Про шкоду підлабузництва і користь опозиції

Жила-була комісія

Якась комісія приймає рішення з будь-якого питання більшістю голосів. До комісії входять троє — голова, представник народу і експерт, і голосують вони по черзі саме в такому порядку. Кожен говорить або «так», або «ні», і якщо хоча б двоє сказали «так», приймається рішення «так», а якщо хоча б двоє сказали «ні» — приймається рішення «ні».

Експерт не дарма отримав свій диплом, і що б там не говорили голова і хлопець з народу, голосує незалежно, вибираючи правильне рішення з імовірністю 0,9 (помиляється в середньому лише в 1 випадку з 10). Голова теж розумний малий, але вибирає правильне рішення з імовірністю лише 0,7 (в середньому в 7 випадках з 10). А ось представник народу…

Варіант № 1: підлабузник

Позаминулого року представник народу виявився підлабузником і просто копіював голос голови. Ясна річ, в результаті голова все і вирішував — його голос подвоювався і автоматично затверджувався комісією, — так що вірне рішення приймалося з імовірністю 0,7.

Варіант № 2: жартівник

Торік представник народу опинився, м’яко кажучи, несерйозним хлопцем і прямо перед голосуванням кидав монетку: «орел» — «так», «решка» — «ні». Монетка виявилася «чесною» — видавала і орла, і решку з імовірністю 0,5, — так що ймовірність прийняти вірне рішення у представника народу зменшилася і стала рівною 0,5. Здавалося б, і комісія в цілому тепер повинна голосувати гірше?

Давайте розбиратися. Коли експерт правий, у половині випадків жартівник його підтримає — ось уже 45% випадків, коли рішення буде вірним. І якщо голова має рацію, то в половині випадків жартівник його підтримає — це ще 35% випадків, коли рішення правильне.

Стоп, адже ті випадки, коли праві і експерт, і голова, і жартівник, ми порахували двічі. Зате не порахували випадки, коли праві і експерт, і голова, але жартівник їх не підтримує. В середньому це ж одне і те ж число — жартівник адже однаково часто і правий, і неправий. Скільки ми порахували зайвого, стільки і забули. Значить, підсумкова відповідь: 0,45 + 0,35 = 0,8. Дуже дивно — ймовірність прийняти вірне рішення зросла.

Варіант № 3: опозиціонер

Цього року представник народу виявився опозиціонером до влади і завжди голосував суворо протилежно голові (якщо той «за», то він — «проти», і навпаки). Тим самим, тепер його ймовірність вибрати вірне рішення дорівнювала 0,3 — менше, ніж у двох попередніх варіантах! І що ж? Комісія ухвалювала правильні рішення краще, ніж будь-коли, — з імовірністю 0,9. Адже тепер все вирішував експерт — двоє інших завжди давали один голос «за» і один голос «проти», так що голос експерта автоматично подвоювався.

У чому ж справа?

Але як все менша ймовірність у хлопця з народу голосувати правильно тільки покращувала загальний результат? Все просто! Коли голова і експерт згодні один з одним, все вирішують вони — від дій хлопця з народу нічого не залежить. Відсоток цих випадків один і той же для всіх трьох варіантів (до речі, чому він дорівнює?). Голос хлопця з народу впливає на ситуацію тільки в інших випадках — коли голова і експерт не згодні між собою. При варіанті № 1 цей голос дублює голову, при варіанті № 3 — дублює експерта. Ясно, що результати вищі, коли копіюєш більш компетентного. А ось при варіанті № 2 голос хлопця з народу (вірніше, монетка) вибирає з рівною ймовірністю то голос голови, то голос експерта, тобто дає середнє збільшення порівняно з варіантами № 1 і № 3. І загальний результат виходить середній.

А далі?

Тим, хто хоче продовжити своє знайомство з завданнями з теорії ймовірностей, рекомендуємо чудову книгу Ф. Мостеллера «П’ятдесят цікавих ймовірнісних завдань з рішеннями». За мотивами одного з завдань цієї книги і написана ця невелика стаття.

Художник Микола Воронцов