Теорія суперечливості буття

Коли мова заходить про найвидатніші відкриття ХХ століття, зазвичай називають теорію відносності Ейнштейна, квантову механіку, принцип невизначеності Гейзенберга. Однак багато великих вчених — математики і філософи — до числа найбільших досягнень наукової думки минулого століття відносять і теорему Гьоделя. Адже якщо епохальні прориви в області фізики дали можливість людському розуму осягнути нові закони природи, то робота Гьоделя дозволила краще зрозуміти принципи дії самого людського розуму, і зробила глибокий вплив на світогляд і культуру нашої епохи.

Хто такий Ґедель?

Курт Ґедель народився 28 квітня 1906 року в Австро-Угорщині, в моравському місті Брно (в ту пору він називався Брюнн). У 18 років він вступив до Віденського університету, де спочатку вивчав фізику, але через два роки переключився на математику. Відомо, що така зміна наукових інтересів відбулася багато в чому під впливом книги Бертрана Рассела «Введення у філософію математики». Ще одним джерелом, яке суттєво вплинуло на формування Гьоделя як вченого, була його участь у роботі «Віденського гуртка». Під цим ім’ям в історію науки увійшли збори блискучих вчених — математиків, логіків, філософів, які регулярно збиралися у Відні з кінця 20-х і до середини 30-х рр. минулого століття. У роботі Віденського гуртка в різний час брали участь такі вчені, як Рудольф Карнап, Отто Нейрат, Герберт Фейгль, Моріц Шлік. З їхньою діяльністю пов’язують становлення філософського позитивізму. Але фактично тематика гуртка охоплювала осмислення загального місця наукового знання в пізнанні природи і суспільства. Кілька міжнародних конференцій, організованих у різних європейських наукових центрах, дозволяють говорити про видатну роль, яку зіграв віденський гурток у становленні фундаментального наукового знання ХХ століття. Курт Ґедель брав участь практично у всіх «четвергових» засіданнях гуртка і в організованих ним міжнародних конференціях. Діяльність гуртка в Австрії перервалася в 1936 році, коли його керівник Моріц Шлик був убитий студентом-нацистом на сходах Віденського університету. Більшість членів гуртка емігрували в США. Туди ж перебрався і Курт Ґедель. Згодом він отримав американське громадянство, працював в Інституті вищих досліджень у Прінстоні. У тому ж місті він і помер у 1978 році. Такою була зовнішня канва його життя. Знайомі і колеги по роботі запам’ятали його як людину замкнутого, болісно пораненого, відваженого від навколишнього світу, повністю зануреного в свої думки.

Курт Ґедель (1906 — 1978). Фото: «У світі науки»

Про те, що логічне осягнення світу займало головне місце в житті вченого, говорить цікава деталь його біографії. У 1948 році, коли вирішувалося питання про отримання ним американського громадянства, Гьодель повинен був відповідно до прийнятої процедури скласти щось на зразок усного іспиту з азів американської конституції. Підійшовши до питання з усією науковою сумлінністю, він досконально вивчив документ, і прийшов до висновку, що в США законним шляхом, без порушення конституції може бути встановлена диктатура. Подібне відкриття мало не коштувало йому провалу на випробуваннях, коли він вступив у дискусію з чиновником, який, зрозуміло, вважав основний закон своєї держави найбільшим досягненням політичної думки. Друзі, серед яких був Альберт Ейнштейн, який виступив одним з двох поручителів Гьоделя при отриманні ним громадянства, умовили його почекати з розгортанням своєї аргументації хоча б до складання присяги. Пізніше історія отримала цікавий епілог: чверть століття потому інший американець, Кеннет Ерроу, удостоївся Нобелівської премії за доказ у загальному вигляді твердження, до якого прийшов Гьодель, вивчивши американську конституцію.

Що ж довів Гьодель?

Перш ніж перейти до викладу теореми, яка знесмертила ім’я Гьоделя, необхідно хоча б коротко розповісти про те, перед якими проблемами опинилася до кінця 20-х років минулого століття математика, точніше, її розділ, що виділився на рубежі XIX — ХХ ст. і отримав назву «основи математики».

