Випадання орла або решки можна точно передбачити

Ріс. 1. Тривимірна модель неідеальної монети. Ріс. з обговорюваної статті у Physics Reports

Орел чи решка? За певних умов результат кидання монети можна точно передбачити. Цими певними умовами, як показали нещодавно польські фізики-теоретики, є висока точність у завданні початкового положення та швидкості падіння монети.

Випадання орла або решки при киданні монети — класичний приклад випадкового процесу з рівновірогідним результатом. Порівняно недавно з’явилася стаття польських фізиків, які провели теоретичне дослідження цього явища і дійшли висновку, що, в принципі, є можливість точно передбачити результат випадання монети.

Нічого екстраординарного в методі дослідження даної проблеми фізиками не було придумано. Для початку у своїй статті вони представили монету у вигляді циліндра радіусом r і висотою (товщина монети) h (див. рис. 1)

Далі дослідники говорили вже про монету як про тверде тіло, у якого центр мас може збігатися з геометричним центром (на рис. 1 точки В і С повинні бути поєднані — 3D-ідеальна монета), або, що ближче до реальної ситуації, — координати геометричного центру і центру мас різні (3D-неідеальна монета — див. рис. 1).

Для повного аналізу автори розглядають надалі монету не тільки як 3D-модель, але і спрощують її двомірним (2D) варіантом, що означає, що товщину монети можна не враховувати, h = 0. Чому це можливо, буде сказано нижче.

Падіння монети і її подальші зіткнення з поверхнею описувалися з використанням параметрів Родріга — Гамільтона. Цей спосіб опису твердого тіла заснований на застосуванні апарату кватерніонів (в англомовній літературі параметри Родріга — Гамільтона називають параметрами Ейлера; не плутати з ще одним методом опису — кутами Ейлера, Euler angles). Перевага кватерніонного способу полягає в тому, що дозволяє уникнути сингулярностей у процесі вирішення рівнянь руху (почитати про застосування кватерніонів для опису кінематики і динаміки твердого тіла можна тут, PDF, 1 Мб).

Вчені займалися вивченням падіння монети гідністю в один злотий, маса якої становила 2 г, радіус 1,25 см і товщина 0,2 см, і в своїх розрахунках вони виходили з цих параметрів. Передбачалося, що центр мас монети може бути зміщений на деяку відстань (3D-модель неідеальної монети), а може бути не зміщений (3D-модель ідеальної монети). Аналогічні варіанти були розглянуті і для 2D-моделей з геометричним центром, що збігається і не збігається, і центром мас.

Рис, 2. Вектор швидкості точки А і його скалярні компоненти безпосередньо після зіткнення з поверхнею. Ріс. з обговорюваної статті у Physics Reports

Отже, нехай монета падає з висоти z₀ (іншими словами, початкове положення центру мас (x₀, y0, z₀)), перед початком свого руху вона орієнтована в просторі під кутами (­ ₀, ­ ₀, ­ ₀), початкова швидкість руху центру мас-досліджуваного об «_{єкта (^ 0x}, ­ _0y, ­ _0z) та початкові кутові швидкості монети _{(­ 0}, ^ ­ _{0, ­ 0}). Варто зазначити, що процес ударіння монети з поверхнею не ідеальний (тобто не є ні абсолютно пружним, ні абсолютно неспругим). Існує коефіцієнт відновлення   < 1, який дорівнює, де   Az і _^’Az — проекції на вісь z швидкості точки А безпосередньо до і після зіткнення з поверхнею (див. рис. 2).

Опір повітря при падінні і обертанні монети також враховується. Для цього був проведений спеціальний експеримент з визначення нормального _{плеча n} і тангенціального _{осередку} (монета обертається при падінні) коефіцієнтів опору повітря при падінні монети. Ці величини виявилися рівними 0,8 і 0,2 відповідно. Результат чисельного моделювання (вирішення рівнянь руху) падіння монети представлений на рис. 3.

