«Про Книгу з великої літери, про неспівмірність сторони і діагоналі квадрата і про справжнє задоволення»

Є така книга про математику, яка називається «Докази з Книги» *. Її написали Мартін Айгнер і Гюнтер Циглер, а ідею придумав чудовий угорський математик Пауль Ердеш. Ердеш любив казати, що «Бог має Книгу, яка містить досконалі докази математичних теорем. Математик, звичайно, не повинен вірити в Бога, але він зобов «язаний вірити в цю Книгу».

Я вже багато років займаюся історією математики. І якби мене запитали, який найдавніший відомий мені доказ заслуговує того, щоб бути включеним до Книги з великої літери, я б сказав: звичайно ж, це доказ неспівмірності сторони і діагоналі квадрата. Ми не знаємо імені математика, який відкрив цю неспівмірність; нам відомо лише те, що він жив у Стародавній Греції в V столітті до нашої ери і був одним з учнів Піфагора.

«Чим же чудово цей доказ?» — запитаєте ви. Я відповім на це питання так. По-перше, відкриття, яке зробили піфагорейці, стало колосальним стимулом для розвитку математики, аж до наших днів. Скільки не розглядай квадрат і його діагональ, неспівмірності його сторони і діагоналі очима не побачиш; її можна осягнути лише міркуванням. І починаючи з цього відкриття, міркування набуло в математиці чільної ролі. По-друге, придуманий піфагорейцями доказ дуже красивий і простий. Тож розгляньмо його і включимо до своєї власної Книги, помістивши його там на найпершій сторінці.

Треба відразу ж сказати, що піфагорейці не збиралися відкривати неспівмірність: вони шукали спільну міру сторони і діагоналі квадрата, а замість цього натрапили на несподівану властивість цих відрізків і дуже йому здивувалися! Знаменитий давньогрецький філософ Арістотель розповідає про це так: «Всі починають з подиву, як дивуються, наприклад, загадковим саморухучим іграшкам, або сонцеворотам, або неспівмірності діагоналі (бо всім, хто ще не угледів причину, здається дивним, якщо щось не можна виміряти найменшою мірою). А під кінець потрібно прийти до протилежного — і на краще, як каже прислів’я: адже нічому б так не здивувався чоловік, зведений в геометрії, як якби діагональ виявилася співмірною «.

Перший доказ

Візьмемо два рівні квадрати, кожен з них розріжемо по діагоналі на два трикутники і складемо з отриманих чотирьох трикутників один квадрат, як показано на рис. 1. Сторона цього нового квадрата буде дорівнювати діагоналі вихідного квадрата. Далі нам буде зручніше говорити не про вихідний квадрат і квадрат на діагоналі, але про два квадрати, один з яких вдвічі більше іншого за площею.

Ріс. 1

Загальна міра двох величин — це така величина, яка вкладається в обох величинах ціле число разів. Припустимо, що загальна міра сторін розглянутих квадратів існує. Подумки покладемо її в сторонах обох квадратів і розчертимо ці квадрати на дрібні квадратики, провівши паралельні лінії через зазначені точки. Звичайно, цю дію ми можемо робити лише умовно — адже ми не знаємо, на скільки частин треба ділити сторони квадратів! Для таких умовних дій у нас є букви: припустимо, що шуканий загальний захід вклався a раз в стороні квадрата подвійної площі і b раз в стороні квадрата одиничної площі. У такому випадку квадрат подвійної площі розділиться на a² дрібних квадратиків, а квадрат одиничної площі — на b² дрібних квадратиків (рис. 2). І квадратні числа a² і b² такі, що перше з них в два рази більше другого.

Ріс. 2

Зауважимо далі, що якщо взагалі існують пари квадратних чисел, одне з яких в два рази більше іншого, то якась з цих пар є найменшою. Цю найменшу пару ми і будемо шукати.

Число a² є чітким, оскільки воно поділяється на дві рівні половини b² + b². Але тоді і число a теж є чітким: адже якби a було непарним, то непарним було б і a² як твір двох непарних чисел. Парне число a складається з двох рівних половинок c. Тому квадратне число a² складається з чотирьох рівних квадратних частин c² (рис. 3). Звідси випливає, що квадратне число b² буде в два рази більше квадратного числа c².

Ріс. 3

А тепер подумаємо про те, до чого ми прийшли! Шукана пара квадратних чисел (b², с²) задовольняє умову «перше число в два рази більше другого», і вона менше пари (a², b²). Однак раніше ми припустили, що пара (a², b²) є найменшою, яка задовольняє дану умову. Ми прийшли до протиріччя, з якого є єдиний вихід: треба визнати, що двох квадратних чисел, одне з яких в два рази більше іншого, взагалі не існує. А отже, не існує і загального заходу у сторони і діагоналі квадрата, і ці два відрізки є неспівмірними.

Другий доказ

Один і той же факт може мати кілька різних доказів, які заслуговують включення в Книгу. Я готовий посперечатися, що якщо перший доказ неспівмірності сторони і діагоналі квадрата ви майже напевно вже бачили, то другий доказ ви побачите зараз в перший раз. Нам невідомо, чи знали такий доказ стародавні греки — але в усякому разі вони могли його знати, тому що всі ідеї, на яких воно засноване, були їм добре знайомі.

Знову візьмемо два одиничних квадрати і накладемо їх на квадрат подвійної площі, розвівши їх по протилежних кутах, як показано на рис. 4. Поодинокі квадрати перекриваються в центрі і залишають непокритими два невеликих квадрати по кутах. Оскільки сумарна площа двох одиничних квадратів дорівнює площі великого подвійного квадрата, двічі перекритий центральний квадрат займає таку ж площу, що і два непокритих квадрати.

Ріс. 4

Це була геометрія, а тепер почнуться міркування про числа. Нехай шуканий загальний захід вклався a раз в стороні квадрата подвійної площі і b раз в стороні квадрата одиничної площі. У такому випадку буде a2 = ^2b2, і ми знову будемо шукати найменшу пару квадратних чисел (^{a2, b2}), що задовольняє цієї умови.

Повернемося до креслення: оскільки загальний захід вкладається націло в сторонах подвійного і одиничного квадратів, він також вкладеться націло в сторонах кутового і центрального квадратів (спробуйте пояснити, чому). Нехай відповідний маленький квадратик вкладеться в центральному квадраті с² разів, а в кутовому квадраті d² разів (рис. 5). Оскільки центральний квадрат в два рази більше кутового, буде с² = 2d².

Ріс. 5

Ми знову зіткнулися з тим же самим протиріччям: ми припустили, що пара (a², b²) є найменшою, яка задовольняє необхідну умову, але з цього припущення випливає, що існує менша пара (с², d²), яка задовольняє цю ж умову. Які звідси треба зробити висновки, ми вже знаємо.

Сподіваюся, що краса і сила розглянутих доказів змусила вас відчути деяке задоволення. До речі сказати, Арістотелю, про якого ми сьогодні вже згадували, належать такі слова: «Задоволенню від пиття протилежне страждання від спраги, але задоволенню від розгляду того, що діагональ неспівмірна зі стороною, нічого не протилежно».

Художник Ануш Мікаелян

^* М. Айгнер, Г. Циглер. Докази з Книги (перекл. з англ.). — М.: «Мир», 2006. Нове видання готується у видавництві «БІНОМ. Лабораторія знань «.