Пісочна гірка

Проходячи повз дитячий майданчик, Мишка уповільнив крок. Малюки розповзлися по кутах, а в центрі, біля пісочниці, йшло недитяче обговорення. На розі дерев «яної рами серед залишків колишніх пасок лежав розкритий номер» Квантика «*. Міша підійшов ближче і прочитав:

Завдання 1. Якщо акуратно сипати зверху сухий пісок (з однієї точки), виходить рівна конічна гірка. Вимірюйте залежність висоти піщаної гірки від радіусу її основи і намалюйте графік цієї залежності.

-… в’язальною спицею міряти! — говорила Лєра. Протикаємо гірку спицею, потім до лінійки прикладаємо, так можна і діаметр, і висоту…

— Не годиться, це теж руйнуючий вимір, — відкинув ідею Діма.

-Ну і що? Нехай просідає. Ми ж вже виміряємо…

— Так за-ві-сі-мість же треба виміряти! А не тільки для однієї якоїсь гірки. Штук сім хоча б різних радіусів, і для кожного — висоту. Що ж ти, кожен раз нову гірку насипати будеш? Краще так — насиплемо маленьку, виміряємо, підсиплемо ще, знову виміряємо… Тільки акуратно вимірювати треба…

— Я й кажу — штангенціркуль потрібен! — вставила Оля, схоже, вже не вперше.

— І де ти знайдеш цей циркуль? — запитав Діма, який, мабуть, не знав, що це таке.

— Такий великий — ніде, — впевнено і похмуро заявив Костя.

— А може, прямо на лінійку сипати?

— Ні, теж не дуже: раптом у нас гірка перекоситься трохи, і буде не рівно раптом, а ми будемо вимірювати тільки один радіус. Або навіть не зовсім радіус, якщо центр зрушиться. Неточно вийде.

— А може, міліметрівку вниз постелити?

— Або папір, великий лист, і кожен раз обводити олівцем край гірки, а потім вже радіуси вимірюємо. Або навпаки, заздалегідь кола намалювати і сипати пісок, поки вони не заповняться.

— А висоту як вимірювати? Поставити заздалегідь лінійку вертикально? Але як закріпити?

— І це теж буде руйнуюче… Лінійка симетрію порушить. Може, все-таки спицею?

Тут Мишка втрутився в розмову.

— Гей ви, експериментатори! Кидайте своє марне заняття! Я і так знаю, яка відповідь має вийти.

Експериментатори образилися, але рішення вислухали.

— Дійсно, дуже просто, — сказала Лера.

А ви відразу почали думати, як виміряти, а що саме збираєтеся вимірювати — подумати забули!

— Сказав Діма. — А експеримент все одно потрібен. Ми їм твою теорію перевіримо. Раптом все не так насправді? І взагалі, як ти без вимірювань коефіцієнт тертя дізнаєшся?

— Який коефіцієнт тертя?

— А ти читай уважно, тут ще завдання є:

Завдання 2. А як залежить від радіусу основи гірки вага насипаного піску?

Завдання 3. Для старших — тих, хто вже почав вивчати фізику: як з цих вимірювань знайти коефіцієнт тертя піску про пісок?

Тут ми залишимо цю компанію. Пропонуємо вам повторити їхні подвиги: вирішити завдання теоретично, як Ведмедик, і зрозуміти, як повинні виглядати відповідні графіки, а потім перевірити ці результати експериментально — або навпаки, спершу виміряти і побудувати графік, а потім вже розібратися, чому так. Малювати графік краще на міліметрівці — буде набагато точніше! До речі, у хлопців залежність висоти гірки від діаметра вийшла не в точності така, як передбачив Мішка, — ніякий експеримент не може бути абсолютно точним. Як ви думаєте, для яких гірок — великих або маленьких — точність їх вимірювань була нижчою?

Художник Марія Усеїнова

Відповіді

Ріс. 1

1. Ведмедик використовував ідею подоби. Фізичні причини, що визначають форму гірки, не залежать від її розміру — принаймні, для не дуже великих гірок, які можна зробити в пісочниці. Тому всі гірки подібні один одному — у всіх «крутизна схилу» приблизно одна і та ж сама, всі розміри відрізняються в одне і те ж число разів. Значить, висота прямо пропорційна радіусу: на графіку експериментальні точки розташуються вздовж прямої лінії, приблизно як на малюнку 1.

Ріс. 2

2. Щоб теоретично визначити залежність ваги піску від радіусу гірки, знову потрібна ідея подоби. Якщо одна гірка по всіх вимірюваннях більше іншої в 2 рази, то можна розділити їх обидві на уявні маленькі кубики (а по краєшках — інші шматочки, наприклад половинки кубиків), і сторона кожного кубика першої гірки буде більше сторони відповідного кубику другої в 2 рази. А об’єм — у 2³ = 8 разів. Можна замінити у цьому міркуванні 2 на R: об’єм будь-якої гірки прямо пропорційний кубу її радіусу (або висоти), V = c· R3^. Щоб знайти масу, помножимо об’єм на щільність піску, отримаємо M = m· R3. Тут m і c — деякі числа. Якщо у вас є ваги, можна це теж перевірити експериментально і, побудувавши графік, порівняти його з теоретичним передбаченням: коефіцієнт m можна визначити за однією з точок.

3. Відповідь: від 0,7 до 0,9, залежно від ступеня сухості і сорту піску.

На піщинку, що лежить на схилі, діють три сили: сила тяжіння Землі (mg), спрямована вниз, сила реакції опори (N), спрямована перпендикулярно поверхні, і сила тертя (F_тр) — уздовж поверхні. (Насправді сума двох останніх — це одна сила, що діє на піщинку з боку решти піску.) Коефіцієнт тертя — це відношення   = F_тр/N. Щоб піщинка не рухалася, сума всіх сил повинна бути дорівнювати нулю, а значить, сума векторів N і F_тр повинна бути спрямована вертикально вгору.

Рис. 3

Кут між N і вертикаллю — такий самий, як кут нахилу гірки (вони виходять один з одного поворотом картинки на 90 °). З подібності блакитного і жовтого трикутників отримуємо   = _Fтр/N = h/R — коефіцієнт тертя дорівнює відношенню висоти гірки до радіусу її основи. Його можна підрахувати для якоїсь однієї з точок графіка (однієї гірки) — але точніше взяти середнє по всіх вимірених гірках.

Між іншим, проведена «посередині між точками» пряма лінія на малюнку 1 має приблизно той же кут нахилу, що і — в середньому — схили пісочних гірок. Тому бежевий трикутник на малюнку 3 теж подібний блакитному і жовтому на малюнку 2, а значить, можна виміряти коефіцієнт тертя і по ньому; вийде точніше, ніж по одній якійсь точці.

^* Читачі «Квантика», вгадайте — який це був номер?