Чітність

Одного разу два школярі, Андрій і Альоша, розважалися такою грою. Вони одночасно називали за натуральним числом. Потім ці два числа перемножували. Якщо твір виходив чіткий, то вигравав Андрій, а якщо непарний, то Альоша.

А ви погодилися б грати в цю гру за Альошу? Якщо хоч трохи подумати, то стає ясно — Андрій буде завжди вигравати, просто називаючи чітке число.

Напевно, найвідоміша задача «на чітність» — це завдання про шістки.

Одинадцять шісток з’єднані по ланцюжку так, як показано на малюнку. Чи можуть вони обертатися одночасно?

Перш ніж читати далі, спробуйте відповісти самостійно. Щоб вирішити завдання, уявімо собі ці шістки обертовими. Припустимо, перша шістка крутиться по годинниковій стрілці. Тоді друга обертається проти годинникової, третя — за годинниковою стрілкою, четверта — проти, і так далі. Одинадцята шістка буде обертатися за годинниковою стрілкою, а значить, перша — проти, чого не може бути: ми припустили протилежне.

Ось, на перший погляд, зовсім несхоже завдання.

а) По колу стоять 10 кошиків. Чи можна розкласти в них кілька кавунів так, щоб у будь-яких двох сусідніх кошиках число кавунів відрізнялося на 1?

б) А якщо кошик 15?

Пункт а) вирішується зовсім просто: наприклад, розкладаємо в кошики по черзі то 1, то 2 кавуни.

А як вирішувати пункт б)? Рівно такий спосіб розкладки не підходить, але, може, є якісь інші?

Виявляється, як не розкладай кавуни, виконати умову не вийде. Згадаймо завдання 1: у ній будь-які дві сусідні шістки оберталися в різні боки. У випадку з кошиками теж можна вказати важливу відмінність сусідніх кошиків: числа кавунів у них різної чітності! Якщо в одному кошику чітке число кавунів, то в наступному — непарне, в наступному — знову чітке, і так далі. Почнемо з одного з кошиків і пройдемося по колу — вийде, що число кавунів у цьому кошику чітке і непарне одночасно, а так не буває.

У наступному завданні, здавалося б, чіткість зовсім ні при чому.

Давним-давно барон Мюнхгаузен свої володіння обніс парканом і намалював на карті. Паркан зображений замкнутою ламаною, всередині якої — володіння барона. Барон забув, чи входить у його володіння село Гаузенівка. Він зміг знайти лише уривок карти (див. малюнок на полях), на який потрапили його будинок, село Гаузенівка і частина паркану, що проходить по цій ділянці. З’ясуйте, чи село входить у володіння барона?

Кожен розуміє — якщо перелізеш через паркан між двома дворами, то з одного двору потрапиш в інший. І це все, що нам знадобиться. Проведіть на карті шлях так, щоб один його кінець був у володіннях барона, а інший — у селі. Відзначте точки цього шляху, в яких треба перелазити паркан. Подумки пройдемо цим шляхом, почавши з володінь барона.

Після першого перелізання через паркан ми опинимося поза володінням, після наступного знову потрапимо у володіння барона, і так далі. Тому якщо кількість точок перелізання чітка, обидва кінці шляху знаходяться у володіннях барона, а якщо непарно — то ні. А скільки точок вийшло у вас? Повинно було вийти непарне число, тобто село не належить барону.

А у нас в класі 25 людина, і кожен дружить рівно з сімома однокласниками! —

Не може бути цього, — відповів приятелю Вітя Іванов, переможець олімпіади. Чому?

Давайте подумки відзначимо на аркуші 25 точок — це будуть учні класу. А потім проведемо відрізки, що символізують дружбу: якщо два учні дружать, то з’єднуємо їх точки відрізком. Увага, питання: скільки всього ми проведемо відрізків? Здається, це легко зрозуміти. З кожної точки виходить по 7 відрізків (адже кожен дружить з сімома однокласниками).

Всього точок 25, з кожної — по 7 відрізків, значить, всього відрізків начебто виходить 25· 7 = 175?

Перевіримо на маленьких числах. Нехай всього хлопців троє, і кожен дружить з двома. Малюнок виходить дуже простий — три точки з’єднані попарно відрізками (як у трикутнику). А за нашою формулою виходить 3· 2 = 6. У чому помилка? Справа в тому, що ми кожен відрізок зарахували два рази! Скажімо, якщо в класі Петя і Вася дружать, то їх відрізок-дружбу ми врахували і коли рахували Петіни відрізки, і коли рахували Васіни. Тому для правильної відповіді треба ще на 2 поділити. У випадку з трьома школярами якраз отримуємо три відрізки — шість ділимо на два. А у вихідному завданні виходить 175/2 відрізків. Але це ж неціле число, так не буває!

