Про три роботи Ейнштейна 1905 року

Батьки Альберта Ейнштейна (1879-1955) турбувалися про долю свого сина. Він здавався їм ні на що не здатним. Навчався він неважливо. Вони навіть змушені були відправити його до Швейцарії, де викладання було ліберальнішим, ніж у Німеччині. Там він скінчив гімназію і вступив до Цюріхського університету. В університеті Альберт навчався без блиску. Герман Мінковський, лекції якого слухав Ейнштейн, невисоко оцінював його можливості. Ні про яку наукову кар’єру мова не йшла, і юнак влаштувався на скромну посаду експерта в патентне бюро. Йому пішов двадцять шостий рік, проте нічого, крім декількох заміток, на які ніхто не звернув уваги, у Ейнштейна не було.

Але всередині молодої людини йшла величезна, невідома нікому творча робота, підсумки якої виплеснулися в 1905 році. Того року Ейнштейн опублікував чотири статті. У першій він зробив фундаментальний внесок в основи квантової теорії випромінювання, у другій — в основи молекулярної фізики. Однак обидва ці надвидавні досягнення були перекриті його третьою роботою, в якій він виклав початку спеціальної теорії відносності. До усвідомлення значущості його загальновідомої нині формули E₀ = mc², висновку якої він присвятив свою четверту статтю, час тоді ще не ^{прийшов 1}. Але нині це одна з найвідоміших формул у фізиці.

Давайте розберемося в перших трьох роботах Ейнштейна. Для них усіх характерна якась дитяча простодушна природність. Недарма Ейнштейну приписують такі слова: «Світ влаштований просто. Дуже просто. Але не більше того «.

Перша публікація Альберта Ейнштейна 1905 року називалася так: «Про одну евристичну точку зору, що стосується виникнення і перетворення світла». Ця стаття 18 березня 1905 року надійшла до редакції провідного фізичного журналу Німеччини «Annalen der Physik» («Аннали фізики») і того ж року була надрукована в одному з випусків журналу.

Зробимо дуже короткий екскурс в історію. Питання про походження світла виникло в XVII столітті. Роберт Гук (1635-1703) вважав, що світло має хвильове походження, як звук; цю точку зору підтримав і Християн Гюйгенс (1629-1695). А ось Ісаак Ньютон (1643-1727) заперечував їм — він вважав, що світло складається з частинок. Авторитет Ньютона взяв гору, і восторжествувала корпускулярна теорія світла. Але на початку XIX століття перемогла хвильова теорія світла. І вона вважалася справжньою до 1905 року, коли з’явилася стаття Ейнштейна. За п’ять років до того в роботі Макса Планка (1858-1947) було висловлено припущення, що енергія світла виділяється дискретно, певними порціями — квантами. І Ейнштейн у введенні до своєї роботи пише так: «Згідно з зробленим тут припущенням, енергія пучка світла, що вийшов з деякої точки, не розподіляється безперервно у все зростаючому обсязі, а складається з кінцевого числа локалізованих у просторі неподільних квантів енергії, що поглинаються або виникають тільки цілком». Це припущення узгоджувалося з планківською гіпотезою.

У 1887 році було відкрито явище фотоефекту — «вибивання» електронів з металу при освітленні його світлом. Експеримент показував, що максимальна початкова швидкість електрона на виході з металу визначається частотою світла і не залежить від його інтенсивності, а від інтенсивності залежить число електронів, що вириваються з металу в одиницю часу. І при цьому існує мінімальна частота (визначена хімічною природою речовини), при якій фотоефект взагалі можливий. Ці результати явно суперечили хвильовій теорії світла.

Ейнштейн пояснив все це дуже природно, доповнивши хвильову теорію. Суть справи бачилася Ейнштейну в тому, що електрон в металі знаходиться ніби у в’язниці — його утримують всередині металу якісь сили. Для того щоб подолати зовнішні сили і вискочити з металу, електрону потрібна додаткова енергія. Цю енергію, як припустив Ейнштейн, електрон отримує порціями, поглинаючи, при освітленні металу світлом, один фотон, що має енергію h^, де h — якась постійна, яку стали називати постійною Планка, а ­ — частота світла. Словом, Ейнштейн у своїх міркуваннях допустив сумісність корпускулярної і хвильової теорій.

