Простір трикутників

Трикутник — основний об’єкт геометрії, а може, і математики взагалі. Зібрані всі разом, трикутники утворюють деякий простір — Трикутний Світ. Ми складемо його детальну карту, побуваємо на околицях цього світу і розкриємо таємницю його полюсів. Підготовку до великої подорожі почнемо з простих вимірювань.

Вимірювання

Намалюйте на аркуші паперу рівносторонній трикутник з висотою 1 дециметр.

Ріс. 1. Процес вимірювання ставить у відповідність кожній точці T три числа a, b, c — довжини відрізків, перпендикулярних сторонам трикутника

Позначте точку всередині, опустіть з неї три перпендикуляри на боці трикутника — на малюнку 1 вони позначені a, b, c — і підрахуйте їх сумарну довжину a + b + c (в дециметрах). Виконайте декілька експериментів, вибираючи різні точки всередині трикутника, і заповніть журнал вимірювань.

Ви отримаєте дивовижний результат: a + b + c завжди дорівнює 1. Справа в тому, що в рівносторонньому трикутнику сума перпендикулярів, опущених з точки всередині трикутника на його сторони, дорівнює висоті трикутника.

Вправа 1. Спробуйте довести це.

Нерівність трикутника

Раз вже у нас вийшли три відрізки довжини a, b і c, чому б не спробувати скласти з них трикутник з цими сторонами?

Вправа 2. Чи можна скласти трикутник з відрізків довжини 1, 2, 4; 1, 2, 3; 2, 3, 4?

Журнал вимірювань

Виявляється, трикутник зі сторонами a, b і c існує тільки в тому випадку, коли одночасно виконуються три нерівності трикутника a < b + c, b < c + a, c < a + b, тобто будь-яка сторона трикутника менше суми двох інших. Можна обмежитися однією нерівністю, сказавши: більша сторона трикутника менше суми двох інших.

Простір трикутників

Рис, 2. Простір трикутників

Для яких же точок T всередині ABC більше з чисел a, b, c менше суми двох інших?

Розіб’ємо наш трикутник ABC на чотири маленьких (рис. 2). Вершини середнього з них розташовані в серединах сторін ABC. Тільки для точок всередині цього середини трикутника, тобто для відповідних трійок чисел a, b, c, виконуються всі три нерівності a < b + c, b < c + a і c < a + b. Для решти точок одна з нерівностей точно порушується: на малюнку вказано, яке саме.

Вправа 3. Взявши в кожному маленькому трикутнику хоча б по одній точці, перевірте на прикладах справедливість нерівностей, зазначених на малюнку 2.

Виходить, кожній точці T всередині середини трикутника відповідають три відрізки a, b, c, з яких можна скласти трикутник (з периметром 1). Ось чому ми дали серединному трикутнику на малюнку 2 назву Простір трикутників. Далі ми будемо називати його Трикутним Миром.

Приступаємо до створення карти Трикутного Світу

Ми звикли до того, що географічна карта — кольорова, на ній нанесена сітка з паралелей і меридіанів і відзначені великі міста і столиці.

Рис, 3. Три пункти на карті Трикутного Світу

Нанесемо на карту Трикутного Світу перші пункти. Почнемо з рівностороннього трикутника периметра 1, у ньому( a =frac {1} {3}) ,( b =frac {1} {3}) ,( c =frac {1} {3}). Виберемо ще відомий єгипетський трикутник зі сторонами a = 3, b = 4, c = 5. Сам трикутник, звичайно, не можна розмістити на карті, але подібний до нього зі сторонами( a =frac {3} {12}) ,( b =frac {4}) ,( c =frac {5} {12}), тобто(frac {1} {4}) ,(frac {1} {3}) ,(frac Додамо ще третій пункт — рівнобедрений трикутник зі сторонами( a =frac {4} {9}) ,( b =frac {1} {9}) ,( c =frac {4} {9}). І ось перші спостереження: рівносторонній трикутник відповідає Центру трикутного Світу, рівнобідрений трикутник зі сторонами(frac {4} {9}) ,(frac {1} {9}) ,(frac {4} {9}) розташований близько до боку AC і однаково віддалений від сторін AB і BC (рис. 3). Ходімо далі.

Перестановки

Сторони трикутника можна записати в різному порядку. Чи задають ці записи (перестановки) одну і ту ж точку на нашій карті або різні?

