Економічне заняття

— Сьогоднішнє заняття нашого математичного гуртка назвемо економічним.

— Гроші будемо рахувати?

— Ні, трудовитрати в найпростіших геометричних побудовах циркулем і лінійкою.

Нагадаю, що взявши лінійку, ми можемо вибрати дві будь-які точки і провести через них пряму. Узявши циркуль, ми можемо виміряти їм відстань між двома будь-якими точками, а потім помістити вістре циркуля в будь-яку точку і провести коло, радіус якої дорівнює цій відстані. Іноді, щоб не захаращувати креслення, проводять не коло повністю, а тільки її частину, тобто дугу.

А тепер завдання: на площині дані пряма l і точка М поза нею. Хто побудує циркулем і лінійкою перпендикуляр p до прямої l, що проходить через точку М?

— Я!

— Я!

— …

— Бачу, що всі готові. Давайте ви, будь ласка!

Ріс. 1

— Спочатку вибираємо на прямій l довільну точку А і проводимо коло радіусом МА з центром в точці М, що перетинає пряму l ще і в точці В (синя коло на малюнку 1). Потім проводимо ще два кола однакового радіусу з центрами в точках А і В (червоні кола на малюнку 1). Через точку N перетину червоних кола і точку М проводимо пряму — це і буде перпендикуляр p.

— Що ж, побудова бездоганно. Але є кілька питань. По-перше, чи можете ви довести, що пряма p — дійсно перпендикуляр до прямої l?

Ріс. 2

-Звичайно. З’єднаємо точки так, щоб вийшов чотирикутник AMBN (рис. 2). Сторони трикутників MAN і MBN відповідно рівні (за побудовою). Значить, і самі трикутники рівні і «додані» з різних сторін до загальної сторони MN. Тому вони симетричні один одному відносно MN. А з симетрії точок А і В випливає, що вони лежать на одному перпендикулярі до осі симетрії. Так що АВ ⊥ MN.

-Вірно. Додам, що чотирикутник, у якого дві сусідні сторони рівні між собою і дві інші теж рівні, називається дельтоїд. Якраз такий чотирикутник AMBN (в ньому МА = МВ і AN = BN). І тут ви між справою довели, що діагоналі дельтоїду взаємно перпендикулярні.

Тепер друге питання: а якщо синя кола перетнула пряму l тільки в одній точці А (інакше кажучи, точки В і А збіглися)? Тоді ми не зможемо провести дві червоні кола. Як тут бути?

-Я зрозумів! Якщо синя кола має з прямої l лише одну загальну точку, то пряма стосується кола. Оскільки дотична перпендикулярна радіусу, проведеному в точку дотику, відрізок МА перпендикулярен прямий l. Тобто треба відразу провести пряму через точки М і А — це і буде шуканий перпендикуляр.

-Чудово. Зазначу тільки, що так вдало вибрати навмання з нескінченної кількості точок прямої єдину лежачу на перпендикулярі — практично нереально (та й теоретично теж).

І останнє питання: як побудувати перпендикуляр, якщо точка М лежить на прямій l?

— Точно так само! Проводимо синю окружність, отримуємо точки А і В — і так далі…

— Що ж, бачу, матеріал з підручника засвоєний вами накріпко. А тепер щось нове: займемося оцінкою трудомісткості виконаних побудов. Давайте вважати, що проведення будь-якої лінії (прямої або окружності) — це один «хід». Скільки ходів знадобилося для побудови перпендикуляра?

— Чотири: три кола (синя і дві червоних) і потім пряма (тобто сам перпендикуляр).

Рис. 3

— А можна швидше! Знову беремо пряму l і точку М поза нею. Вибираємо на прямій l довільну точку А і проводимо коло радіусом АМ з центром в А (синя коло на малюнку 3). Потім вибираємо на тій же прямій довільну точку В і проводимо коло радіусом ВМ з центром в В (червоне коло на малюнку 3). Ці дві кола перетинаються у двох точках, одна з яких — задана точка М, а друга позначимо літерою N. Нарешті, проводимо відрізок MN, який і буде шуканим перпендикуляром. Разом — три ходи замість чотирьох!

— А це правда перпендикуляр?

-Звичайно. Якщо подумки провести відрізки і утворити чотирикутник AMBN, то в ньому AM = AN (як радіуси однієї кола) і BM = BN (з тієї ж причини). Значить, AMBN — дельтоїд, який тільки «лежить на боці», і його діагоналі перпендикулярні.

