Площі багатокутників і лід

Формула Піка

Як знайти площу багатокутника на картатому папері? Можна підрахувати кількість клітин, які повністю накриті фігурою, і ще якось врахувати клітини, накриті фігурою частково, — скажімо, додати половину від числа цих клітин. І сказати, що площа фігури (в клітинках) приблизно дорівнює отриманій сумі.

А можна замість клітин, повністю або частково накритих багатокутником, вважати вузли сітки (вершини клітин) строго всередині багатокутника або на його кордоні.

Дійсно, навколо кожного вузла сітки можна намалювати за одиничним квадратиком. І якщо вузол лежить на межі багатокутника, то цей квадратик накритий багатокутником тільки частково. А якщо вузол лежить всередині, то зазвичай і квадратик накритий багатокутником повністю… втім, іноді все ж не повністю — але ми і вважаємо площу тільки наближено.

Але чудесним чином останній рецепт завжди дає майже правильну відповідь! А саме, вірна Формула Піка. Площу S багатокутника з вершинами у вузлах сітки можна знайти за формулою

S = i + b 2 − 1 ,

де i — число вузлів сітки строго всередині багатокутника, b — число вузлів сітки на його кордоні.

Підкреслимо, що це вже не наближена, а точна формула!

Цікаво, що хоча довжини сторін у багатокутників зазвичай абсолютно не цілі, формула Піка гарантує, що площа завжди вийде цілою або напівцілою.

Лід, що тане

Формула Піка відома з XIX століття, і з тих пір у неї з’явилося багато доказів, але більшість з них не такі вже й прості. Ми обговоримо запропонований 1997 року швейцарським математиком Крістіаном Блаттером мислений експеримент з кригою, яка відразу пояснює формулу Піка.

Поставимо на кожен вузол сітки по однаковому циліндричному стовпчику з льоду. Кожен стовпчик дуже тонкий (перетинається тільки з тими сторонами багатокутника, які проходять через центр стовпчика) і важить 1 грам.

Побудуємо навколо кожного стовпчика паркан у вигляді одиничного квадратика, після чого розтопимо весь лід (у всіх квадратиках вода розтікається однаково і симетрично відносно центру свого квадратика). Вся картата площина буде рівномірно залита водою, і в кожній комірці площі 1 буде по 1 граму води. Тобто кількість води в нашому багатокутнику (в грамах) буде дорівнювати його площі (в клітинах).

З іншого боку, задумаємося, звідки ця вода потрапила в наш багатокутник. Подивимося на якусь конкретну сторону багатокутника. Якщо через неї всередину багатокутника втекла вода з якогось стовпчика, то точно стільки ж води з симетричного стовпчика (симетричного відносно середини цього боку) через неї з багатокутника витекло.

Тобто всередині багатокутника рівно стільки води, скільки в ньому було льоду! А скільки в ньому було льоду? Кожен з вузлів сітки всередині багатокутника дає внесок 1 грам, загальна вага виходить i грамів. Вузли на сторонах зазвичай дають по 1 2 грами, але тільки якщо це не вершина, для вершини ця вага менше — так що і загальна вага вузлів на кордоні виходить не b 2 грамів, а менше.

Наскільки менше? Продовжимо трохи кожну сторону, обходячи багатокутник уздовж сторін по годинниковій стрілці. На малюнку нижче червона частина доповнює кожну з синіх частин до половини кола. Але червоні частини в сумі дають рівно одне коло! Адже, обходячи багатокутник по контуру, ми в кожній вершині повертаємося на кут, відповідний червоної частини, поки не повернемося в вихідну точку, зробивши якраз повний оборот.

Тобто сумарна вага льоду всередині багатокутника дорівнює i + b 2 _ 1, і ми отримали формулу Піка!

Вправа

У міркуванні вище ми малювали випуклий багатокутник. А чи зміниться щось, якщо багатокутник стане невипуклим? А якщо розглядати «багатокутники з дірками»?

Художник Марія Усеїнова