентних різко обмежених світлових пучка шириною а кожен, що перетинаються під малим кутом. У області ABCD відбувається інтерференція (рис. 2).

Ріс. 2

Ріс. 3

Для спостереження інтерференційної картини можна встановити екран, перпендикулярний площині креслення і проходить через точки A і C. Інтерференційна картина складатиметься з прямолінійних світлих і темних смуг, що заповнюють екран від точки A до точки C (рис. 3).

Розподіл щільності потоку енергії в інтерференційній картині відповідає графіку на малюнку 1. Якщо в обох пучків однакові початкові фази світлових коливань, то різність фаз світлових хвиль першого і другого пучків у точках, що лежать на прямій BD, дорівнює нулю. Вона відповідає, таким чином, середині центральної світлої смуги. У середині сусідньої, темної смуги різність фаз повинна бути дорівнювати, іншими словами, світлові коливання в обох пучках повинні бути в протифазі. Різниця фаз ^   дорівнює різниці ходу   L обох хвиль до даного місця, поділеної на довжину хвилі і помноженої на 2º:

( Δφ = 2π frac{ΔL}{λ}.tag{1} )

Збільшенню довжини шляху, що проходить хвилею, на ­ відповідає запізнювання фази на 2º. З формули (1) випливає, що в середині найближчої до центру інтерференційної картини темної смуги.

Підрахуємо різність ходу в точці A. Паралельний пучок можна розглядати як потік плоских хвиль, перпендикулярних напрямом світлових променів. Проведемо через точку D (див. рис. 2) одну з хвильових поверхонь (поверхонь рівної фази) першого пучка. На цій хвилевій поверхні лежать точки D і A ­. Шляхи, що проходять обома пучками до точки D, однакові. Для того щоб потрапити в точку A, хвильова поверхня першого пучка, що проходила раніше через точку D, повинна зміститися на відрізок A-A, а хвильова поверхня другого пучка, що проходила раніше також через точку D, повинна зміститися на відрізок DA. В результаті виникає різність ходу

( ΔL = DA — A′A = a( frac{1}{text{sin}:α} — frac{1}{text{tg}:α}) = frac{2atext{sin}^2frac{α}{2}}{text{sin}:α}.tag{2})

Ясно, що така ж різність ходу, але зі зворотним знаком буде в точці C. Почнемо тепер зменшувати кут. Якщо достатньо малого, ви можете скористатися   L рівним(frac} {4}). Тоді вся область AC буде заповнена однією світлою інтерференційною смугою. Отже, всюди енергія буде перевищувати суму енергій двох пучків, що перетинаються. Ніякої компенсації за рахунок утворення темних смуг немає, так як вони взагалі відсутні! Можна отримати і, так би мовити, негативний результат, змусивши перетинатися пучки з початковою різністю фаз, рівною порожнечею. Тоді область AC буде заповнена темною інтерференційною смугою. У першому випадку незрозуміло, звідки береться додаткова енергія, у другому — неясно, куди зникає енергія.

Обидва випадки явно суперечать закону збереження енергії. Очевидно, в наших міркуваннях є якийсь дефект, що призводить до протиріччя з одним з основних законів природи. Щоб зрозуміти, в чому тут справа, запишемо формулу (2) для вказаного випадку, коли( ^ L =frac {^} {4}), і скористаємося при цьому малістю кута ^ (sin  . Ми покажемо нижче, що кут порожній дійсно дуже малий. Тоді отримаємо

( frac{λ}{4} = frac{2a(frac{α}{2})^2}{α} = frac{aα}{2},tag{3})

або

( α = frac{1}{2}frac{λ}{a}.tag{4} )

Візьмемо a = 1 см, ^ = 5· 10 ‑ 5 см, тоді — = 2, 5· 1⁰ ‑ 5 радіана. З (4) ми бачимо, що неприємності із законом збереження енергії виникають при вугіллі між пучками порядку відношення довжини хвилі до величини поперечного перерізу пучка.

Рішення парадоксу полягає в тому, що при таких малих кутах вже не можна користуватися поняттям ідеального паралельного пучка кінцевого перерізу. При будь-якій спробі реалізувати такі пучки ми зазнаємо невдачі. Завдяки явищу дифракції, обмеження розмірів пучка з необхідністю призводить до перетворення його на пучок, що розходиться. Кут розбіжності пучка визначається якраз формулою (4). При цьому, природно, кут, під яким перетинаються пучки, можна визначити лише з точністю до величини порядку кута розбіжності пучків, що перетинаються.

Якби дифракція ще не була відкрита, ми на підставі закону збереження енергії і формули (4) повинні були б не тільки здогадатися про її існування, але і вказати на основну закономірність, що управляє величиною дифракційного кута. Це хороший приклад того, що закон збереження у фізиці завжди може служити надійною дороговказною зіркою.