Парадокс внутрішнього спостерігача

В один, здавалося б, абсолютно звичайний день Маша помітила занадто багато дивацтв. Вранці перед школою вона вирішила поспати на кілька хвилин довше. Маша все розрахувала так, щоб ні в якому разі не запізнитися. Адже вона знала, що середній час очікування автобуса — 5 хвилин. На зупинці вона зустріла свого друга Мішу. Він, звичайно, хороший друг, тільки ось постійно запізнюється.

— Щось ти сьогодні рано з дому вийшов, — помітила Маша.

— Швидше ти пізно. Я завжди виходжу в цей час.

— Але чому ти тоді запізнюєшся на уроки? В їдальню заходиш, чи що?

— Ні, автобуси в такий час ходять рідко. Це на півгодини раніше, в годину пік, вони кожні 2 хвилини приїжджають. Але тоді народу дуже багато. По мені так краще в школу запізнитися, ніж як селіда в бочці їхати.

— Нічого, ми встигнемо. Я дізнавалася, після години пік автобуси в середньому ходять раз на 10 хвилин. Значить, середній час очікування має бути вдвічі меншим: адже, прийшовши на зупинку між двома автобусами, ми з рівною ймовірністю прийдемо ближче до того, хто пішов або ближче до наступного. Так що можна вважати для простоти, що ми приходимо в середину інтервалу очікування і в середньому чекаємо 5 хвилин.

— Я зазвичай чекаю набагато довше.

— Дивно, але все одно нам залишається тільки чекати.

Дійсно, Міша виявився точнішим — автобус підійшов тільки через 9 хвилин.

А ще один незвичайний факт Маша виявила на уроці фізкультури, пробігаючи естафету з декількох кіл навколо школи. У своїй команді вона вибігала третьою. Маша була в хорошій формі і з легкістю обігнала багатьох хлопців. Коли ж вона спробувала наздогнати найшвидших з класу, у неї нічого не вийшло. Але Маша не знала, як пояснити таке дивне явище: їй зустрілося досить багато і повільних, і швидких дітей, а тих, хто біжить приблизно як вона, по пальцях можна було порахувати.

Заключним став випадок після уроків, коли вона підрахувала результати анкетування для свого проекту. Кілька днів тому вона і її подруги Катя і Настя підходили до школярів на зміні і запитували, скільки людей у них в класі. Так Маша хотіла встановити середню кількість учнів у класі по школі. Після уроків Маша вирішила перевірити це число у секретаря школи — адже у неї-то точно є списки всіх класів, і таке число вже напевно підраховано. Статистичну виписку їй дали на папері, складеному вдвічі. Маша спеціально вирішила не дивитися туди завчасно, поки не підрахувала з подругами власний результат. Яке ж було Машине розчарування, коли з’ясувалося, що їх результат більше дійсного. Правдоподібного пояснення подруги так і не придумали.

Після школи у Маші був задумливий настрій. Стільки незрозумілих фактів всього за один день! Єдине, що могло по-справжньому заінтригувати Машу — це загадки, головоломки і фокуси, які вона не могла пояснити. Заходячи додому, Маша випадково зіткнулася зі своїм сусідом професором Іваном Петровичем.

— Привіт, Маша! Як твої справи? Ти виглядаєш трохи засмученою, — зауважив професор.

— Здрастуйте, Іване Петровичу! Тут такі дивацтва зі мною трапилися, жах просто! І жодну з них я не можу пояснити…

— Може, заглянеш до мене на чай? Там все і обговоримо, а то на порозі розмовляти незручно.

— Добре, — погодилася Маша.

Вона розповіла Івану Петровичу про всі свої спостереження, після чого професор уклав:

— У всьому винен парадокс, який я б назвав парадоксом внутрішнього спостерігача.

— Так в чому ж він полягає? — запитала нетерпляча Маша. — Як всі ці ситуації можуть описуватися одним парадоксом? Адже випадки не мають нічого спільного!

Ось дивись, поки ти чекала автобус в минулі дні, напевно помічала, що є проміжки очікування більше, а є менше. З одного боку, потрібно покладатися на очікування середнього проміжку. З іншого боку, якщо є два проміжки очікування між автобусами — скажімо, 15 хвилин і 5 хвилин, — то ймовірність потрапити в більший з них більше просто тому, що 15 хвилин тривають довше, ніж 5. Тому реальний час очікування автобуса часто більший, ніж середній.

З класами працює той же парадокс. Вибираючи випадкових людей для анкетування, ти зустрічаєш людей з різних класів з різною ймовірністю: будь-який великий клас буде «попадатися» частіше будь-якого маленького. Скажімо, якщо в 8 «А» навчається 30 осіб, а в 8 «Б» — 15, то ймовірність зустріти учня з 8 «А» в два рази більше ймовірності зустріти учня з 8 «Б». Тому середнє значення за такою вибіркою зсувається в більшу сторону і виходить вище реального середнього значення.

Ситуація з бігом має те ж коріння. Ти легко обганяєш повільних хлопців, тебе легко обганяють більш швидкі, а тих, хто біжить приблизно з твоєю швидкістю, ти зустрічаєш рідко просто тому, що практично ні ти таку людину не перегониш, ні вона тебе (на це потрібно багато часу). Так спостереження з твоєї позиції обманює тебе.

— Виходить, з цим парадоксом ми стикаємося постійно! Навіть, можна сказати, кожен день, а самі цього не помічаємо!

-Вірно. Ще один цікавий приклад — це парадокс дружби: як правило, у більшості людей друзів менше, ніж в середньому у їхніх друзів. Приглянись уважніше до того, що тебе оточує. Зрозумівши парадокс внутрішнього спостерігача одного разу, ти будеш помічати його часто і в різних ситуаціях. Ось приклад мого знайомого математика: він їде на роботу у випадковий час між 9 і 11 годинами ранку і частіше їде в переповненому автобусі, а не в напівпорожньому. А його друг, який живе на тій же вулиці, в цей же час сидить на балконі і частіше бачить напівпорожні автобуси того ж маршруту, а не переповнені.

А ви, хлопці, зможете ще навести приклади? Напишіть, нам буде дуже цікаво.

Художник Марія Усеїнова