Ще раз про напівправильних багатогранників

У «Калейдоскопі» Кванта «» У № 11 за 2018 рік ми розповідали про напівправильних багатогранників, тобто випуклих багатогранників, межі яких суть правильні багатокутники і всі вершини влаштовані однаковим чином. Була наведена повна класифікація таких багатогранників: дві нескінченні серії — призми і антипризми, п’ять правильних багатогранників (платонових тіл: ікосаедр, куб, октаедр, додекаедд і ікосаедр) і ще 14 багатогранників, традиційно званих архімедовими. Напівправильний багатогранник визначається типом вершини: інформацією, які багатокутники сходяться до неї і в якому порядку. Наприклад, (3, 4, 4), тобто «трикутник — квадрат — квадрат» — це трикутна призма. При цьому одному з типів вершин, а саме (3, 4, 4, 4), відповідають відразу два багатогранники: ромбокубооктаедр і псевдоромбокубооэдр.

Псевдоромбокубооктаедр стоїть серед напівправильних багатогранників осібно — і справа не тільки в тому, що його відкрили в XX столітті, в той час як інші були відомі ще стародавнім грекам. На відміну від інших напівправильних, цей багатогранник не володіє глобальною симетрією, або властивістю транзитивності: хоч будь-які дві його вершини і влаштовані однаковим чином, не завжди їх можна поєднати рухом, що переводить багатогранник у себе. Через це псевдоромбокубооктаедр не завжди відносять до архімедових тіл, і тоді останніх залишається 13.

Ріс. 1

Наш постійний читач О. Лазутченко поставив наступне цікаве запитання. Псевдоромбокубооктаедр виходить зі звичайного ромбокубооктаедра поворотом «шапочки» (рис. 1). Ця «шапочка» називається n-скатним куполом, де n — число сторін її верхньої межі. А що буде, якщо повернути «шапочку» в іншого напівправильного багатогранника — ромбоїкосодекаедра (рис. 2)? Результат трохи розчаровує: багатогранник ще далі від «правильності», ніж напівправильні. У нього як і раніше до кожної вершини сходяться чотири правильних багатокутники — трикутник, два квадрати і п’ятикутник, але в різному порядку. У деяких вершин порядок залишився (3, 4, 5, 4), а у інших став (3, 4, 4, 5). Однак чому б не розглянути напівправильні багатогранники в слабкому сенсі: вимагати, щоб до кожної вершини сходився однаковий набір багатокутників, але в довільному порядку?

Ріс. 2

Давайте спробуємо перерахувати всі багатогранники, напівправильні в слабкому сенсі. Надихає на таке дослідження наступний більш загальний факт. Відкинемо будь-які умови на вершини і зажадаємо тільки, щоб у багатогранника всі грані були правильними багатокутниками — все одно, крім призм і антипризм, вийде кінцеве число різних багатогранників! Такі багатогранники називаються правильногранними. Повна класифікація правильногранних багатогранників наведена у статті В. А. Залгаллера «Випуклі багатогранники з правильними гранями» (Записки наукових семінарів ЛОМІ, № 2, 1967, с. 5-221). Стаття Залгаллера доступна за адресою — незважаючи на її великий обсяг і складність, ми дуже радимо читачеві ознайомитися з нею.

Сімейство правильногранних багатогранників включає в себе п’ять платонових тіл, 13 архімедових плюс псевдоромбокубооктаедр, нескінченні серії призм і антипризм, а також ще 91 багатогранник. Ці останні багатогранники називаються джонсоновими тілами на ім’я автора статті, в якій вони вперше всі були перераховані: N. W. Johnson. Convex polyhedra with regular faces (Canadian Journal of Mathematics, vol. 18, 1966, p. 169–200). Псевдоромбокубооктаедр також належить до джонсонових тіл, якщо його не зараховувати до архімедових; тоді джонсонових тіл стає 92. У своїй роботі Н.Джонсон наводить перелік усіх джонсонових тіл, але не доводить, що інших не буває (це зробив у згаданій вище статті В. А. Залгаллер).

Нас цікавлять напівправильні в слабкому сенсі багатогранники, які не є такими в сильному сенсі. Ясно, що всі вони суть джонсонові тіла. Отже, нам достатньо перебрати всі джонсонові тіла і відібрати серед них ті, у яких в кожній вершині сходяться одні й ті ж багатогранники. Особливо зручно робити це за статтею Джонсона, де для кожного багатогранника вказані типи його вершин, тобто які багатокутники і в якій кількості сходяться в кожну вершину.