Рис, 3. Результат чисельного моделювання падіння монети: а) 3D-неідеальна монета, b) 3D-ідеальна монета, c) 2D-неідеальна монета, d) 2D-ідеальна монета. Ріс. з обговорюваної статті у Physics Reports

Після цього автори відстежили залежність координати z (поточної висоти монети) від часу для випадку слабо змінюваної початкової висоти падіння: z₀ = 0,40001 м (рис. 4a), z₀ = 0,40002 м (рис. 4b), z₀ = 0,40003 м (рис. 4c), z₀ = 0,40004 м (рис. 4d), z₀ = 0,40005 м (рис. 4e) і z₀ = 0,40006 м (рис. 4f). Решта початкових умов були такими: x₀ = y₀ = 0, ν_0x = ν_0y = ν_0z = 0, φ₀ = ψ₀ = 0, θ₀ = 7π/180, ω_ξ0 = 0, ω_ζ0 = 0, ω_η0 = 40,15 рад/с.

Рис, 4. Результати кидання монети з висоти a) z₀ = 0,40001 м, b) z₀ = 0,40002 м, c) z₀ = 0,40003 м, d) z₀ = 0,40004 м, e) z₀ = 0,40005 м і f) z₀ = 0,40006 м. Для всіх випадків x0 = y0 = 0, _{^ 0x} =   0y = ^ 0z = 0, ^ ₀ = ^ ₀ = 0, _{^ 0} = 7./180, _{^ 0} = 0,   _{— 40,15} радий/с,   = 0,8. Ріс. з обговорюваної статті. Пряма, паралельна осі t, відповідає координатам центру мас монети, коли та стоїть руба на поверхні. Ріс. з обговорюваної статті у Physics Reports

Деталізована поведінка монети при зіткненні з поверхнею в інтервалі 1-1,5 секунди руху представлена на рис. 5.

Рис, 5. Деталізація графіків, наведених на рис. 3, в інтервалі часу від 1 до 1,5 секунд. a) z₀ = 0,40001 м, b) z₀ = 0,40002 м, c) z₀ = 0,40003 м, d) z₀ = 0,40004 м, e) z₀ = 0,40005 м і f) z₀ = 0,40006 м. Для всіх випадків x0 = y0 = 0, _{^ 0x} =   0y = ^ 0z = 0, ^ ₀ = ^ ₀ = 0, _{^ 0} = 7./180, _{^ 0} = 0,   _{— 40,15} радий/с,   = 0,8. Ріс. з обговорюваної статті. Пряма, паралельна осі t, відповідає координатам центру мас монети, коли та стоїть руба на поверхні. Ріс. з обговорюваної статті у Physics Reports

Звідси отримуємо послідовність, що показує, як змінюється по відношенню до спостерігача сторона монети, що падає з заданої висоти z₀, при кожному ударінні з поверхнею:

H HHH HHH HHH T T T HH для z0 = 0,4₀001

H HHH HH TT HHH T T T для z0 = 0,4₀002

H HHH HHH HH H T T T T T T для z0 = 0,400₀3

H  HHH  TTT  TTT  T  H  H  H  H  H для z₀ = 0,40004

H  HHH  HHH  TTT  HHH  H  T  TT для z₀ = 0,40005

H  HHH  HHHH  TT  T  HHHHH  TT для z₀ = 0,40006.

Тут H позначає орла (head), T — решку (tail), а гурток «розділяє» кожне ударіння монети з поверхнею.

Цікаво, що існує, як показали автори, два механізми «перемикання» сторони монети з орла на решку і навпаки (рис. 6). Якщо момент імпульсу монети малий, то зміна сторін монети відбувається в результаті дуже коротких, експоненційно прагнучих до нуля проміжків часу зіткнення — «дребіждань» (рис. 6a; саме ці «дребіжання» і відповідальні за послідовність з однакових H або T, що виникає в процесі розрахунків, — див. вище); в іншому випадку, коли момент імпульсу монети досить великий порівняно з першим сценарієм поведінки, «перемикання» між сторонами монети відбувається над поверхнею (рис. 6b).