Вправа 4. Скільки існує різних перестановок а) трьох різних чисел; б) трьох чисел, два з яких дорівнюють; в) трьох однакових чисел?

Рис, 4. На карті Трикутного Світу кожен трикутник, у якого всі сторони різні, присутній 6 разів, рівнобедрений — 3 рази, а рівносторонній — один

На малюнку 3 зелена точка позначає трикутник зі сторонами(frac {1} {4}) ,(frac {1} {3}) ,(frac {5} {12}). На малюнку 4 зелених точок шість — вони відповідають усім можливим перестановкам чисел(frac {1} {4}) ,(frac {1} {3}) ,(frac {5} {12}).

Для чисел(frac {4} {9}) ,(frac {1} {9}) ,(frac {4} {9}), що відповідають рівнобедреному трикутнику, є три різні перестановки. Їм відповідають три сині точки на малюнку 4. Набір чисел(frac {1} {3}) ,(frac {1} {3}) ,(frac {1} {3}) унікальний. Отже, порядок, в якому перераховані довжини сторін, на карті враховується.

Подивимося ще раз на малюнок 4. Там вершини внутрішнього трикутника отримали нові назви R, G, B, а зовнішній трикутник злегка поблік — це ми готуємося до збільшення розмірів нашої карти і до її розмальовки. Далі ми не будемо зображати зовнішній трикутник і зосередимося виключно на нашій карті, а саме, на трикутнику RGB.

Три числа — це колір

Рис, 5. Розмальовка трикутного світу

Для нас три числа a, b, c — це, перш за все, трикутник, але три числа — це ще й колір. Ми маємо на увазі RGB-палітру. У ній всі кольори отримуються змішанням трьох основних — червоного, зеленого і синього, — і колір задається набором з трьох чисел (r, g, b), кожне з яких укладено в межах від 0 до 1. Наприклад, (0, 0, 0) — це чорний, (1, 1, 1) — білий, а(frac {1} {3} ,frac {1} {3} ,frac {1} {3})) — відтінок сірого. Самі червоний, зелений і синій — це, звичайно ж, (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Трійку чисел, що визначає колір, ми пишемо в дужках, щоб не плутати її з точкою Трикутного Світу.

Було б природно розфарбувати точку нашого Трикутного Світу, що відповідає числам a, b, c, тим же самим кольором (a, b, c). Але така розмальовка, на жаль, малоконтрастна і недостатньо яскрава. Ось якщо її розрахувати як (1 ‑ 2a, 1 ‑ 2b, 1 ‑ 2c), то все встає на свої місця і, головне, вершини R, G, B набувають своїх законних кольорів (рис. 5).

Вправа 5. Розрахуйте, яким RGB-кольором розфарбовано центр трикутного Світу.

Ще дві карти

Різні типи карт розширюють наші уявлення про навколишній світ. Ось карта, на якій позначена мережа точок, що рівномірно заповнює наш Трикутний Світ (рис. 6).

Вправа 6. Знайдіть на малюнку 6 центр трикутного світу і перевірте рішення вправи 5.

Рис. 6. Мережа точок, що рівномірно заповнює Трикутний Світ

А на малюнку 7 кольорові точки замінені маленькими трикутниками, яким вони відповідають.

Чи не правда, ці трикутники схожі на маленькі магнітні стрілки з трьома кінцями, що вказують на вершини трикутника RGB?

На цьому ми тимчасово перериваємо наш виклад. Нам ще належить подорож до віддалених околиць Трикутного Світу і до його полюсів, таємницю яких ми спробуємо розкрити.

А поки подивіться картинки у великому тексті Кая Беренда «Введення в алгебраїчні стіки» (K. Behrend, Introduction to Algebraic Stacks). У ньому докладно вивчаються численні трикутні Світи. Наш трикутний Світ фігурує там під назвою(mathscr {N}) або(mathscr {overline {N}}). Рекомендуємо перші 70 сторінок, де міститься безліч картинок. Одну з них ми відтворили на малюнку 7, трохи поліпшивши її.

Рис, 7. Кожна точка малюнка 6 замінена трикутником

Ще одне зображення (рис. 6) ми взяли зі статті П. Панова «Про геометричних медіанів трикутників». Там теж багато кольорових картинок!

До зустрічі в наступному номері журналу.

Художник Марія Усеїнова

Продовження слід.