Позначимо через _{^ 0} мінімальну частоту, при якій можливий вихід електрона з металу. Якщо також _{було 0}, нічого не відбувається — електрон залишається в металі. Якщо ж ^ > _{^ 0}, то при вильоті електрон набуває швидкості. При цьому, відповідно до закону збереження енергії, максимальна швидкість визначається рівністю

де _Авих = _h.2000 — робота виходу електрона з металу. Таке рівняння Ейнштейна для фотоефекту.

Це рівняння отримало багаторазові підтвердження численними експериментами. Величини, вимірювані ліворуч, як функції відомих частот, на графіку представляли собою паралельні прямі, кутовий коефіцієнт яких дорівнює постійній Планка h. Середнє значення постійної Планка, отримане в результаті цих експериментів, виявилося дуже близьким до прийнятої нині величини постійної Планка: точність склала частки відсотка.

Теорія фотоефекту, запропонована Ейнштейном, зіграла величезну роль у формуванні нової механіки — квантової механіки. Вона була визнана Нобелівським комітетом гідної присудження Ейнштейну в 1921 році Нобелівської премії з фізики.

Друга стаття Ейнштейна — «Про рух зважених у рідині частинок, необхідній молекулярно-кінетичною теорією теплоти» — була завершена на початку травня 1905 року, надійшла до редакції 11 травня 1905 року і була опублікована в «Annalen der Physik» у тому ж томі, що й перша стаття.

У цій роботі Ейнштейн будує теорію хаотичного руху дуже дрібних (видимих лише під мікроскопом) виважених частинок в нерухомій рідині, виводить рівняння для щільності числа частинок і виявляє, що воно в точності збігається з рівнянням теплопровідності (або дифузії — ці рівняння виглядають однаково).

І знову зробимо короткий екскурс в історію. У 1822 році Жан Батіст Фур’є (1768-1830), видатний математик і фізик, випустив у світ свій мемуар «Аналітична теорія тепла». У ньому він дав математичний опис поширення тепла в різних середовищах. Для цього Фур’є вивів рівняння теплопровідності, яке покликане описувати поведінку температури u (t, x) в момент t в точці x нескінченного в обидва боки теплопровідного стрижня. Згідно з Фур’є, функція u (t, x) задовольняє рівняння

яке і називають рівнянням теплопровідності. Легко перевірити, що функція

є рішенням рівняння ^{теплопровідності2}. Число, рівне, за Фур’є, температурі стрижня в точці x в момент t за умови, що в нульовий момент часу на початку координат стрижню передали одиницю кількості теплоти (як би торкнувшись стрижня в нульовій точці іншим розпеченим стрижнем).

У 1827 році англійський ботанік Роберт Броун (1773-1858) виявив видиме тільки в мікроскоп безладний рух найдрібніших виважених частинок у нерухомій рідині. Нам слід було б називати прізвище ботаніка Браун, оскільки англійською вона пишеться Brown, але в старовину транскрибували прізвища не узгоджуючись з вимовою. Вченого назвали Броун, і за відкритим ним безладним рухом частинок закріпилася назва броунівський рух. Зараз у підручниках з фізики пишуть, що «закономірності броунівського руху були вивчені Ейнштейном (1905)». Це, безсумнівно, так, але сам Ейнштейн у роботі, яку ми обговорюємо, вважав за необхідне в преамбулі статті обмовитися. Він пише: «Можливо, що розглянуті рухи тотожні з так званим броунівським рухом; однак доступні мені дані щодо останнього настільки неточні, що я не міг скласти про це певної думки «.

Ейнштейн подумки змоделював поведінку хаотично рухомих частинок наступним чином. Частинка рухається по точках з координатами k^ x, де k — ціле число, k = 0, ^ 1, ^ 2,…, в моменти часу l^ t, де l — натуральне число 0, 1, 2,…, кидає монетку і рухається вправо, якщо випав орел, або вліво, якщо випала решка. Покламо тоді в точці частинка буде знаходитися з імовірністю -n ­ к ­ n, бо всіх результатів 2n, ^а результатів, при яких частинка потрапить в дану точку, Cnk. Якщо побудувати ступінчасту функцію, на відрізку [k^ t; (k + 1) ^ t] рівну те ця функція буде дуже близька до функції

де D — деякий коефіцієнт, залежний від ^ і званий коефіцієнтом дифузії.

Якщо тепер запустити n частинок рухатися описаним чином незалежно один від одного і перейти до межі при n, що прагне до нескінченності, то виявиться, що число частинок на відрізку [x; x + dx] в момент часу t, позначимо це число частинок через f (t, x) dx, буде задовольняти рівняння

Це, зрозуміло, рівняння теплопровідності, але в застосуванні до описуваного процесу його називають рівнянням дифузії. Виходячи з фізичних міркувань, Ейнштейн вирахував коефіцієнт дифузії D. Він виявився рівним, де a — число, залежне від розміру частинок і від коефіцієнта тертя рідини, NA — постійна Авогадро, T — абсолютна температура, а R — якась універсальна постійна.

