Сферікони і гексакон

Ріс. 1

Сферікони — математичні іграшки, забавно катаються площиною. Почнемо з опису найпростішого сферікону.

Візьміть у руки квадрат за дві протилежні вершини і повертайте його навколо діагоналі, яка їх з’єднує. Яку фігуру «замете» квадрат? Це будуть два конуси, склеєні з основи. Якщо зробити таку фігуру, розрізати її по квадрату і знову склеїти половинки, але з поворотом на 90 °, вийде тетракон (рис. 1).

Поверхня тетракону складається з відрізків. Точніше, з 4 вершин квадрата, двох напівкружин і нескінченного числа однакових інтервалів (інтервал — це відрізок без його кінців). Спробуйте пройтися по поверхні тетракону так, щоб повернутися в вихідну точку і перетнути всі інтервали по разу!

Поверхню конуса можна повністю обклеїти в один шар сектором, вирізаним з площини. Тому тетракон можна обклеїти чотирма секторами, які з’єднані в зигзагоподібну доріжку — див. розгортку на с. 15. Зробіть з неї тетракон своїми руками!

Розгортання тетракона

Ви можете завантажити цю розгортку за посиланням.

1. Виріжте за штриховими лініями.

2. Зігніть по суцільних лініях.

3. Схиліть одну пару сусідніх дуг по трапеціевидних клапанах, так щоб клапани приклеїлися до неліцевої сторони.

4. Схиліть іншу пару сусідніх дуг по трапеціевидних клапанах. Прямокутний клапан при цьому підклеїться до сектору на іншому кінці доріжки. Слідкуйте, щоб всі клапани опинилися всередині фігури.

Завдання 1. Знайдіть кути секторів на розгортці.

Тетракон чудово котиться по площині, як би по доріжці з секторів, яку можна продовжувати, повторюючи сектори. І хоча його качає то вліво, то вправо, центр тетракону весь час залишається на одній висоті, що і забезпечує плавність руху.

Щоб побачити, що висота центру не змінюється, зауважимо, що, коли ми обертали квадрат, коло, вписане в нього, «замітав» кулю, яка стосувалася всіх відрізків подвійного конуса. Після розрізання подвійного конуса на дві частини і повороту однієї з частин все одно куля залишилася кулею з тією ж властивістю торкання відрізків. Тому, коли тетракон котиться по площині, куля всередині нього теж котиться по цій площині. Значить, центр не змінює висоту.

Завдання 2. Якою траєкторією рухається центр?

Завдання 3. Розріжте правильний тетраедр на дві рівні частини одним пласким розрізом, що не проходить через вершини тетраедра (правильний тетраедр — це трикутна пірамідка, всі чотири грані якої — однакові рівносторонні трикутники).

Узагальнимо конструкцію тетракону, зберігши його кумедні властивості. Квадрат замінимо на будь-який правильний багатокутник, діагональ — на будь-яку вісь симетрії багатокутника. Склеювати дві половинки після розрізання можна з підкруткою на різні кути.

Якщо ж у багатокутнику чітке число сторін, можна половинки взяти у двох різних фігур — що виникають при обертанні багатокутника навколо діагоналі (перша) і навколо прямої, що з’єднує середини протилежних сторін (друга), — і склеїти (по багатокутнику).

Всілякі фігури, які так виходять, називають сферіконами. Як влаштована поверхня сферікону? Коли ми обертаємо багатокутник, з його сторін із загальною вершиною, що лежить на осі обертання, виходять конуси. Циліндри виникають зі сторін, паралельних осі обертання. Майже з усіх інших сторін виходять усічені конуси, а ще можуть вийти плоскі кола.

Завдання 4. В якому випадку при обертанні сторони виходить коло?

Ріс. 2

Завдання 5. Намалюйте слід від сферікону, що котиться, отриманого з правильного шестикутника обертанням навколо діагоналі і підкруткою половинок на 60 ° (рис. 2).

Завдання 6. Покажіть, що сферікон, отриманий з п’ятикутника, не можна котити в один бік наскільки завгодно довго.

Завдання 7. Сферікон отриманий обертанням четноугольника навколо діагоналі і склеюванням половинок з підкруткою на такий кут, що підкрутка переводить сторону багатокутника в сусідній. Покажіть, що при катанні сферікону по площині будь-яка точка його поверхні рано чи пізно торкнеться площини.

Завдання 8. Сферікон отриманий обертанням 12-вугільника навколо діагоналі і склеюванням половинок з підкруткою на 90 °. Його покатали по пофарбованій плоскій поверхні, поставили іншим боком на неї, знову покатали і так кілька разів. Виявилося, що вся поверхня сферікону пофарбувалася. Яку мінімальну кількість разів його переставляли на інший бік?

Тетракон запатентував 1980 року Девід Хірш. А в 2017 році він опублікував відео, в якому котиться інша придумана ним фігура — гексакон (див. відео). Гексакон володіє тими ж хорошими властивостями, що і тетракон: його поверхня складається з відрізків, при катанні будь-яка його точка рано чи пізно стосується площини, центр завжди на одній і тій же відстані від площини. А ще, на відміну від тетракона, він центрально-симетричний. Тому при катанні висота гексакона весь час одна і та ж, а центр знаходиться на половині цієї висоти.

Гексакон складається з 6 однакових частин. Частини виходять з половинки конуса, у якого в перерізі — рівнобедрений трикутник з кутом 120 °. Через середину основи трикутника потрібно провести дві площини, перпендикулярні площини трикутника, під кутом 30 ° до основи, розрізати по них напівконус і залишити ту частину, в яку потрапила вершина конуса. У цій частині є межа у вигляді ромба і два криволінійних ребра (рис. 3). Схилимо три примірники цієї частини по циклу, стикуючи по криволінійних ребрах. З ромбів складеться правильний шестикутник (рис. 4). Ще три екземпляри приклеїмо так, щоб вийшла центрально-симетрична фігура (рис. 5).