Рис. 6. Два типи ударів монети, які призводять до зміни сторони монети: а) послідовність «жеребкувань» монети з маленьким моментом імпульсу, b) зіткнення з поверхнею монети з великим моментом імпульсу. Ріс. з обговорюваної статті у Physics Reports

Загалом, неважко помітити, що маленька зміна однієї з початкових умов (в даному випадку висоти падіння) призводить до значної відмінності траєкторії руху монети і, відповідно, до зміни кінцевого результату випадання. Особливо добре це видно на прикладі траєкторій руху центру мас монети (рис. 7).

Рис, 7. Траєкторії центру мас монети. Початкові умови ті самі (див. рис. 3 і 4). Ріс. з обговорюваної статті у Physics Reports

Підсумовувавши всі отримані результати, дослідники роблять локальні висновки щодо руху монети:

1) якщо відстань між геометричним центром і центром мас монети дуже мало, то можна без втрати точності розглядати почесну модель ідеальної монети (тобто не враховувати її товщину);

2) коли висота падіння монети маленька, наприклад як в описаних вище прикладах чисельного моделювання, то опору повітря справляє дуже слабкий вплив на результат випадання, а тому цим опором можна знехтувати.

Власне, після всіх цих обчислень, моделювань і картинок у читача напевно з’явиться питання: так чому випадання орла або решки прийнято називати випадковим процесом?

Відповідь криється в аналізі фазових «портретів» руху монети. Рівняння, якими оперують автори дослідження, визначають часові залежності шести координат (три декартові + три кутові). Якщо зафіксувати всі початкові умови крім, наприклад, двох — z₀ і _^  , — і зобразити фазовий простір (грубо кажучи, безліч станів) монети для різної кількості зіткнень, то можна побачити наступну картину, представлену серією графіків на рис. 8.

Рис, 8. Фазові «портрети» руху 2D-ідеальної монети, що показують, для яких двох початкових параметрів при зафіксованих інших чотирьох, реалізуються випадання орла (чорні області), а для яких решки (білі області) після n-го зіткнення з поверхнею. (a, e) n = 0, (b, f) n = 2, (c, g) n = 5, (d, h) n = 9. (a-d) — опір повітря враховувався, (e-h) — опір повітря не враховувався. Ріс. з обговорюваної статті у Physics Reports

Тут білі області позначають безліч початкових умов, які необхідні для випадання решки, чорні ділянки — для випадання орла. Чим більше відбувається зіткнень монети з поверхнею, тим менше розміри областей, а значить, вже інтервал початкових умов, що відповідають однозначному результату — орлу або решці. Зауважимо, що йдеться лише про почесний фазовий простір, тобто змінюються лише дві початкові умови. Зрозуміло, зобразити шестимірний простір (початкових умов всього 6) складно, але вже цього прикладу достатньо для того, щоб зрозуміти наскільки високою має бути точність у завданні початкових умов — найменша їх зміна може сильно вплинути на кінцевий підсумок кидання. Фізики в таких випадках кажуть, що фазовий простір монети являє собою дивний атрактор (найбільш відомим прикладом дивного атрактора є атрактор Лоренца).

Таким чином, якщо ставити початкові умови з відповідною точністю, то результат падіння монети можна передбачити. Залишилося лише розібратися, що це за «відповідна точність». Польські вчені дійшли висновку, що послідовність випадання монети буде випадковою, якщо виконується співвідношення ­ W, де W — ширина області даного стійкого стану монети. Як бачимо з рис. 8, співвідношення ­ W особливо добре буде виконуватися вже після другого ударіння монети з поверхнею, при цьому фазовий простір монети нагадує фрактал, тому має сенс говорити навіть про процес «фракталізації» фазового простору в міру збільшення зіткнень монети з поверхнею.

Головний результат дослідження такий. Хоч різниця в граничних умовах між випадінням орла або решки «гладка», але на практиці ця різниця настільки мала, що врахувати її в реальності дуже складно — найменша неточність у завданні початкових умов призведе до невизначеності в результаті передбачення орла або решки (особливо якщо кількість зіткнень монети з поверхнею більше 2).

Джерело: J. Strzałko, J. Grabski, A. Stefański, P. Perlikowski, T. Kapitaniak. Dynamics of coin tossing is predictable // Physics Reports (7 September 2008); doi:10.1016/j.physrep.2008.08.003.

Юрій Єрін