До моменту написання цієї статті Ейнштейна питання про молекулярно-кінетичну теорію теплоти ще було відкрите. Ще незрозуміло було, скільки молекул є в одному молі речовини. Це число визначала постійна Авогадро, величина якої ще не була досить точно оцінена. В анотації до статті Ейнштейн каже, що експериментальне підтвердження її результатів буде сильним доводом на користь молекулярно-кінетичної теорії теплоти, а спростування її буде, за його словами, «вагомим аргументом проти молекулярно-кінетичного уявлення про теплоту».

У самому кінці статті автор пише, що знайдені ним співвідношення «можуть бути застосовані для визначення числа N» (числа Авогадро N_A). І це незабаром сталося! Французький експериментатор Жан Перрен (1870-1942) серією дуже тонких дослідів у 1906 році отримав значення числа Авогадро, близьке до 6, 8· ¹⁰23 мо^ль-1. Потім Перреном були зроблені досліди з броунівськими частинками, поведінка яких була описана Ейнштейном. Результати збіглися, і це стало торжеством молекулярно-кінетичної теорії. За все це Жан Перрен в 1926 році був удостоєний Нобелівської премії з фізики.

Ми бачимо, що і друга робота Ейнштейна була нобелівського рівня. Незабаром теорія Ейнштейна була розвинена М. Смолуховським, потім А. Фоккером і М. Планком.

Потім за справу взялися математики. Н.Вінер описав випадковий процес, який був навіяний рухом броунівської частинки. О. М. Колмогоров у своїй знаменитій статті «Аналітичні методи в теорії ймовірностей» (1931) ввів поняття марківського процесу, узагальнив і розвинув досягнення фізиків, про що він сам дізнався після опублікування своєї роботи. Починаючи з 1933 року Колмогоров згадує роботи Смолуховського, Фоккера і Планка, але чомусь обходить своєю увагою роботи справжнього родоначальника теорії — Ейнштейна.

Переходимо до обговорення третьої, і найзнаменитішої, статті Ейнштейна не тільки серед опублікованих в 1905 році, але і взагалі у всій його творчості. Ця стаття під назвою «До електродинаміки рухомих тіл» надійшла до редакції 30 червня 1905 року і була опублікована в «Annalen der Physik» знову-таки в тому ж самому томі! У цій статті викладалася теорія, що отримала згодом назву спеціальної теорії відносності.

Спеціальна теорія відносності може бути виведена (і ми зробимо це) з двох постулатів.

Перший постулат, званий принципом відносності, можна сформулювати так: у будь-яких інерційних системах відліку всі фізичні явища за однакових умов протікають однаково. Як і у випадку галілеєвої механіки, перебуваючи в завішаному поїзді, здатному рухатися рівномірно, прямолінійно і безшумно, не можна встановити, рухається поїзд або варто.

А другий постулат став наслідком дослідів Альберта Майкельсона (1852-1931), який встановив, що швидкість світла у вакуумі постійна, що вона не залежить від руху джерела світла.

Як тут не згадати легенду, схожу на апокриф, про юнака (при цьому називають Планка), який звернувся до мера з проханням про напуття — він хотів стати фізиком. Метр сказав, що не бачить у фізики перспектив: на майже безхмарному небі відкритих істин видно лише два невеликих хмарки — досвід Майкельсона і закони теплового випромінювання. Скоро вони розсіються, і у фізиці нічого буде робити. Про закони випромінювання, які, завдяки гіпотезі Планка, відкрили вікно в дивовижний мікромір, було трішки розказано вище. А досвід Майкельсона взагалі перевернув наші уявлення про час і простір.

