Прискорювач гумових м’ячиків

Експеримент

Візьмемо в руки баскетбольний м’яч, покладемо на нього тенісний і відпустимо їх одночасно. Тенісний м’ячик злітає несподівано високо — в кілька разів вище вихідної точки, з якої його відпустили. Розберемося, в чому тут справа.

Спочатку розглянемо досвід з одним м’ячем. Якби швидкість м’яча після удару залишилася тією ж, він піднявся б на вихідну висоту. Фізики називають такий удар абсолютно пружним. У досвіді з двома м’ячами, покладеними один на одного, висота підйому тенісного м’яча збільшилася. Значить, швидкість тенісного м’яча після відскоку також збільшилася.

Як пов’язані між собою швидкість м’яча після відскоку і висота його підйому? Якщо швидкість м’яча після відскоку збільшиться в 2 рази, то і час підйому, протягом якого швидкість зменшиться до нуля, теж збільшиться в 2 рази. І швидкість, і час зросли в 2 рази, значить, висота збільшилася в 4 рази. Якщо швидкість зросте в 3 рази, висота збільшиться в 9 разів. І взагалі, висота підйому пропорційна квадрату швидкості м’яча після відскоку.

Ідеальна модель прискорювача

Тепер зробимо два важливих спрощуючих допущення. По-перше, будемо вважати всі удари абсолютно пружними. По-друге, будемо вважати, що тенісний м’яч багато легше баскетбольного, і тим самим віддачею баскетбольного м’яча при ударі можна знехтувати.

У процесі падіння баскетбольний і тенісний м’ячі набирають однакову швидкість. Приймемо швидкість обох м’ячів безпосередньо перед ударом за одиницю. Баскетбольний м’яч вдаряється об підлогу першим і відскакує вгору з одиничною швидкістю. А тенісний м’яч все ще продовжує летіти з одиничною швидкістю вниз.

З точки зору баскетбольного м’яча тенісний м’яч налітає на нього зі швидкістю 2 одиниці. Оскільки удар абсолютно пружний і оскільки віддачею можна знехтувати, тенісний м’яч після відскоку віддаляється від баскетбольного з такою ж швидкістю 2 одиниці. Сам баскетбольний м’яч летить вгору з одиничною швидкістю, тому від підлоги тенісний м’яч видаляється зі швидкістю 3 одиниці.

Швидкість тенісного м’яча після відскоку збільшилася в 3 рази — отже, в рамках нашої ідеальної моделі він підніметься на висоту в 9 разів більшу тієї, з якою його відпустили! Така система і справді працює як «прискорювач гумових м’ячиків».

Наближення до реальності

Насправді швидкість м’яча після відскоку зменшується через втрати енергії. Наш додатковий досвід показав, що швидкість баскетбольного м’яча після відскоку від підлоги дорівнюватиме не одиниці, а 0,8. Ще один досвід показав, що після відскоку від нерухомого баскетбольного м’яча швидкість тенісного м’яча становить 0,7 від початкової.

Тенісний м’яч зближується з баскетбольним зі швидкістю 0,8 + 1 = 1,8. Після відскоку він буде віддалятися від баскетбольного м’яча зі швидкістю 0, 7· 1,8 ­ 1,3. Значить, від підлоги він буде віддалятися зі швидкістю 0,8 + 1,3 = 2,1. Висота підйому кинутого вгору тіла пропорційна квадрату швидкості відскоку. Значить, тенісний м’яч підніметься вище початкової висоти падіння в 2,1² чотирьох 4,4 рази. Цей розрахунок відмінно узгоджується з нашими дослідами (4,1-4,3 рази)!

Завдання

Візьмемо поставлені один на одного три м’ячі, кожен з яких у багато разів легше м’ячів, що знаходяться під ним. Яке збільшення висоти в порівнянні з початковою дасть такий пружний прискорювач? Зробіть розрахунки як для абсолютно упругих співударінь, так і для реалістичного коефіцієнта відновлення швидкості 0,8 при всіх ударах. Рішення

Зробимо розрахунок у загальному випадку. Нехай колона з n м’ячів падає на підлогу, причому кожен м’яч у багато разів легше м’ячів, що знаходяться під ним. Нехай множник для швидкостей після удару дорівнює k (упругому удару відповідає k = 1).

Приймемо швидкість падіння м’ячів перед ударом за одиницю. Будемо на весь процес дивитися, падаючи з цією швидкістю. У момент відскоку ми побачимо, як на нерухому колону дрібних м’ячиків налітає знизу пол. Від нього відскакує нижній м’яч колони, який тепер буде грати роль підлоги. Потім від нижнього м’яча відскакує наступний, як від підлоги, і так далі до самого верхнього м’яча.

Зауважимо, що від удару налітаючого важкого м’яча (або підлоги) нерухомий легкий м’яч відлітає зі швидкістю, більшою в 1 + k раз (до швидкості штовхача додається швидкість відскоку м’яча від нього, менша в k раз). Застосовуючи цей факт n раз, ми отримуємо, що м’яч під номером n відлетить зі швидкістю (k + 1) n.

Переходячи назад у нерухому систему, отримуємо, що n-й м’ячик відлітає зі швидкістю (k + 1) n ‑ 1.

У разі упругого удару k = 1 і третя куля відлетить зі швидкістю 2³ = 1 = 7 і значить, підніметься на висоту в 7² = 49 разів більшу. Якщо ж коефіцієнт відновлення швидкості дорівнює 0,8, швидкість третього м’яча вийде рівною 1,8³ − 1 ст.14,8, а висота — рівною (1,8³ − 1) 2 ст.123.

Художник Наталія Гаврилова