Але спочатку, мабуть, варто зупинитися на шкільному курсі геометрії, який і зараз багато в чому повторює «Начала» Євкліда, написані понад 2 тис. років тому. У традиційних підручниках спочатку наводяться деякі твердження (аксіоми) про властивості точок і прямих на площині, з них шляхом логічної побудови відповідно до правил «аристотелівської» логіки виводиться справедливість різних важливих і корисних геометричних фактів (теорем). Наприклад, одна з аксіом стверджує, що через дві точки проходить одна і тільки одна пряма, інше твердження — знаменитий п’ятий постулат, від якого відмовився Лобачевський у своїй неевклидовой геометрії, — стосується паралельних прямих, і т. д. Справжність аксіом приймається як щось очевидне і не вимагає доказів. Заслуга грецького геометра в тому, що він постарався викласти всю науку про просторове розташування фігур як набір слідств, що випливають з декількох базових положень.

Наприкінці XIX століття всі прогалини євклідових «Начал» (з точки зору збільшених вимог математиків до строгості і точності своїх міркувань) були заповнені. Підсумком новітніх досліджень стала книга німецького математика Давида Гільберта «Підстави геометрії».

Успіх методики Євкліда спонукав вчених поширити його принципи і на інші розділи математики. Після геометрії настала черга арифметики. У 1889 році італійський математик Джузеппе Пеано вперше сформулював аксіоми арифметики, що здавалися до смішного очевидними (існує нуль; за кожним числом слідує ще число тощо), але насправді абсолютно вичерпні. Вони грали ту ж роль, що і постулати великого грека в геометрії. Виходячи з подібних тверджень, за допомогою логічного міркування можна було отримати основні арифметичні теореми.

У той же період німецький математик Готліб Фреге висунув ще більш амбітне завдання. Він запропонував не просто аксіоматично затвердити основні властивості досліджуваних об’єктів, а й формалізувати, кодифікувати самі методи міркувань, що дозволяло записати будь-яке математичне міркування за певними правилами у вигляді ланцюжка символів. Свої результати Фреге опублікував у праці «Основні закони арифметики», перший том якого вийшов у 1893 році, а другий зажадав ще десяти років напруженої роботи і був повністю завершений лише в 1902 році.

З ім’ям і науковими вишукуваннями Фреге пов’язана, мабуть, одна з найбільш драматичних історій у розвитку науки про числа. Коли другий том був уже в друку, вчений отримав листа від молодого англійського математика Бертрана Рассела. Привітавши колегу з видатними результатами, Рассел, тим не менш, вказав на одну обставину, що пройшла повз увагу автора. Підступною «обставиною» був «парадокс Рассела», який згодом отримав широку популярність: чи буде безліч всіх безліч, які не є своїми елементами, своїм елементом? Фреге не зміг негайно дозволити загадку. Йому не залишалося нічого іншого, як тільки додати в післямові до виходу з друку другого тому своєї книги повні гіркоти слова: «Навряд чи що-небудь може бути більш небажаним для вченого, ніж виявити, що підстави ледь завершеної роботи впали. Лист, отриманий мною від Бертрана Рассела, поставив мене саме в таке становище… » Засмучений математик взяв академічну відпустку в своєму університеті, витратив масу сил, намагаючись підправити свою теорію, але все було марно. Він прожив ще понад двадцять років, але не написав більше жодної роботи з арифметики.

Однак Расселу вдалося вивести варіант формальної системи, що дозволяє охопити всю математику і вільний від усіх відомих до того часу парадоксів, з опорою саме на ідеї та роботи Фреге. Отриманий ним результат, опублікований 1902 року в книзі Principia Mathematica (написаній спільно з Алфредом Нортом Вайтхедом), фактично став аксіоматизацією логіки, а Давид Гільберт вважав, що його «можна розглядати як вінець усіх зусиль з аксіоматизації науки».

