Що це — поліном і чим він корисний

Поліном, або багаточлен — одна з базових алгебраїчних структур, яка зустрічається в шкільній і вищій математиці. Вивчення полінома — найважливіша тема в курсі алгебри, оскільки з одного боку багаточлені досить прості порівняно з іншими типами функцій, з іншого — широко застосовуються у вирішенні завдань математичного аналізу. Отже, що таке поліном?

Визначення

Визначення терміну поліном можна дати через поняття монома, або одночлена.

Мономом називають вираз вигляду cx₁ⁱ¹x₂ⁱ²… _xⁿⁱn. Тут з — константа, _x1, _x2,… x_n — змінні, i1, i2,… in — показники ступенів змінних. Тоді поліном — будь-яка кінцева сума мономів.

Щоб зрозуміти, що таке поліном, можна подивитися на конкретні приклади.

Квадратний тричлен, детально розглянутий в курсі математики 8-го класу, — це поліном: ax²+bx+c.

Багаточлен з двома змінними може виглядати так: х²-ху + у². Такий поліном називають ще неповним квадратом різниці х і у.

Класифікації поліномів

За ступенем полінома

Для кожного моному у складі багаточлена знаходять суму показників ступеня i1 + i2 +… + in. Найбільшу з сум називають показником ступеня полінома, а одночлен, що відповідає цій сумі, — старшим членом.

До речі, будь-яку константу можна вважати багаточленою мірою нуль.

Наведені та неприведені поліноми

Якщо у старшого члена коефіцієнт дорівнює 1, то багаточлен наведений, інакше — ні.

Наприклад, вираз ^x2 + 2х + 1 — наведений поліном, а 2х² + 2х + 1 — неприведений.

Однорідні та неоднорідні поліноми

Якщо ступені всіх членів полінома рівні, то кажуть, що такий поліном однорідний. Всі інші поліноми вважаються неоднорідними.

Однорідні багаточлені: х²-ху + у2, xyz + ^x3 + y3. Неоднорідні: ^х + 1, х2 + у.

Існують спеціальні назви для полінома з двох і трьох членів: біном і тричлен відповідно.

В окрему категорію виділяють багаточені однієї змінної.

Застосування полінома однієї змінної

Багаточлені однієї змінної добре наближають безперервні функції різної складності від одного аргументу.

Справа в тому, що такі поліноми можна розглядати як часткові суми степового ряду, а безперервну функцію можна уявити у вигляді ряду зі скільки завгодно малою похибкою. Ряди розкладання функції називають рядами Тейлора, а їх часткові суми у вигляді поліномів — багаточленами Тейлора.

Вивчити графічну поведінку функції, апроксимувавши її деяким багаточленом, часто легше, ніж досліджувати ту ж функцію безпосередньо або за допомогою ряду.

Легко шукати похідні багаточленів. Для знаходження коріння у поліномів 4-го ступеня і нижче існують готові формули, а для роботи з більш високими ступенями використовуються наближені алгоритми високої точності.

Існує і узагальнення описаних багаточленів для функцій багатьох змінних.

Біном Ньютона

Знаменитими поліномами є поліноми Ньютона, виведені вченим для знаходження коефіцієнтів виразу (х + у) ⁿ.

Достатньо подивитися на кілька перших ступенів розкладання бінома, щоб переконатися в нетривіальності формули:

(х + у) ² = х² + 2ху + у²;

(х + у) ³ = х³ + 3х²у + 3ху² + у³;

(х + у) ⁴ = х⁴ + 4х³у + 6х²у² + 4ху³ + у⁴;

(х + у) ⁵ = х⁵ + 5х⁴у + 10х³у² + 10х²у³ + 5ху⁴ + у⁵.

Для кожного коефіцієнта існує вираз, що дозволяє його обчислити. Однак запам’ятовувати громіздкі формули і щоразу проводити необхідні арифметичні операції було б вкрай незручно для тих математиків, яким часто потрібні подібні розкладання. Їм значно полегшив життя трикутник Паскаля.

Фігура будується за наступним принципом. У вершині трикутника пишеться 1, а в кожному наступному рядку стає на одну цифру більше, по краях ставлять 1, а середина рядка заповнюється сумами двох сусідніх чисел з попередньої.

При погляді на ілюстрацію все стає зрозуміло.

Зрозуміло, наведеними прикладами, найбільш широко відомими, застосування багаточленів у математиці не обмежується.