а) Чи можна замінити зірочки у рівності 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 = 0 на знаки «+» або «-» так, щоб рівність

стала вірною? б) Те саме питання для рівності 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 0.

У рівності з пункту а) знаки розставити можна (зробіть це!).

А ось в пункті б) спроби до успіху не приводять.

Давайте розберемося, чому. Припустимо, що знаки можна розставити так, щоб рівність виконувалася. Перенесемо всі числа зі знаком «-» в праву частину. Отримаємо, що сума декількох чисел з 1, 2, 3,…, 9 (тих, які стоять ліворуч від знака рівності) дорівнює сумі решти чисел (тих, які стоять праворуч). Але тоді загальна сума чисел від 1 до 9 чітка.

А це неправильно: сума чисел від 1 до 9 дорівнює 45.

Розбиття на пари

Що більше: сума всіх чітких чисел першої сотні або сума всіх її непарних чисел? На скільки?

Для вирішення цього завдання зовсім не потрібно обчислювати ці суми, а потім порівнювати. Розіб’ємо числа від 1 до 100 на пари: 1 і 2, 3 і 4, 5 і 6,…, 99 і 100.

У кожній парі одне число чітке, а інше непарне, причому на 1 менше. А всього пар 50. Отже, сума непарних чисел першої сотні на 50 менша, ніж сума чітних чисел першої сотні.

Чи можна з одиничних кубиків склеїти тіло, поверхня якого складається з непарної кількості одиничних квадратиків? (Якщо якісь два кубики приклеюються один до одного, то по межі.)

Звичайно, відповідь — не можна. Скільки окремих кубиків не візьми, їх загальна поверхня складається з чіткого числа квадратиків. При склеюванні кубиків якісь квадратики можуть зникнути, наклавшись один на одного. Але зникають вони завжди парами — якщо зник один квадратик, то зник і той, який до нього приклеївся. Тому зникне чітке число квадратиків, а вихідно їх була теж чітка кількість — значить, і залишиться на поверхні тіла чітке число квадратиків.

Завдання для самостійного вирішення

8. Коник вміє стрибати вздовж прямої на 6 см і на 8 см (у будь-який бік). Чи зможе він потрапити в точку, відстань від якої до вихідної дорівнює а) 1,5 см; б) 7 см; в) 4 см?

9. Чи можна розрізати квадрат 5 порожній 5 на доміношки 1 2?

10. З книги випав шматок, його перша сторінка має номер 463, а номер останньої записується тими ж цифрами, але в якомусь іншому порядку. Скільки сторінок у шматку?

11. Кілька хлопчиків і дівчаток встали по колу. Виявилося, що у кожного або обидва сусіди дівчинки, або обидва сусіди хлопчики. Всього в колі 5 хлопчиків. А скільки дівчаток?

12. У Петі і Васі є купка з 777 сірників. Ходять по черзі, починає Петя, за хід беруть 7 або 77 сірників.

Програє той, хто не може зробити хід. Хто виграє?

13. а) Намалюйте замкнуту 6-ланкову ламану, кожна ланка якої перетинається рівно з однією з інших ланок. б

) Чи може у ламаної з такою властивістю бути 7 ланок?

14. У рядок написано числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Оля і Даня по черзі ставлять перед яким-небудь з цих чисел знак «+» або «-» (якщо там ще немає знака). Коли перед кожним числом буде стояти знак, обчислюється значення отриманого виразу. Якщо воно чітке, то виграє Даня, а якщо непарне, то Оля. Чи може Даня виграти?

15. Одне число отримали з іншого перестановкою цифр. Чи може сума цих чисел дорівнювати а) 9999; б) 99999?

16. За круглим столом сидять 2013 представників чотирьох племен: люди, гноми, ельфи та гобліни. Відомо, що люди ніколи не сидять поруч з гоблінами, а ельфи — поруч з гномами. Доведіть, що якісь два представника одного і того ж племені сидять поруч.

17. Равлик повзе з точки А з постійною швидкістю, повертаючи на 90 ° в який-небудь бік кожні 15 хвилин. Доведіть, що вона може повернутися в точку А тільки через ціле число годин.

Художник Ольга Демидова