-нічого собі! Але якщо М лежить на прямій l, цей спосіб непримінний — адже тоді кола стосуються один одного, і другої точки їх перетину немає!

Рис. 4

— Ви маєте рацію. Але і тут є інший спосіб побудови, настільки ж економний. Отже, нехай точка М лежить на прямій l. Спочатку вибираємо довільну точку А поза прямою l і проводимо коло радіусом АМ з центром в А. Вона перетне пряму l ще в точці В. Через точки А і В проводимо пряме, що перетинає коло в точці N. І проводимо пряму MN, яка і є шуканий перпендикуляр p (рис. 4).

— ???

— Що, зовсім несуразно виглядає? А тим часом доказ теж дуже простий. З наших побудов випливає, що BN — діаметр проведеної кола, а ∠ BMN — вписаний кут, що спирається на цей діаметр. Але такий кут завжди прямий!

— Ох ти! Але… раптом нам не пощастить, і ми випадково виберемо таку точку А, що коло не перетне пряму l у другій точці В, а буде стосуватися її в точці М? Інакше кажучи, точки В і М збігаються?

— Навпаки, у разі такого неймовірного везіння можна відразу провести перпендикуляр AM — адже якщо окружність стосується прямої, то радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний дотичною.

І останнє на сьогодні: як через точку M, що лежить поза прямою l, провести пряму, паралельну l?

— Як два перпендикуляри! Тобто спочатку провести якийсь перпендикуляр до прямої l, а потім — перпендикуляр до цього перпендикуляру, що проходить через ту ж точку М.

— І скільки ходів для цього знадобиться?

-Ну… якщо проводити перпендикуляри так, як говориться в підручнику, то це буде 4 + 4 = 8 ходів, а якщо вашими «економними» способами, то 3 + 3 = 6.

— А можна обійтися лише трьома ходами.

— Як?

Рис. 5

— Показую. Вибираємо на прямій l довільну точку А і проводимо коло радіусом АМ з центром в А (синя коло на малюнку 5). Вона перетне пряму l в точках В і С. Далі, будуємо коло (червону) радіусом, рівним ВМ, з центром в С. Вона перетинається з синьою окружністю в точці N (взагалі-то таких точок дві; треба вибрати ту, що лежить по той же бік від l, що і М. Нарешті, проводимо пряму через точки M і N — вона паралельна l.

— Чому?

— Доказ нескладний і заснований на симетрії. Якщо подумки провести перпендикуляр до прямої l через центр синього кола А, то напівкружності праворуч і ліворуч будуть симетричні між собою відносно нього. І рівні дуги BM і CN теж симетричні. Отже, і точки M і N симетричні, звідки відрізок MN перпендикулярний до перпендикуляра до прямої l, тобто паралельний l. Все!

— А чому дуги BM і CN рівні?

— Так вони ж стягуються рівними хордами — відрізки BM і CN по побудові рівні.

— Чудово! А якщо N і М збігаються? Тоді ми не зможемо провести через M і N єдину пряму.

Рис. 6

-Вірно. Це може статися, якщо точка А виявиться точнісінько на перпендикулярі до прямої l, що проходить через точку М. Така подія теж практично неймовірна, але тут це не удача, а, навпаки, неприємність. Тому нехтувати нею не можна. І в якості альтернативи можу запропонувати спосіб трохи довший, з чотирьох кроків. Початок такий самий: вибираємо на прямій l довільну точку А і проводимо коло радіусом АМ з центром в А (синя окружність на малюнку 6). Вона перетне пряму l в точці В (тут використовуємо тільки одну з двох точок перетину — будь-яку). Далі, будуємо ще два кола такого ж радіусу з центрами в точках М і В (червона і зелена відповідно). Вони перетинаються в точці N. Нарешті, проводимо пряму через точки M і N — вона паралельна l. Доказ нескладний: якщо розглянути чотирикутник ABNM, то за нашими побудовами всі його сторони рівні, тому що вони — радіуси однакових кола. Значить, ABNM — ромб, а у ромба протилежні сторони паралельні. Ось і все! Ну як, сподобалися сьогоднішні побудови?

— Гарно!

— Швидко!

— Я радий, що вони вам до смаку. Користуйтесь здоров «ям. Але майте на увазі — ці економічні побудови не дуже-то широко відомі, і ви повинні бути готові підтвердити їх справедливість бездоганним доказом. Особливо на іспиті. Тому не забувайте і «класичні» способи. Вони теж хороші, а головне — зрозумілі і практично очевидні.

Художник Олексій Вайнер