Чи потрібна фізикам теорія категорій?

Теорія категорій — один з найбільш абстрактних розділів математики, що займається математичними структурами і зв’язками між ними (зображення з сайту haskell.org)

Математик з Оксфордського університету Боб Коуке стверджує, що один з найбільш абстрактних розділів математики — теорія категорій — може виявитися найбільш зручною «мовою» квантової механіки.

Така вже властивість нашого світу, що фізичні явища найефективніше описуються за допомогою математики. Математичних методів у фізиці придумано безліч — від простих прийомів при вирішенні конкретних рівнянь до використання теорії груп або залучення ще більш складних об’єктів.

Але наскільки далеко в область абстрактного корисно заглядати фізиці? Чи знайдеться місце в теоретичній фізиці, наприклад, такому абстрактному розділу математики, як теорія категорій, яку навіть самі математики іноді називають «абстрактною нісенітницею»?

Нещодавно в архіві е-принтів з’явилося есе Боба Коуке (Bob Coecke), співробітника Обчислювальної лабораторії Оксфордського університету, озаглавлене «Введення в теорію категорій для практикуючого фізика» (Introducing categories to the practicing physicist). У ньому автор захищає точку зору, яка напевно здивує багатьох фізиків. Він вважає, що фізикам-теоретикам просто необхідно знати і вміти застосовувати теорію категорій, оскільки вони і так працюють з категоріями (в математично суворому сенсі слова), самі того не підозрюючи!

Що дивного в цьому твердженні? Справа в тому, що коли фізик-теоретик пише свої формули, він все ж тримає в голові ту реальну природну систему, з якою він намагається розібратися. А теорія категорій — це настільки абстрактна область математики, що спочатку навіть незрозуміло, до чого взагалі в нашому світі може ставитися ця теорія.

Тут варто пояснити, що хоча математика і тяжіє до вивчення абстрактних об’єктів, рівень абстракції може бути дуже різний. Найпростіша абстракція — це перехід від «двох яблук», «двох каменів» тощо. до поняття числа 2; перехід від «я повернувся боком», «камінь повернувся боком» до поняття повороту на 90 °. При цьому маніпулювання предметами замінюється на універсальні закони роботи з числами (або з перетвореннями, або з чимось ще).

Абстракція наступного рівня виникає, коли розумієш, що правила поводження з числами 2, 3, 15 тощо. по суті однакові. Всі ці числа можна складати, перемножувати, для них працюють переміщувальний, поєднувальний та інші закони. Іншими словами, всі цілі числа «грають за одними правилами». Тому часто корисно оперувати не з конкретними числами, а з новим математичним об’єктом — кільцем цілих чисел. Подібно, різні повороти предмета в просторі є елементами нового математичного об’єкта — групи тривимірних обертань.

Третій рівень абстракції — це коли зникає «відчутність» елементів груп, кілець, полів. Тут вже розглядаються не конкретні групи обертань або інших перетворень, а просто абстрактні групи — сукупності елементів з суворо окресленими властивостями. Тут на перший план виходить те, яка структура групи, а не те, з чого вона «складається». Властивості всіляких непротиворечивых математичних структур, безвідносно до того, де саме ці структури виникають, вивчає абстрактна алгебра.

Теорія категорій пропонує піднятися ще вище, на четвертий рівень абстракції. У ній вивчаються вже не конкретні групи, а мережа математичних взаємозв’язків між різними групами. Аналогічно, вивчається мережа взаємозв’язків між різними типами просторів або між різними кільцями. Більш того, виявляється, що ці мережі взаємозв’язків (груп, полів, просторів і т. д.) — дуже шаблонні. Між ними (між мережами!) можна встановити паралелі, і за допомогою цих паралелей високого рівня іноді вдається вирішити дуже важкі, але цілком конкретні завдання.

Автор есе стверджує, що саме «досвід розпізнавання структур», який вже накопичила теорія категорій, буде дуже корисний фізикам-теоретикам. Як конкретний приклад він бере такий розділ фізики, як квантова механіка, і поступово облягає її в категоричну форму. Виявляється, багато ключових для квантової механіки поняття, наприклад принцип суперпозиції (завдяки якому можливі заплутані стани), локальність, причинність тощо, виникають у відповідних категоріях самі собою. У них навіть знаходяться готові аналоги для не до кінця понятого процесу вимірювання квантової системи.

Розроблений авторами «картиночний формалізм» дозволяє ефективно доводити твердження в квантовій механіці, не вдаючись до довгих формул (зображення зі статті B. Coecke, Kindergarten Quantum Mechanics)

У чому користь від такого переформулювання квантової теорії? Раз квантова механіка точнісінько вписується в «трафарет» теорії категорій, то значить мережу взаємозв’язків між квантовими об’єктами можна як би побачити «з висоти пташиного польоту», не вдаючись до конкретних обчислень. І тоді деякі нетривіальні результати квантової теорії (наприклад, теорема про неможливість клонування квантового стану, квантова телепортація тощо) стають дуже природними в категоричному формулюванні.

Міць теорії категорій можна поставити «на конвеєр» і використовувати в рутинних обчисленнях. Кілька років тому Боб Коуке з колегами на основі теорії категорій розробив простий «картиночний формалізм», що замінює собою формульні обчислення в квантовій теорії інформації. Цей формалізм є, по суті, почесною версією формалізму бра- і кет-векторів, створеного на зорі квантової механіки Полем Діраком. Щоб підкреслити, наскільки простими стають обчислення в цьому підході, автор назвав одну зі своїх статей «Дитсадівська квантова механіка» (Kindergarten Quantum Mechanics).

Автор есе у висновку каже, що категорії є потужним і гнучким «шаблоном», з уже готовими конструкціями і теоремами, за яким можна будувати різні фізичні теорії, а не тільки квантову теорію інформації. Можливо, з їх допомогою будуть відкриті нові глибокі зв’язки між вже існуючими теоріями. Тому він закликає до того, щоб включати курс теорії категорій в університетські програми не тільки математиків, а й фізиків і навіть інформатиків.

Джерело: B. Coecke. Introducing categories to the practicing physicist // препринт arXiv:0808.1032 (7 August 2008).

Див. також:

1) S. Abramsky, B. Coecke. Categorical quantum mechanics//препринт arXiv:0808.1023 — голова у книзі «Handbook of Quantum Logic and Quantum Structures», vol. II, Elsevier, 2008.2)

B. Coecke. Kindergarten Quantum Mechanics//препринт quant-ph/0510032 — лекції, прочитані на різних конференціях і школах.3) A.

Doering, Ch. Isham. ‘What is a Thing?’: Topos Theory in the Foundations of Physics//препринт arXiv:0803.0417 — ще один, не менш абстрактний підхід до побудови фізичних теорій.

Ігор Іванов