Обговоримо питання про складання швидкостей в галілєєвській і в ейнштейновській механіці. Уявімо собі залізничну станцію, на якій стоїть з прапорцем черговий по станції Д. Повз нього зі швидкістю проноситься потяг. У поїзді стоїть курець K, а повз нього проходить пасажир П, який йде по ходу поїзда зі швидкістю’. Припустимо, що в нульовий момент часу всі три людини перебували на одній прямій. Через час t курець K буде знаходитися на відстані t, а пасажир П — на відстані (+’) t від чергового Д, тобто П рухатиметься відносно Д зі швидкістю V = +’. Це формула Галілея. І до кінця дев’ятнадцятого століття здавалося, що якщо в нульовий момент часу всі троє одночасно пустили б промінь світла по напрямку руху, то промінь П випереджав би промінь K, а той, у свою чергу, випереджав би промінь Д. (Адже якби вони вистрілили одночасно, то куля, пущена П, мчала б попереду двох інших — у цьому ніхто сумнівався.) Однак досвід Майкельсона показав, що зі світлом справа йде не так: всі промені в нашому подумковому досвіді будуть поширюватися не відстаючи і не випереджаючи один одного. Це може означати тільки одне: годинник у рухомому поїзді і годинник чергового на станції йдуть по-різному.

Будемо вважати, що швидкість світла дорівнює одиниці. Нехай одна і та ж точка на прямій має координати (x, t), де x — положення поїзда, t — момент часу за показом годин чергового, коли курець в поїзді перетинає точку x, в нерухомій системі координат, і (x‘, t‘) — в рухомій системі координат. Закон збереження швидкості світла призводить до рівності

x² – t² = x’² – t’².

Було зроблено припущення, що перехід від однієї системи координат до іншої здійснюється лінійно. Лінійні відображення, що зберігають форму x₁² + x₂², — це повороти:

x₁‘ = x₁ cos α + x₂ sin α,  x₂‘ = –x₁ sin α + x₂ cos α.

Лінійні відображення, що зберігають форму x² — t², — це гіперболічні повороти:

x = x’ ch α + t’ sh α,  t = x’ sh α + t’ ch α,  x’ = x ch α – t sh α,  t’ = –x sh α + t ch α,  ( * )

де ch ^ і sh — гіперболічний косинус і гіперболічний синус відповідно.

Повернемося до наших героїв. По закінченні часу t стоїть в поїзді пасажир K буде знаходитися в точці (t, t) в нерухомій системі координат і в точці (0, t’) в рухомій, а пасажир П буде мати в тих же системах координати (Vt, t) (де V — швидкість П відносно Д) і (‘t‘, t’). В силу того що точка (0, t’) перейшла в точку (t, t), з рівності (*) отримуємо

0 = t sh ^ — t ch ^, звідки = cth ^,

де cth — гіперболічний котангенс. Аналогічно,

точка (‘t’, t’) збігається з точкою (Vt, t), звідки знову з (*) отримуємо

Vt = ‘t’ ch α + t’ sh α,  t = ‘t’ sh α + t’ ch α.

Ділячи першу рівність на другу і потім ділячи числівник і знаменник на ch ^, приходимо до формули Ейнштейна для складання швидкостей:

отриманої в його знаменитій роботі 1905 року.

Групу перетворень, що зберігають форму x₁² + x₂² + x₃² — t² (її приватний випадок був розглянутий нами вище), О.Пуанкарі назвав групою Лоренца. У ряді статей, що передують роботі Ейнштейна, Пуанкаре стверджував, що має місце принцип відносності, згідно з яким закони природи в двох системах координат, що рухаються один щодо одного з постійною швидкістю, однакові. У поєднанні зі сталістю швидкості світла це призводить, як було показано, до формули складання швидкостей, отриманої нами. Приблизно з тією ж легкістю можна було б витягти з двох постулатів та інші парадокси, на кшталт парадоксу близнюків, зміни довжин тощо. Ці парадокси стали надбанням всіх після роботи Ейнштейна 1905 року. Мабуть, все це розумів до того часу і Пуанкарі — один з найбільших вчених усіх часів. Але чому він ніколи і нікому не говорив про це, залишається загадкою.

Четверта робота Ейнштейна була названа так: «Чи залежить інерція тіла від енергії, що міститься в ньому?» Вона надійшла до редакції 27 вересня 1905 року і була опублікована в «Annalen der Physik» того ж 1905 року, але вже в наступному томі. Їй була присвячена стаття Б. Болотовського, опублікована в журналі «Квант» № 2 за 1995 рік. Прочитайте цю статтю.

¹ Індекс «0» у енергії підкреслює, що мова йде про енергію спокою ^{частки 2}

Це рівняння означає, що похідна за t функції u (t, x) при фіксованому x дорівнює половині другої похідної функції по x при фіксованому t. Так рівняння теплопровідності пишуть математики. А фізики множать праву частину на розмірний коефіцієнт, що являє собою дріб, в якому чисельник є подвоєний коефіцієнт теплопровідності, а в знаменнику стоїть твір щільності на питому теплоємність.