Була і ще одна причина такого пильного інтересу математиків до підстав своєї дисципліни. Справа в тому, що на рубежі XIX і ХХ століть в теорії безліч були виявлені протиріччя, для позначення яких був придуманий евфемізм «парадокси теорії безліч». Найбільш відомий з них — знаменитий парадокс Рассела — був, на жаль, не єдиним. Більш того, для більшості вчених було очевидно, що за відкриттям нових дивацтв справа не стане. Їхня поява справила на математичний світ, за словами Гільберта, «катастрофічний вплив», оскільки теорія безліч грала роль фундаменту, на якому зводилася вся будівля науки про числа. «Перед обличчям цих парадоксів треба визнати, що становище, в якому ми перебуваємо зараз, на тривалий час нестерпне. Подумайте: у математиці — цьому зразку надійності і істинності — поняття і умовиводи, як їх кожен вивчає, викладає і застосовує, призводять до безглуздя. Де ж тоді шукати надійність і істинність, якщо навіть саме математичне мислення дає осічку? «, — журився Гільберт у своїй доповіді на з’їзді математиків у червні 1925 року.

Таким чином, вперше за три тисячоліття математики впритул підійшли до вивчення найглибших підстав своєї дисципліни. Склалася цікава картина: любителі цифр навчилися чітко пояснювати, за якими правилами вони ведуть свої обчислення, їм залишалося лише довести «законність» прийнятих ними підстав з тим, щоб виключити будь-які сумніви, породжуваними злощасними парадоксами. І в першій половині 20-х років великий Гільберт, навколо якого склалася на той час школа блискучих послідовників, в цілій серії робіт намітив план досліджень в області підстав математики, що отримав згодом назву «Геттінгенської програми». У максимально спрощеному вигляді її можна викласти наступним чином: математику можна представити у вигляді набору слідств, що виводяться з деякої системи аксіом, і довести, що:

1. Математика є повною, тобто будь-яке математичне твердження можна довести або спростувати, ґрунтуючись на правилах самої дисципліни.
2. Математика є непротиворечивою, тобто не можна довести і одночасно спростувати будь-яке твердження, не порушуючи прийнятих правил міркування.
3. Математика є дозволеною, тобто, користуючись правилами, можна з’ясувати щодо будь-якого математичного твердження, доводимо воно чи спростовано.

Фактично програма Гільберта прагнула виробити якусь загальну процедуру для відповіді на всі математичні питання або хоча б довести існування такої. Сам учений був упевнений у ствердній відповіді на всі три сформульовані ним питання: на його думку, математика дійсно була повною, непротиворечивой і дозволимою. Залишалося тільки це довести.

Більш того, Гільберт вважав, що аксіоматичний метод може стати основою не тільки математики, але і науки в цілому. У 1930 році в статті «Пізнання природи і логіка» він писав: «… навіть у найбільших за своїм охопленням галузях знання нерідко буває досить невеликого числа вихідних положень, зазвичай званих аксіомами, над якими потім чисто логічним шляхом надбудовується вся будівля розглянутої теорії».

Якими були б для подальшого розвитку науки наслідки успіху Гільберта і його школи? Якби, як він вважав, вся математика (і наука в цілому) зводилася до системи аксіом, то їх можна було б ввести в обчислювальну машину, здатну за програмою, наступною загальними логічними правилами, обґрунтувати будь-яке твердження (тобто довести теорему), що випливає з вихідних тверджень.

Будь теорія Гільберта реалізована, працюючі в цілодобовому режимі суперкомп’ютери безперервно доводили б все нові і нові теореми, розміщуючи їх на незліченних сайтах «всесвітньої павутини». Слідом за математикою «аксіоматична епоха» настала б у фізиці, хімії, біології і, нарешті, черга дійшла б і до науки про людську свідомість. Погодьтеся, навколишній нас світ, та й ми самі, виглядали б в подібному випадку дещо інакше.

Однак «вселенська аксіоматизація» не відбулася. Вся суперамбіційна, грандіозна програма, над якою кілька десятиліть працювали найбільші математики світу, була спростована однією-єдиною теоремою. Її автором був Курт Ґедель, якому на той час ледь виповнилося 25 років.