Наш перебір дає 6 нових правильногранних багатогранників, у яких в кожній вершині сходяться ті ж багатокутники, але в різному порядку. Цікаво, що всі вони виходять з архімедових багатогранників за допомогою операції «повороту шапочки», описаної на початку статті. Перерахуємо ці шість багатогранників.

По-перше, поворотом купола біля ромбоїкоодекаедра, як запропонував нам О. Лазутченко, можна отримати цілих чотири багатогранники (у Джонсона вони мають номери 72-75). Багатогранників вийшло кілька, тому що можна повернути не один, а два або навіть три куполи. Надобно тільки стежити, щоб ці куполи не мали спільних граней: при повороті купол «ламає» всі суміжні з ним куполи. Якщо повернути один купол, то вийде скручений ромбоїкоодекаедр (рис. 3). Два куполи можна повернути двома способами — або один навпроти іншого, і тоді вийде двічі протилежно скручений ромбоїкоподекаедр (рис. 4); або два непротиволежущих, що дає двічі косо скручений ромбоїкоодекаедр (рис. 5). Нарешті, три куполи можна вибрати тільки одним способом; повернувши їх, отримаємо тричі скручений ромбоїкоподекадр (рис. 6). За Залгаллером, скручені версії ромбоїкоподекедра позначаються так: ( overline{M_6} + M_{14} + M_6 ) или ( overline{M_6} + M_{13} + 2M_6 ); ( overline{M_6} + M_{14} + overline{M_6} ); ( 2overline{M_6} + M_{13} + M_6 ); ( 3overline{M_6} + M_{13} ). (Через M_i Залгаллер позначає прості правильногранні багатогранники, які не можна скласти з декількох правильногранних багатогранників; решта правильногранних багатогранників отримуються у вигляді «сум» простих, при цьому риса означає перекручування. Видно, що M₆ — це якраз і є «шапочка», п’ятискатний купол.)

Ріс. 3-6 (зліва направо, зверху вниз)

Ріс. 7

По-друге, зауважимо, що кубооктаедр (рис. 7) складається з двох трьохскатних куполів, причому повернутих один щодо одного так, що трикутні грані верхнього купола суміжні з квадратними гранями нижнього і навпаки. Це пояснює іншу назву кубооктаедра — трискатний повернений бікупол (або трискатний гіробікупол: приставка «гиро», грецького походження, означає «повернений»). Якщо розгорнути один з куполів так, що квадрати будуть суміжні з квадратами, а трикутники з трикутниками, вийде ще одне напівправильне в слабкому сенсі тіло — трискатний прямий бікупол (рис. 8; № 27 за Джонсоном, за Залгаллером 2M₄).

Ріс. 8 і 9

По-третє, ще один багатогранник можна отримати поворотом з ікосодекаедра (рис. 9), повернувши одну його половину. На відміну від попередніх випадків, тут повертається не купол, а більш складна конструкція, звана ротондою (рис. 10). Виходить напівправильний у слабкому сенсі багатогранник, званий п’ятискатною прямою біротондою (рис. 11, № 34 за Джонсоном, за Залгаллером 2M₉). Сам ікосодекаедр можна назвати п’ятискатною гіробіротондою.

Ріс. 10 і 11

Нарешті, не рахуючи псевдоромбокубооэдр повноправним архімедовим тілом, Джонсон і Залгаллер також наводять його серед джонсонових (№ 37 у Джонсона ,( M_5 + Π_{8} +overline {M _ 5}) у Залгаллера) під назвою подовжений чотирьохскатний повернений бікупол («подовжений» — тому що в середині між двома куполами призелена.

Таким чином, ми отримали наступну класифікацію правильногранних багатогранників у міру їх «видалення від правильності»:

• всі грані і всі вершини однакові — 5 платонових тіл (правильних багатогранників);
• всі вершини однакові і поєднуються симетрією багатогранника — додається ще 13 архімедових тіл і дві нескінченні серії призм і антипризм;
• всі вершини однакові, але не обов’язково поєднуються симетрією — додається ще псевдоромбокубооэдр;
• в кожній вершині сходиться той же набір багатокутників, але не обов’язково в тому ж порядку — додаються ще 6 багатогранників, отриманих з напівправильних за допомогою перекручування;
• немає умов на вершини — додаються решта 85 джонсонових тіл.

Всього правильногранних багатогранників, не рахуючи призм і антипризм, виходить 5 + 13 + 1 + 6 + 85 = 110 видів.