Поштове заняття

— Сьогоднішнє заняття математичного гуртка назвемо поштовим. Звичайно, можна було б придумати що-небудь більш урочисте, наприклад «Ейлерово» або «Керроллово», але справа не в назві. Для початку подивіться на ці дві картинки (рис. 1).

Ріс. 1

Вони мають цілком поштові імена — «закритий конверт» (ліворуч) і «відкритий конверт» (праворуч). Чи зумієте ви намалювати кожну з цих фігур, не відриваючи олівця від паперу і не проводячи двічі одну і ту ж лінію? Завдання дуже відоме…

— Так, нам її задавали! Закритий конверт зобразити не можна, а відкритий — можна.

-Правильно. Причому при малюванні відкритого конверта починати треба неодмінно від одного з нижніх кутів, а закінчувати — в іншому нижньому куті, інакше ви приречені на невдачу. А закритий конверт звідки не починай малювати — нічого не вийде.

— А чому?

— Зараз поговоримо про це. Почалося все з легендарної історії, яку можна прочитати мало не в кожній книзі з історії математики. Йшов XVIII століття. Великий вчений Леонард Ейлер, який проживав тоді в Кенігсберзі, задався питанням: чи можна обійти всі сім наявних в ньому мостів (що з’єднували острови в дельті річки), пройшовши по кожному тільки один раз? Ейлер вчинив дуже дотепно: «стягнув» острови, що з’єднували мости, в точки, а самі мости «розтягнув» в лінії (які, до речі, не зобов’язані бути прямолінійними!). І вийшла ось така фігура (рис. 2), завдання ж звелося до того, щоб з’ясувати, чи можна її намалювати, дотримуючись тих же вимог (будемо називати їх «ейлеровими»), що і для наших конвертів.

Ріс. 2

Ейлер довів, що не можна, але найголовніше — розробив прості правила, що дозволяють за зовнішнім виглядом будь-якої подібної фігури визначити, можна її намалювати чи ні. По-перше, фігура, яку можна зобразити, повинна бути зв’язковою, тобто не складається з окремих шматків (це очевидно). Далі необхідно розглянути так звані вузли — точки, в яких сходяться кілька ліній або ж від яких відходить рівно одна лінія («вільний кінець»). Наприклад, у закритого конверта п’ять вузлів — чотири кути і центр, а у відкритого… взагалі-то теж п’ять.

— Як це п’ять? А верхній кут?

— Ну, формально можна вважати його вузлом, в якому сходяться дві лінії. Але тоді з тим же успіхом можна вважати вузлом і взагалі будь-яку точку на будь-якій лінії. Тому прийнято точки на лініях вузлами не вважати, тобто не розглядати вузли, до яких підходять дві лінії. Втім, це не має значення, оскільки підсумкова відповідь від наявності таких вузлів не залежить.

— А від чого він залежить?

— Зараз скажу. Розділимо вузли на два типи: чіткі і непарні — залежно від того, скільки ліній сходиться у вузлі. Якщо одна, три, п’ять і т. д. — вузол непарний, а якщо чотири, шість, вісім… — то чіткий.

Нехай ми намалювали будь-яку фігуру за вказаними правилами. Розгляньмо будь-який проміжний вузол, тобто вузол, де маршрут не починається і не закінчується. При малюванні олівець скільки разів «входить» в цей вузол і стільки ж разів «виходить» з нього. Отже, проміжний вузол — неодмінно чіткий! Тому якщо у фігури більше двох непарних вузлів, її зобразити не можна — адже не більше двох з них можуть бути крайніми, і обов’язково знайдеться проміжний непарний вузол, що неприпустимо.

Дещо складніше довести, що якщо у зв’язкової фігури непарних вузлів рівно два або зовсім немає, то фігуру намалювати можна (спробуйте це зробити!). При цьому якщо немає непарних вузлів, ви можете починати малювати з будь-якої точки, і закінчиться процес в тій же самій точці, а якщо непарних вузлів два, то починати потрібно неодмінно з одного з них (а закінчиться шлях в іншому).

— А якщо непарний вузол один?

— Я чекав цього питання. Хто скаже, яка доля фігури, що містить рівно один непарний вузол?

— Нехай він спочатку покаже таку фігуру!

— Дуже точне зауваження. Тому що таких фігур не буває. Хто може довести?

— Я! Припустимо, що фігура з одним непарним вузлом все-таки існує. Підрахуємо для кожного вузла кількість ліній, що відходять від нього, і складемо всі ці числа. Вийде сума одного непарного числа і декількох парних. Ясно, що ця сума буде непарною. Але оскільки кожна лінія з’єднує два вузли, ця ж сума дорівнює подвоєній кількості ліній і зобов’язана бути чіткою. Протиріччя!

-Вірно. Отже, фігур з єдиним непарним вузлом бути не може, як, втім, і фігур з будь-якою непарною кількістю непарних вузлів.