У 1930 році на конференції, організованій «Віденським гуртком» у Кенігсберзі, він зробив доповідь «Про повноту логічного обчислення», а на початку наступного року опублікував статтю «Про принципово нерозв’язні положення в системі Principia Mathematica і споріднені їй системи». Центральним пунктом його роботи були формулювання і доказ теореми, яка зіграла фундаментальну роль у всьому подальшому розвитку математики, і не тільки її. Мова йде про знамениту теорему Гьоделя про неповноту. Найбільш поширене, хоча і не цілком суворе його формулювання стверджує, що «для будь-якої непротиворечивой системи аксіом існує твердження, яке в рамках прийнятої аксіоматичної системи не може бути ні доведено, ні спростовано». Тим самим Гьодель дав негативну відповідь на перше твердження, сформульоване Гільбертом.

Цікаво, що на цій же конференції з доповіддю на тему «Каузальне знання і квантова механіка» виступив Вернер Гейзенберг. У цій доповіді були намічені перші підходи до його знаменитих «співвідношень невизначеності».

Висновки Гьоделя справили в математичному співтоваристві ефект інтелектуальної бомби. Тим більше що незабаром на їх основі були отримані спростування двох інших пунктів програми Гільберта. Виявилося, що математика неповна, нерозв’язна, і її непротиворечивість не можна довести (в рамках тієї самої системи, непротиворечивість якої доводиться).

Теорема Ґеделя

Відтоді минуло три чверті століття, але суперечки про те, що ж все-таки довів Гьодель, не вщухають. Особливо спекотні дебати йдуть в навколонаукових колах. «Теорема Ґеделя про неповноту є справді унікальною. На неї посилаються щоразу, коли хочуть довести «все на світі» — від наявності богів до відсутності розуму «, — пише видатний сучасний математик В. А. Успенський.

Якщо залишити осторонь численні подібні спекуляції, то потрібно зазначити, що вчені розділилися в питанні оцінки ролі Гьоделя на дві групи. Одні слідом за Расселом вважають, що знаменита теорема, яка лягла в основу сучасної математичної логіки, тим не менш, справила досить незначний вплив на подальшу роботу за межами даної дисципліни — математики як доводили свої теореми в «догеділівську» епоху, так і продовжують доводити їх і донині.

Що ж стосується фантасмагоричного бачення комп’ютерів, які безперервно доводять все нові теореми, то сенс подібної діяльності у багатьох фахівців викликає великий сумнів. Адже для математики важливе не тільки формулювання доведеної теореми, але і її розуміння, оскільки саме воно дозволяє виявити зв’язок між різними об’єктами і зрозуміти, в якому напрямку можна рухатися далі. Без такого розуміння теореми, що генеруються на основі правил формалізованого висновку, являють собою лише свого роду «математичний спам», — така думка співробітника кафедри математичної логіки і теорії алгоритмів мехмату МДУ Олександра Шеня.

Схожим чином міркував і сам Ґьодель. Тим, хто дорікав йому в руйнуванні цілісності фундаменту математики, він відповідав, що по суті нічого не змінилося, основи залишилися як і раніше непорушними, а його теорема призвела лише до переоцінки ролі інтуїції та особистої ініціативи в тій галузі науки, якою керують залізні закони логіки, що залишають, здавалося б, мало місця для подібних достоїнств.

Ґьодель і Ейнштейн (фото: «У світі науки»)

Однак деякі вчені дотримуються іншої думки. Дійсно, якщо вважати вміння логічно міркувати основною характеристикою людського розуму або, принаймні, головним його інструментом, то теорема Ґьоделя прямо вказує на обмеженість можливостей нашого мозку. Погодьтеся, що людині, вихованій на вірі в нескінченну могутність думки, дуже важко прийняти тезу про межі її влади.

Швидше вже мова може йти про обмеженість наших уявлень про власні ментальні можливості. Багато фахівців вважають, що формально-обчислювальні, «аристотелівські» процеси, що лежать в основі логічного мислення, становлять лише частину людської свідомості. Інша ж його область, принципово «невичислювальна», відповідає за такі прояви, як інтуїція, творчі осяяння і розуміння. І якщо перша половина розуму підпадає під ґодельовські обмеження, то друга від подібних рамок вільна.

