Практичне використання та знаходження зворотної матриці

Матриця — це таблиця, яка заповнена певним набором чисел у визначеному порядку. Даний термін був введений в обіг видатним англійським вченим-теоретиком Джеймсом Сільвестром. Він є одним з основоположників теорії застосування даних математичних елементів.

На сьогоднішній день вони знайшли широке застосування при проведенні різних розрахунків, які побудовані на основі такого способу, як, наприклад, знаходження зворотної матриці в різних галузях людської діяльності. Цей спосіб базується на визначенні невідомих параметрів системи різних рівнянь і часто використовується при проведенні економічних розрахунків.

Бувають такі приватні випадки даних математичних компонентів: рядковий, стовповий, нульовий, квадратний, діагональний, одиничний. Рядок складається лише з одного рядка елементів, а стовпчик — з одного стовпчика чисел. Нульова — всі її елементи дорівнюють 0. У квадратного такого математичного елемента кількість стовпчиків дорівнює кількості рядків. У свою чергу, в діагональній, розташовані на головній діагоналі елементи, відмінні від «0», а інші в ній повинні бути рівні «0». Одинична — це один з підвидів діагональної матриці. У неї на головній діагоналі розташовані тільки «1».

Приклади матриць:

де: A_k — це загальне позначення, a_ij — елементи,

(а) -2-го порядку;

(б) — рядкова;

(в) -3-го порядку;

(г) — приклад одиничної таблиці 2-го порядку;

Також існує зворотна матриця, визначення якої полягає в наступному. При множенні на первісну таблицю зворотній виходить одинична. Розроблено безліч методів, які забезпечують знаходження зворотної матриці. Найбільш простий з них заснований на визначенні алгебраїчних доповнень і визначника (його також іноді називають детермінантом).

Визначником матриці називається вираз a₁₁a₂₂-a₁₂a_21, позначається він наступним чином: ǀAǀ. Наведена формула справедлива для таблиці, що відповідає другому порядку. Є формули для визначників матриць більш високого порядку. Обов’язкова умова існування визначника — таблиця повинна бути квадратною. На практиці цей елемент даної теорії найчастіше використовується при такій процедурі, як знаходження зворотної матриці.

Другий важливий компонент, за допомогою якого можна знайти значення її елементів, є алгебраїчне доповнення. Обчислюється воно за формулою: A_ij = (-1^{) i} + j _* Mij, де М — це мінор. По суті — це додатковий визначник, який можна отримати шляхом подумки вилучення рядка і стовпчика, в яких розташований даний елемент. Наприклад, для таблиці, яка відповідає другому порядку, що наведена раніше за текстом, елемент a11

Знаходження зворотної матриці виконується в 3 етапи. На першому етапі визначається детермінант. На наступному кроці — всі алгебраїчні доповнення, які потім записуються відповідно до своїх індексів, і виходить таблиця алгебраїчних доповнень. На завершальному етапі виходить зворотна матриця, знаходження якої закінчується перемноженням кожного алгебраїчного доповнення на детермінант.

Найбільш часто матриці використовуються при проведенні економічних розрахунків. З їх допомогою можна легко і швидко обробити великий обсяг інформації. При цьому кінцевий результат буде представлений у зручному для сприйняття вигляді.

Ще однією сферою людської діяльності, в якій матриці також знайшли велике застосування — це моделювання 3D-зображень. Подібні інструменти інтегровані в сучасні пакети для реалізації 3D-моделей і дозволяють конструкторам виробляти швидко і точно необхідні розрахунки. Найбільш яскравим представником таких систем є Компас-3D.

Ще однією програмою, в яку інтегровані інструменти для проведення подібних розрахунків, є Microsoft Office, а конкретніше — табличний процесор Excel.