«Паралельники, напівпараллельники і рівні площі»

Ріс. 1

^{Паралельник1} — це багатокутник з такою хитрою властивістю. Будемо рухатися по контуру багатокутника, почавши з будь-якої вершини або сторони, одночасно в двох напрямках: доходимо до двох «наступних» вершин (по годинниковій стрілці і проти) і проводимо з’єднуючий їх відрізок, йдемо до двох наступних вершин — і з’єднуємо, і т. д. (Ми як би «розлиновуємо» багатокутник на «смужки», в основному чотирикутні, тільки на початку і в кінці може бути трикутник, рис. 1.) Так от, якщо, з якої вершини або сторони ні почни, всі проведені відрізки будуть паралельні один одному (і стороні, якщо з неї починали), перед нами — паралельник.

Ріс. 2

Будь-який паралелограм — паралельник. На малюнку 2 ви бачите п’ятикутний паралельник (набори паралельних відрізків пофарбовані одним кольором).

Якщо ви знайомі з правильними багатокутниками (у них рівні всі кути і всі сторони), можна сказати ще й так: в паралельнику паралельні один одному ті ж сторони і діагоналі, як якби він був правильним.

А тепер подивіться на малюнок 3. У центрі — довільний трикутник (зелений). На його сторонах побудували «назовні» білі квадрати. Деякі з їх вершин з’єднали відрізками, на них знову побудували «назовні» білі квадрати тощо. У проміжках між квадратами утворилися трикутники і чотирикутники. Виявляється, площі всіх багатокутників одного і того ж кольору рівні, а всі чотирикутники — трапеції. Цю теорему довели в 2001 році американські математики D. DeTemple і M. Hudelson².

Рис. 3

Вони ж помітили, що трикутник у центрі можна замінити на будь-який паралельник — і теорема буде вірна! На малюнках 4 і 5 — приклади, коли в центрі паралелограм і п’ятикутний паралельник.

Рис. 4 (ліворуч) і 5

Рис. 6

А що, якщо замість паралельника взяти напівпаралельник? Його визначення майже таке ж, тільки тепер ми завжди починаємо обхід багатокутника з пари сусідніх вершин (див. рис. 1, праворуч). Для непарнокутників нічого не зміниться: навіть якщо почнемо з боку, прийдемо до вершини. А для чіткокутників ми викинемо половину умов. На малюнку 6 — приклад шестикутного напівпараллельника. Діагоналі, які відрізають протилежні кути, вже не зобов’язані бути паралельними (таких там три пари).

Виявляється, теорема теж буде вірна «наполовину». Раніше в кожному «круговому» шарі дорівнювали площі всіх багатокутників між білими квадратами, а тепер у чітних шарах (2-му, 4-му, 6-му,…) вони будуть рівні «через один». На малюнках 7 і 8 рівні площі — одного кольору.

Ріс. 7 (ліворуч) і 8

Тепер чотирикутники між білими квадратами будуть трапеціями лише в чітних шарах. Відзначимо також, що діагоналі одноколірних чотирикутників ділять один одного в однакових відносинах. Чотирикутники можуть навіть самопересікатися, і тоді треба розглядати їх орієнтовану площу (але це тема для окремої розмови).

Докази тверджень про напівпараллельників планується надрукувати в одному з найближчих номерів журналу «Квант». Креслення до статті підготовлені в програмі GeoGebra. Поекспериментувати з кресленнями можна за посиланням.

Художник Сергій Чуб

¹ По-науковому — аффінно правильний багатокутник.

² D. DeTemple, M. Hudelson. Square-Banded Polygons and Affine Regularity // The American Mathematical Monthly, vol. 108, no. 2 (feb., 2001), pp. 100–114.