Найбільш послідовний прихильник подібної точки зору — найбільший фахівець у галузі математики і теоретичної фізики Роджер Пенроуз — пішов ще далі. Він припустив існування деяких квантових ефектів невичислового характеру, що забезпечують реалізацію творчих актів свідомості. І хоча багато його колег критично ставляться до ідеї наділити людський мозок гіпотетичними квантовими механізмами, Пенроуз зі своїми співробітниками вже розробив схему експерименту, який повинен, на їхню думку, підтвердити їх наявність.

Одним з численних наслідків гіпотези Пенроуза може стати, зокрема, висновок про принципову неможливість створення штучного інтелекту на основі сучасних обчислювальних пристроїв, навіть у тому випадку, якщо поява квантових комп’ютерів призведе до грандіозного прориву в області обчислювальної техніки. Справа в тому, що будь-який комп’ютер може лише все більш детально моделювати роботу формально-логічної, «обчислювальної» діяльності людської свідомості, але «невичислові» здібності інтелекту йому недоступні.

Така лише невелика частина природничих і філософських суперечок, викликаних опублікованою 75 років тому математичною теоремою молодого Гьоделя. Разом з іншими великими сучасниками він змусив людину інакше поглянути на навколишній світ і на самого себе. Найбільші відкриття першої третини ХХ століття, в тому числі теорема Гьоделя, а також створення теорії відносності і квантової теорії, показали обмеженість механістично-детерміністської картини природи, створеної на основі наукових досліджень двох передуючих століть. Виявилося, що і шляхи розвитку світобудови, і моральні імперативи підпорядковуються принципово іншим закономірностям, де мають місце і невтомна складність, і невизначеність, і випадковість, і незворотність.

Однак наслідки великого наукового перевороту не вичерпуються вже згаданими. До початку ХХ століття ідеї лапласівсько-ньютонівського детермінізму мали величезний вплив на розвиток суспільних наук. Слідом за корифеями класичного природознавства, що представляли природу у вигляді жорсткої механічної конструкції, де всі елементи підпорядковуються суворим законам, а майбутнє може бути однозначно передбачене, якщо відомий поточний стан, жерці діячі суспільних наук малювали людське суспільство, підпорядковане непохитним закономірностям і що розвивається в заздалегідь заданому напрямку. Однією з останніх спроб зберегти подібну картину світу був, мабуть, марксизм-ленінізм, прихильний концепції «єдино вірного наукового вчення», складовою частиною якого було «матеріалістичне розуміння історії». Досить згадати ленінську ідею побудови соціалістичного суспільства за типом «великої фабрики».

Поступово з величезними труднощами ідеї про складність, випадковість, невизначеність, що утвердилися в природничій картині світобудови, стали проникати і в соціальні та гуманітарні науки. У суспільстві непередбаченість реалізується через феномен особистої свободи індивідуума. Саме присутність у природі людини як суб’єкта, що здійснює вільний і непередбачуваний вибір, робить історичний процес складним і не підкоряється жодним непохитним законам вселенського розвитку.

Однак не можна не помітити, що набуття нової картини складного світу в нашій країні відбувалося з величезними труднощами. Панувала сім десятиліть ідеологія тяжіла до детермінізму лапласівського типу як філософії загального авторитарного порядку. Саме такий принцип зумовленості лежав в основі мрії, яка ніколи не покидала правлячу радянську бюрократію, про суспільство-фабрику, керовану жорсткими законами ієрархії. І тому щоразу, як мова заходила про складність, плюралізм, різноманітність, будь то теорія відносності, квантова механіка, генетика, кібернетика, соціологічні дослідження, психоаналіз і т. д., — відразу включався механізм ідеологічної цензури, який мав на меті вигнати всі згадки про свободу і з природи, і з суспільства. На жаль, косна спадщина досі похмурою тінню тяжіє над розумами багатьох наших співвітчизників і сучасників. Свідченням тому — ініційовані владою болісні пошуки нової «національної ідеології», яка могла б зайняти місце, що звільнилося у зв’язку зі смертю комуністичної доктрини.

Так Курт Ґедель і його великі сучасники змусили нас по-новому поглянути і на «зоряне небо над головою, і на моральний закон всередині нас», і на суспільство, в якому ми живемо.