Рис, 3-5

Можна видалити з тетракону або гексакона майже все, крім меж підстав конусів (у тетракона це дві напівогружності, у гексакона — криволінійні ребра) і ще чогось, що скріплює межі в конструкцію, яка не розвалюється. Отриманий «каркас» буде так само кататися по площині (якщо тільки центр мас не змінився). На фото танцівниця Франциска Хаузер використовує снаряд, складений з вигнутих ребер октаедра: чотири ребра вигнуті так, щоб вийшли дві напівкружності тетракона, а інші прогинаються всередину.

Фото взято з персональної сторінки артистки

В іншому відео з Девідом Хіршем можна дізнатися про поліконів — сімейство фігур, яке включає в себе і тетракон, і гексакон: див. відео.

А ось яке узагальнення сферіконів пропонує Олександр Перепечко. Намалюємо одну або декілька замкнутих кривих. Прокатимо площину по цій сфері, щоб перемістити точку торкання вздовж цих кривих. Частина простору, яка буде по той же бік від площини у всіх її положеннях, що і сфера, жартома назвемо крутиконом.

Завдання 9. Який крутикон вийде, якщо на сфері намальований екватор? А якщо інше коло?

Завдання 10. Яку криву потрібно намалювати, щоб вийшов тетракон? А гексакон?

Художник Олексій Вайнер

Відповіді

1. Нехай сторона квадрата рівна a. Основа конуса — це коло з діаметром на діагоналі квадрата. Отже, половина довжини кола основи дорівнює(  sqrt {2} a/2), що дорівнює довжині дуги сектору. Радіус сектора дорівнює a, значить, якщо ^ — кут сектора в градусах, то довжина дуги сектора дорівнює 2.200a· ^/360. Звідки( ^ = 90sqrt {2}) градусів.

2. Перпендикуляр, опущений з центру квадрата на його бік, спирається на її середину. Тому перпендикуляр, опущений з центру тетракону на площину, потрапляє в середину відрізка, за яким тетракон стикається з площиною. Такі середні лінії секторів з’єднуються в зигзагоподібну лінію. Центр рухається точно по такій же лінії, якщо її підняти на висоту центру.

3. Виберемо два ребра тетраедра, які не мають спільних вершин. Проведемо в кожній межі середню лінію, яка паралельна одному з вибраних ребер. Ці лінії утворюють чотирикутник. Протилежні сторони у нього паралельні, оскільки середня лінія трикутника паралельна основі. Тобто, це паралелограм. Проведемо через нього площину і розріжемо по ній тетраедр на дві частини. Вони будуть рівними, оскільки якщо повернути тетраедр так, що вибрані ребра поміняються місцями, то і частини поміняються місцями. Подумайте, чому побудований паралелограм — це насправді квадрат.

4. Якщо вісь проходить через середину сторони.

5.

6. У правильного п’ятикутника вісь симетрії завжди проходить через середину деякої сторони. Ця сторона при обертанні перетвориться на коло. Коли ми розріжемо фігуру, отриману обертанням п’ятикутника, це коло розріжеться на два півкола. Коли ми повернемо дві половини сферікону відносно один одного, два півкола роз’єднаються. Отриманий сферікон може котитися в один бік, поки не встане на одне півколо.

7. Пронумеруємо сторони багатокутника за порядком 1, 2,…, 2n. Нехай вісь симетрії була так обрана, що симетричні сторони 1 і 2n, 2 і 2n ‑ 1,… Ці ж пари сторін з’єднані стрічками (тобто половинками конусів, усічених конусів і циліндрів) на поверхні однієї половини сферікону. Інша половина повернута. Нехай вона повернута в таку сторону, що стрічками з’єднані сторони 2 і 1, 3 і 2n, 4 і 2n ‑ 1,… Тоді при катанні сферікону ми будемо проходити всі сторони багатокутника в такому порядку: 1, 2n, 3, 2n − 2, 5, 2n − 4, 7, 2n − 6, …, 2n − 3, 4, 2n − 1, 2.

8. Три рази. Пронумеруємо сторони числами 1, 2,…, 12. Нехай на одній половині сферікону стрічками з’єднані сторони 1 і 12, 2 і 11,…, 6 і 7, а на іншій 4 і 3, 5 і 2,…, 9 і 10. Стрічки на поверхні сферікону з’єднуються в три замкнуті стрічки, які проходять через сторони: 1, 12, 7, 6; 2, 11, 8, 5; 3, 10, 9, 4.

9. Нескінченний циліндр. Конус.

10. Щоб знайти такі криві, потрібно намалювати всередині тетракона та гексакона куля максимального радіусу, а потім точки, в яких кулька торкнеться, і складатимуть шукані криві. Тетракон і гексакон складаються з конусів, тому шукані криві складаються з дуг кола. Згадаймо, що тетракон виходить з подвійного конуса. Подвійний конус — це теж крутикон! Він виходить, якщо намалювати на сфері дві окружності. Розріжемо сферу на дві частини — кожна окружність розріжеться на дві напівкружності, і повернемо. Виберіть криву з чотирьох напівкружин, яка нагадує зображення на м’ячі для бейсболу. Для гексакона відповідь аналогічна, тільки буде 6 рівних напівкружин, кінці яких ділять екватор на 6 рівних дуг.