Ґрунтуючись на результатах Ейлера, ми бачимо, що закритий конверт має чотири непарні вузли (в кутах), внаслідок чого його зобразити неможливо, а відкритий — тільки два, так що його намалювати вдасться, проте почати доведеться з одного з цих вузлів. У «мостовій» же схемі Кьонігсберга всі 4 вузли — непарні, тобто відповідь для неї негативна.

Ріс. 3

А тепер перенесемося в XIX століття — наступний після Ейлера — коли кращий математик серед письменників і кращий письменник серед математиків, незрівнянний і загадковий Льюїс Керролл запропонував завдання: намалювати за правилами Ейлера фігуру на малюнку 3.

Озброєні нашими знаннями, ми без зусиль визначимо, що намалювати таку фігуру можна, але Керролл дещо ускладнив — додатково зажадав, щоб у процесі малювання ніякі лінії не перетиналися (до речі, це завдання зустрічалося і в «Квантиці»). Його власне рішення вельми дотепне: він зафарбував деякі частини, на які ділять площину проведені лінії, після чого трохи «зрізав кути» (рис. 4). Залишилося просто обвести контур зафарбованої фігури — і готово!

Ріс. 4

І виникає природне питання: яким умовам повинна задовольняти фігура, щоб її можна було намалювати «за правилами Керролла» — тобто без перетину ліній? Зрозуміло, що вимоги Ейлера повинні бути дотримані. Але, можливо, цього мало і є ще обмеження? Подумайте.

… Пауза…

— Схоже, нічого в голову не приходить. Тоді візьміть «з голови» кілька фігур, які можна намалювати «по Ейлеру», і спробуйте зробити для них те ж «по Керролу». Вийде чи ні? Почніть хоча б… з відкритого конверта! Ну як?

— Так! Утворитися!

— І не дивно. Виявляється, справедлива наступна теорема (до речі, зовсім не очевидна): якщо фігуру можна намалювати за правилами Ейлера, то її ж завжди можна намалювати і за правилами Керролла. Які будуть думки щодо доказів?

— А якщо використовувати розмальовку, як Керролл?

— Ідея, звичайно, приваблива. Але ми спробуємо міркувати по-іншому. Отже, нехай у нас є фігура з ліній і вузлів, яку можна намалювати «за Ейлером». Зрозуміло, що при її малюванні можливі перетини ліній можуть бути тільки у вузлах — і не просто у вузлах, а тільки якщо сходяться ліній у вузлі не менше чотирьох. Візьмемо будь-який такий перетин. Пронумеруємо лінії, що утворюють перетин, в тому порядку, в якому ми їх проходимо при малюванні (рис. 5, а). Будемо малювати по-іншому: з першої лінії підемо на третю, потім обходимо ділянку старого маршруту олівця в зворотному напрямку, приходимо в другу лінію і згортаємо на четверту, далі як раніше (рис. 5, б). Як змінилася кількість перетинів?

Ріс. 5

— Зменшилося на один!

-не поспішайте. Так, один перетин ми усунули. Але у вузлі може сходитися більше чотирьох ліній, і тоді олівець ще скільки-то разів проходить через вузол. Якщо, наприклад, він підійшов до вузла з кута між лініями 1 і 4 і вийшов в кут між лініями 2 і 3, як на малюнку 6 позначено червоним, то число перетинів зменшиться ще на два.

Ріс. 6

— А якщо олівець по-іншому пройшов через вузол?

В інших випадках всі перетини збережуться, а нових не додасться. Випадків мало, на малюнку 6 вказані всі, не рахуючи аналогічних. У результаті кількість перетинів зменшилася на 1 і ще на 2 для кожного червоного проходу олівця, тому, продовживши змінювати маршрут, ми усунемо всі перетини.

Отже, якщо фігуру можна намалювати «по Ейлеру», то і по «Керролу» теж можна! Бачу, всіх радує це відкриття, крім… он того молодого чоловіка з сумним виглядом. У чому ваше горе?

— Я знайшов фігуру рівно з одним непарним вузлом!

— Дуже цікаво. Покажіть.

— Показати можу тільки шматочок, і можу ще дати загальний опис. Ось подивіться.

-Що це таке… О! Зрозуміло! Можете заспокоїтися, протиріччя немає: тут закони чіткості є непримінними. Так що всього хорошого, заняття закінчено.

Питання до читачів. Яку (хоч приблизно) фігуру міг знайти «норовливий» гуртківець?

Відповідь

Чому учень не зміг намалювати всю схему цілком? А що як вона… нескінченна! Ось приклад. Візьмемо лінії, що ділять нескінченну площину на клітини. Всі вузли (вершини клітин) будуть чіткими, оскільки в кожному сходяться 4 лінії. А тепер видалимо один з променів, що йде вгору з якогось вузла. Фрагмент отриманої фігури показано на малюнку. У неї рівно один вузол непарний (у ньому сходяться три лінії), а решта — чіткі.

Ніякого протиріччя немає — в доказі ми підраховували, скільки ліній сумарно виходить з усіх вузлів, але якщо сума нескінченна, то говорити про її чітність не має сенсу.

Художник Олексій Вайнер