Піфагор на велосипеді

Теорема Піфагора і площа кільця

Напевно ви знаєте кілька доказів теореми Піфагора. Обговоримо ще одне.

Візьмемо прямокутний трикутник і будемо обертати його (в площині трикутника) навколо вершини гострого кута.

Яку площу при цьому «замітає» трикутник? З одного боку, зрозуміло, що це просто площа кола, радіусом якого є гіпотенуза, ^{^ c2}.

З іншого боку, це коло складається з частин, замітаних двома катетами. З однієї з цих частин все зрозуміло: це коло, його площа дорівнює   a2. Залишилося довести, що площа другої частини, кільця, дорівнює ­ ^b2, і теорема Піфагора доведена:

πa² + πb² = πc²

Твердження про площу кільця виглядає досить несподівано: якщо збільшувати катет a (не змінюючи катета b), то, розширюючись, кільце стає все тоншим і тоншим — але його площа не змінюється. Ось одне зі слідств.

Завдання

Персик представляє собою кулю, всередині якої знаходиться кісточка — ще одна куля з тим же центром. Доведіть, що всі перерізи персика, які зачіпають кісточку, мають одну і ту ж площу.

Про чудові слідства цього завдання ми поговоримо в інший раз. А зараз повернемося до твердження про площу кільця.

Велосипедна теорема Мамікона

Уявімо собі, що катет b — це… рама велосипеда. Велосипед їде по колу: його заднє колесо котиться без проскальзування по окружності радіусу a, переднє колесо — по окружності радіусу c.

Виявляється, що потрібне нам твердження про площу кільця — це приватний випадок наступної чудової теореми.

Якщо велосипед¹ з рамою довжини b проїхав так, що сліди і від переднього, і від заднього колеса утворюють замкнуті криві, то укладений між ними ^{майданчик} 2 не залежить від траєкторії велосипеда і дорівнює ^{^ b2}.

Суворий доказ цієї теореми вимагав би використання математичного аналізу. Але щоб зрозуміти, в чому тут справа, розберемося з випадком, коли заднє колесо велосипеда рухається не по довільній кривій, а по замкнутою ламаною.

Поки заднє колесо рухається по одній з ланок, переднє теж рухається по прямій; а коли заднє доїжджає до кінця ланки — вона зупиняється, а переднє колесо повертає по дузі окружності.

Площа, що нас цікавить, — це сума площ секторів. Радіус кожного з них — довжина рами велосипеда. А оскільки напрямок велосипеда робить у підсумку повний оборот, заштриховані сектори складаються в повне коло. Тобто площа, що нас цікавить, дійсно дорівнює ^{^ b2}.

На закінчення цього доказу — питання. У велосипедній теоремі йшлося про рух на площині. А що буде, якщо велосипедист здійснив таку велику подорож, що траєкторію вже не можна вважати плоскою, а тільки намальованою на сфері: чи буде помітна рамою площа, як і раніше, дорівнює площі кола радіусу b? Буде більше? Менше?

Художник Олексій Вайнер

¹ Велосипед повинен бути ідеально-математичним: ми вважаємо, що його товщина нульова, а головне, що він їде без проскальзування. Останнє означає, зокрема, що в кожен момент рама спрямована по дотичній до траєкторії заднього колеса.

² Можна для простоти вважати, що ці криві не мають самопересічень і не перетинаються один з одним.