Арифметика для купців

За часів епохи Відродження розвиток торговельних зв’язків між європейськими містами призвів до нових видів комерційних відносин.

Вміння торгуватися, поводитися з валютою різних країн, складати кошторис, оформляти кредити, вести складну бухгалтерію стало необхідним. З’явилися спеціальні школи, де сини купців могли навчитися арифметики. Для цих шкіл були написані підручники з математики. Як правило, в цих підручниках розбиралися приклади практичних підрахунків, пропонувалася довідкова інформація про курси валют, а також поради про те, як вести облік продажів.

Наприклад, у знаменитій німецькій книзі «Швидкий і приємний рахунок для всіх торговців», виданій Йоганном Відманом в 1489-му році, можна зустріти таке завдання:

Одна людина прийшла до міняйла у Відні з 30-ма монетами в нюрнберзькій валюті: «Будь ласка, поміняйте мої 30 монет і дайте мені стільки віденських монет за них, скільки вони коштують». Міняла не знав, скільки віденських монет він повинен дати людині. Тоді він пішов у грошову контору, і там йому дали пораду: 7 віденських монет стоять 9 монет з Лінца, 8 монет з Лінца стоять 11 монет з Пассау, 12 монет з Пассау стоять 13 монет з Фільсхофена, 15 монет з Фільсхофена стоять 10 монет з Регенсбурга, 8 монет з Регенсбурга стоять 18 монет з Ноймаркта, а 5 монет з Ноймаркта коштують 4 нюрнберзькі. Скільки віденських монет коштують 30 нюрнберзьких монет?

Однак, незважаючи на те, що в Європі в XIV столітті вже були широко поширені арабські цифри, єдиних позначень для багатьох стандартних математичних операцій як і раніше не існувало, а вирішення завдань записувалися не так, як ми звикли записувати їх сьогодні в наших школах. Ось кілька прикладів з італійської «Книги Рахунку», складеної Джироламо і Джіованні Тальєнте приблизно в 1520-му році. Чи зможете ви самі здогадатися, що представлено на цих діаграмах (вони наведені внизу сторінки)?

Ви, напевно, відразу здогадалися, що, наприклад, на першому малюнку число 67048164, написане внизу, — це твір чисел 9876 і 6789. Дійсно, діаграми пояснюють множення багатозначних чисел. Але що означають інші числа? Виявляється, це проміжні результати. У школі нас навчили множити багатозначні числа стовпчиком. Але є й інші способи знайти твір двох чисел, і один з них — це множення ґратами. І сьогодні в деяких школах в інших країнах цього методу навчають нарівні зі звичним нам методом множення стовпчиком.

Ось як працює цей спосіб. Припустимо, ми хочемо помножити 876 на 45. Намалюємо таблицю розміром 3 на 2 клітини — за кількістю цифр у множниках. Напишемо над стовпчиками цифри першого множника, числа 876, а поруч з рядками — цифри другого множника, числа 45. Кожну клітку розділимо діагоналлю на дві частини. Заповнимо кожну клітку таблиці результатом множення однозначних чисел відповідних цифрам, поставивши число десятків над діагоналлю, а число одиниць під діагоналлю клітини. Отримаємо ось такий результат:

Далі, починаючи з нижньої правої клітини, складемо числа вздовж косих смуг, які ми відзначили кольором, що чергується, на наступній діаграмі. Як і в звичайному множенні стовпчиком, під кожною смугою запишемо число одиниць суми, а число десятків перенесемо в наступну смугу.

Діаграма дала нам результат множення: 876 · 45 = 39420.

Застосуємо тепер метод множення решіткою до числа 9876 і 6789 з «Книги Рахунку». Але виділимо в таблиці косі смуги в іншому напрямку, відмінному від стандартного методу. Подивіться, що вийшло в таблиці у виділених кольором діагоналях!

Отже, діаграма зі старовинної книги пояснює алгоритм множення, схожий на метод множення решіткою, і «в перекладі» на сучасну мову арифметики представляє таке обчислення:

Сподіваємося, що ви розібралися в цьому нескладному методі множення і тепер легко знайдете кілька помилок у старовинному італійському довіднику.

Художник Марія Усеїнова

Відповідь до завдання

30 нюрнберзьких монет — це 13 і 23/429 віденських монет.

Помилки

На третій діаграмі перший множник 987, а не 927. На другій діаграмі перший множник 98765, а не 98707, і проміжний результат 7272, а не 7278.